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例1 甲、乙两人各有图书若干本.如果甲从乙那里拿来10本,那么甲拥有图书的本数是乙所剩本数的5倍;如果乙从甲那里拿来10本,那么乙拥有图书的本数与甲所剩本数相等.甲、乙两人原来分别有多少本图书?
答案
设甲原来有$x$本图书，乙原来有$y$本图书。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}x + 10 = 5(y - 10), \quad (1) \\y + 10 = x - 10. \quad (2)\end{cases}$
从方程(2)中，可以得到：
$x = y + 20 \quad (3)$，
将方程(3)代入方程(1)中，得到：
$y + 20 + 10 = 5(y - 10)$，
$y + 30 = 5y - 50$，
$4y = 80$，
$y = 20$，
将$y = 20$代入方程(3)中，得到：
$x = 20 + 20 = 40$，
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 40, \\y = 20.\end{cases}$
答：甲原来有40本图书，乙原来有20本图书。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}x + 10 = 5(y - 10), \quad (1) \\y + 10 = x - 10. \quad (2)\end{cases}$
从方程(2)中，可以得到：
$x = y + 20 \quad (3)$，
将方程(3)代入方程(1)中，得到：
$y + 20 + 10 = 5(y - 10)$，
$y + 30 = 5y - 50$，
$4y = 80$，
$y = 20$，
将$y = 20$代入方程(3)中，得到：
$x = 20 + 20 = 40$，
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 40, \\y = 20.\end{cases}$
答：甲原来有40本图书，乙原来有20本图书。
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的应用问题，解题思路如下：
1. 先设未知数，分别用$x$、$y$表示甲、乙原来的图书数量，明确研究对象的初始状态。
2. 接着从题目中提取两个关键等量关系：
当甲从乙处拿10本后，甲的图书数量是乙剩余数量的5倍，即甲现有数量$x+10$等于乙剩余数量$y-10$的5倍；
当乙从甲处拿10本后，乙的图书数量和甲剩余数量相等，即乙现有数量$y+10$等于甲剩余数量$x-10$。
3. 根据等量关系列出二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组，就能得到甲、乙原来的图书数量。
【解析】
设甲原来有$x$本图书，乙原来有$y$本图书。
根据题意，列出方程组：
$\begin{cases}x + 10 = 5(y - 10) \quad (1) \\y + 10 = x - 10 \quad (2)\end{cases}$
由方程(2)变形可得：
$x = y + 20 \quad (3)$
将方程(3)代入方程(1)中：
$y + 20 + 10 = 5(y - 10)$
化简得：
$y + 30 = 5y - 50$
移项合并同类项：
$4y = 80$
解得：
$y = 20$
将$y = 20$代入方程(3)：
$x = 20 + 20 = 40$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 40 \\y = 20\end{cases}$
答：甲原来有40本图书，乙原来有20本图书。
【答案】
甲原来有40本图书，乙原来有20本图书。
【知识点】
二元一次方程组的应用、代入消元法解方程组
【点评】
本题是典型的二元一次方程组应用题，核心是准确提取题目中的等量关系并列出方程组。解题时需仔细分析图书数量的变化逻辑，避免因误解“拿书后数量变化”而列错方程。代入消元法是解此类方程组的常用方法，步骤清晰，适合巩固基础应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的应用问题，解题思路如下：
1. 先设未知数，分别用$x$、$y$表示甲、乙原来的图书数量，明确研究对象的初始状态。
2. 接着从题目中提取两个关键等量关系：
当甲从乙处拿10本后，甲的图书数量是乙剩余数量的5倍，即甲现有数量$x+10$等于乙剩余数量$y-10$的5倍；
当乙从甲处拿10本后，乙的图书数量和甲剩余数量相等，即乙现有数量$y+10$等于甲剩余数量$x-10$。
3. 根据等量关系列出二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组，就能得到甲、乙原来的图书数量。
【解析】
设甲原来有$x$本图书，乙原来有$y$本图书。
根据题意，列出方程组：
$\begin{cases}x + 10 = 5(y - 10) \quad (1) \\y + 10 = x - 10 \quad (2)\end{cases}$
由方程(2)变形可得：
$x = y + 20 \quad (3)$
将方程(3)代入方程(1)中：
$y + 20 + 10 = 5(y - 10)$
化简得：
$y + 30 = 5y - 50$
移项合并同类项：
$4y = 80$
解得：
$y = 20$
将$y = 20$代入方程(3)：
$x = 20 + 20 = 40$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 40 \\y = 20\end{cases}$
答：甲原来有40本图书，乙原来有20本图书。
【答案】
甲原来有40本图书，乙原来有20本图书。
【知识点】
二元一次方程组的应用、代入消元法解方程组
【点评】
本题是典型的二元一次方程组应用题，核心是准确提取题目中的等量关系并列出方程组。解题时需仔细分析图书数量的变化逻辑，避免因误解“拿书后数量变化”而列错方程。代入消元法是解此类方程组的常用方法，步骤清晰，适合巩固基础应用能力。
【难度系数】
0.7
例2 小明、小亮等同学与家人到某景区旅游,图10-2是购买门票时小明与爸爸的对话.
