19. (本小题 8 分)如图①,将两块边长均为 $3 \mathrm{~cm}$ 的正方形纸板沿对角线剪开,拼成如图②所示的一个大正方形,你能求出这个大正方形的面积吗? 它的边长是整数吗? 如果不是整数,请你估计这个边长的值在哪两个相邻的整数之间.

边长不是整数，边长的值在 4 和 5 之间。

1. 两个小正方形的面积都是 $3 × 3 = 9 \mathrm{~cm}^2$，所以两个小正方形的总面积是 $9 + 9 = 18 \mathrm{~cm}^2$。
2. 图②的大正方形是由两个小正方形拼成的，所以大正方形的面积也是 $18 \mathrm{~cm}^2$。
3. 设大正方形的边长为 $x$，则 $x^2 = 18$，解得 $x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。
4. $3\sqrt{2}$ 不是整数。
5. 估计 $3\sqrt{2}$ 的值，$\sqrt{2} \approx 1.414$，所以 $3\sqrt{2} \approx 4.242$。
6. 4.242 在 4 和 5 之间。

20. (本小题 8 分)设 $x, y$ 是有理数,且 $x, y$ 满足 $x+2 y-\sqrt{2} y=17+4 \sqrt{2}$,试求 $(\sqrt{x}+y)^{2023}$ 的值.

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因为x，y是有理数，等式x+2y-√2 y=17+4√2可拆分为有理数部分和无理数部分。
有理数部分：x+2y=17；无理数部分系数：-y=4。
由-y=4得y=-4，代入x+2y=17，得x+2×(-4)=17，解得x=25。
则√x=√25=5，√x+y=5+(-4)=1，所以$(√x+y)^2023=1^2023=1$。