(1) 一共去了几个成人和几名学生?
(2) 请你帮助小明算一算,用哪种方式买票更省钱,并说明理由.
(1) 一共去了几个成人和几名学生?
(2) 请你帮助小明算一算,用哪种方式买票更省钱,并说明理由.
答案
(1)设成人有$x$人，学生有$y$人，根据题意得：
$\begin{cases}x + y = 11 \\ 40x + 20y = 360\end{cases}$
由$x + y = 11$得$y = 11 - x$，代入$40x + 20y = 360$：
$40x + 20(11 - x) = 360$
$40x + 220 - 20x = 360$
$20x = 140$
$x = 7$，则$y = 11 - 7 = 4$
答：成人7人，学生4人。
(2)团体票费用：$14×(40×0.6)=14×24=336$元。
因为$336 ＜ 360$，所以买团体票更省钱。
$\begin{cases}x + y = 11 \\ 40x + 20y = 360\end{cases}$
由$x + y = 11$得$y = 11 - x$，代入$40x + 20y = 360$：
$40x + 20(11 - x) = 360$
$40x + 220 - 20x = 360$
$20x = 140$
$x = 7$，则$y = 11 - 7 = 4$
答：成人7人，学生4人。
(2)团体票费用：$14×(40×0.6)=14×24=336$元。
因为$336 ＜ 360$，所以买团体票更省钱。
解析
【分析】
（1）要确定成人和学生的人数，可通过设未知数构建二元一次方程组求解。需抓住两个关键等量关系：一是成人与学生的总人数为11人；二是成人票总费用加学生票总费用等于360元。设成人有$x$人，学生有$y$人，依据等量关系列出方程组，再用代入消元法解方程组即可得到人数。
（2）判断哪种购票方式更省钱，需先计算团体票的费用，再与原购票费用对比。由于团体票要求14人及以上，所以按14人计算团体票费用，比较两种费用大小，费用更低的方式更省钱。
【解析】
(1) 设成人有$x$人，学生有$y$人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 11 \\ 40x + 20y = 360\end{cases}$
由$x + y = 11$变形得$y = 11 - x$，将其代入$40x + 20y = 360$：
$40x + 20(11 - x) = 360$
展开括号：$40x + 220 - 20x = 360$
合并同类项：$20x = 140$
解得：$x = 7$
把$x = 7$代入$y = 11 - x$，得$y = 11 - 7 = 4$
答：一共去了7个成人，4名学生。
(2) 计算团体票费用：
因团体票要求14人及以上，故购买14张团体票，费用为：
$14×(40×0.6) = 14×24 = 336$（元）
因为$336 ＜ 360$，所以购买团体票更省钱。
【答案】
(1) 7个成人，4名学生；
(2) 购买14张团体票更省钱，理由是团体票费用336元低于原购票费用360元。
【知识点】
二元一次方程组应用、方案选择问题
【点评】
本题结合实际购票场景，考查了二元一次方程组的实际应用和方案优化。解题核心是准确提取等量关系建立方程组，同时要严格遵循团体票的购票规则，通过计算不同方案的费用对比得出最优解，有助于提升学生的实际应用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）要确定成人和学生的人数，可通过设未知数构建二元一次方程组求解。需抓住两个关键等量关系：一是成人与学生的总人数为11人；二是成人票总费用加学生票总费用等于360元。设成人有$x$人，学生有$y$人，依据等量关系列出方程组，再用代入消元法解方程组即可得到人数。
（2）判断哪种购票方式更省钱，需先计算团体票的费用，再与原购票费用对比。由于团体票要求14人及以上，所以按14人计算团体票费用，比较两种费用大小，费用更低的方式更省钱。
【解析】
(1) 设成人有$x$人，学生有$y$人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 11 \\ 40x + 20y = 360\end{cases}$
由$x + y = 11$变形得$y = 11 - x$，将其代入$40x + 20y = 360$：
$40x + 20(11 - x) = 360$
展开括号：$40x + 220 - 20x = 360$
合并同类项：$20x = 140$
解得：$x = 7$
把$x = 7$代入$y = 11 - x$，得$y = 11 - 7 = 4$
答：一共去了7个成人，4名学生。
(2) 计算团体票费用：
因团体票要求14人及以上，故购买14张团体票，费用为：
$14×(40×0.6) = 14×24 = 336$（元）
因为$336 ＜ 360$，所以购买团体票更省钱。
【答案】
(1) 7个成人，4名学生；
(2) 购买14张团体票更省钱，理由是团体票费用336元低于原购票费用360元。
【知识点】
二元一次方程组应用、方案选择问题
【点评】
本题结合实际购票场景，考查了二元一次方程组的实际应用和方案优化。解题核心是准确提取等量关系建立方程组，同时要严格遵循团体票的购票规则，通过计算不同方案的费用对比得出最优解，有助于提升学生的实际应用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
例3 编一道应用题,使得其中的未知数满足方程组$\begin{cases} x+y=200, \\ 5\%· x+45\%· y=35\%×200. \end{cases}$
(在编拟应用题时,你可以根据实际背景适当改变上面方程中的数据,但不要改变方程的形式)
(在编拟应用题时,你可以根据实际背景适当改变上面方程中的数据,但不要改变方程的形式)
答案
现有浓度为5%的盐水和浓度为45%的盐水，要将它们混合成200克浓度为35%的盐水，求需要浓度为5%的盐水和浓度为45%的盐水各多少克？
解析
【分析】
首先观察方程组的结构：第一个方程$x+y=200$表示两种未知量的总和为200；第二个方程$5\%·x+45\%·y=35\%×200$表示两种未知量各自对应比例的分量之和，等于总量200对应比例的分量，这符合混合问题中“各组分的有效成分总和等于混合后总有效成分”的数量关系。
我们可以选择学生熟悉的溶液混合场景来编题：设定$x$为浓度5%的溶液质量，$y$为浓度45%的溶液质量，总质量为200克，混合后溶液浓度为35%，这样就能将方程组转化为实际应用题。
【解析】
结合溶液混合的实际背景，将方程组中的未知数赋予实际意义：
设$x$为需要浓度5%的盐水的质量，$y$为需要浓度45%的盐水的质量，根据“两种盐水总质量为200克”和“两种盐水中盐的总质量等于混合后200克35%盐水中盐的质量”，可编出应用题：
现有浓度为5%的盐水和浓度为45%的盐水，要将它们混合成200克浓度为35%的盐水，求需要浓度为5%的盐水和浓度为45%的盐水各多少克？
【答案】
现有浓度为5%的盐水和浓度为45%的盐水，要将它们混合成200克浓度为35%的盐水，求需要浓度为5%的盐水和浓度为45%的盐水各多少克？
【知识点】
二元一次方程组的应用、溶液混合问题
【点评】
本题考查数学建模能力，要求理解方程组中每个方程的实际意义，将抽象的数学方程与生活中的实际场景结合，重点掌握混合类问题中“总量守恒”“有效成分总量守恒”的数量关系，提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
首先观察方程组的结构：第一个方程$x+y=200$表示两种未知量的总和为200；第二个方程$5\%·x+45\%·y=35\%×200$表示两种未知量各自对应比例的分量之和，等于总量200对应比例的分量，这符合混合问题中“各组分的有效成分总和等于混合后总有效成分”的数量关系。
我们可以选择学生熟悉的溶液混合场景来编题：设定$x$为浓度5%的溶液质量，$y$为浓度45%的溶液质量，总质量为200克，混合后溶液浓度为35%，这样就能将方程组转化为实际应用题。
【解析】
结合溶液混合的实际背景，将方程组中的未知数赋予实际意义：
设$x$为需要浓度5%的盐水的质量，$y$为需要浓度45%的盐水的质量，根据“两种盐水总质量为200克”和“两种盐水中盐的总质量等于混合后200克35%盐水中盐的质量”，可编出应用题：
现有浓度为5%的盐水和浓度为45%的盐水，要将它们混合成200克浓度为35%的盐水，求需要浓度为5%的盐水和浓度为45%的盐水各多少克？
【答案】
现有浓度为5%的盐水和浓度为45%的盐水，要将它们混合成200克浓度为35%的盐水，求需要浓度为5%的盐水和浓度为45%的盐水各多少克？
【知识点】
二元一次方程组的应用、溶液混合问题
【点评】
本题考查数学建模能力，要求理解方程组中每个方程的实际意义，将抽象的数学方程与生活中的实际场景结合，重点掌握混合类问题中“总量守恒”“有效成分总量守恒”的数量关系，提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
1. 选择题:
(1) 小刚买了两种不同的贺卡共8张,单价分别是1元和2元,共花去10元.设小刚买的两种贺卡分别为x张、y张,下列方程组中,正确的是().
A. $\begin{cases} x+\dfrac{y}{2}=10, \\ x+y=8 \end{cases}$
B. $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=8, \\ x+2y=10 \end{cases}$
C. $\begin{cases} x+y=10, \\ x+2y=8 \end{cases}$
D. $\begin{cases} x+y=8, \\ x+2y=10 \end{cases}$
(2) 如图,点O在直线AB上,OC为射线,∠1的度数比∠2的度数的3倍少10°,设∠1,∠2的度数分别为$x^{\circ},y^{\circ}$,可列方程组().
A. $\begin{cases} x+y=180, \\ x=y-10 \end{cases}$
B. $\begin{cases} x+y=180, \\ x=3y-10 \end{cases}$
C. $\begin{cases} x+y=180, \\ x=3y+10 \end{cases}$
D. $\begin{cases} 3y=180, \\ x=3y-10 \end{cases}$
(1) 小刚买了两种不同的贺卡共8张,单价分别是1元和2元,共花去10元.设小刚买的两种贺卡分别为x张、y张,下列方程组中,正确的是().
A. $\begin{cases} x+\dfrac{y}{2}=10, \\ x+y=8 \end{cases}$
B. $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=8, \\ x+2y=10 \end{cases}$
C. $\begin{cases} x+y=10, \\ x+2y=8 \end{cases}$
D. $\begin{cases} x+y=8, \\ x+2y=10 \end{cases}$
(2) 如图,点O在直线AB上,OC为射线,∠1的度数比∠2的度数的3倍少10°,设∠1,∠2的度数分别为$x^{\circ},y^{\circ}$,可列方程组().
A. $\begin{cases} x+y=180, \\ x=y-10 \end{cases}$
B. $\begin{cases} x+y=180, \\ x=3y-10 \end{cases}$
C. $\begin{cases} x+y=180, \\ x=3y+10 \end{cases}$
D. $\begin{cases} 3y=180, \\ x=3y-10 \end{cases}$
答案
(1) D
(2) B
(2) B
解析
(1) 设小刚买的两种贺卡分别为 $x$ 张和 $y$ 张。根据题意，两种贺卡共 8 张，即 $x + y = 8$；单价分别是 1 元和 2 元，共花去 10 元，即 $x + 2y = 10$。
所以方程组为：
$\begin{cases}x + y = 8 ,\\x + 2y = 10.\end{cases}$
(2) 根据题意，点 $O$ 在直线 $AB$ 上，$OC$ 为射线，$∠ 1$ 和 $∠ 2$ 的和为 $180°$，即 $x + y = 180$；$∠ 1$ 的度数比 $∠ 2$ 的度数的 3 倍少 $10°$，即 $x = 3y - 10$。
所以方程组为：
$\begin{cases}x + y = 180, \\x = 3y - 10.\end{cases}$
所以方程组为：
$\begin{cases}x + y = 8 ,\\x + 2y = 10.\end{cases}$
(2) 根据题意，点 $O$ 在直线 $AB$ 上，$OC$ 为射线，$∠ 1$ 和 $∠ 2$ 的和为 $180°$，即 $x + y = 180$；$∠ 1$ 的度数比 $∠ 2$ 的度数的 3 倍少 $10°$，即 $x = 3y - 10$。
所以方程组为：
$\begin{cases}x + y = 180, \\x = 3y - 10.\end{cases}$
