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例 1 如图 11 - 3，在数轴上点 $ A $，$ B $ 分别表示数 $ 1 $，$ - 2x + 3 $。
(1)求 $ x $ 的取值范围。
(2)数轴上表示数 $ - x + 2 $ 的点应落在()。
A. 点 $ A $ 的左边
B. 线段 $ AB $ 上
C. 点 $ B $ 的右边
(3)数轴上表示数 $ - x + 1 $ 的点应落在。
(1)求 $ x $ 的取值范围。
(2)数轴上表示数 $ - x + 2 $ 的点应落在()。
A. 点 $ A $ 的左边
B. 线段 $ AB $ 上
C. 点 $ B $ 的右边
(3)数轴上表示数 $ - x + 1 $ 的点应落在。
答案
答案略
解析
【分析】
(1) 数轴上右边的数大于左边的数，点B在点A右侧，因此点B表示的数大于点A表示的数，据此列不等式求解x的取值范围。
(2) 先根据x的取值范围，利用不等式的性质推导$-x+2$的范围，再分别与点A、点B表示的数比较大小，确定其位置。
(3) 结合x的取值范围，通过不等式变形得到$-x+1$的范围，再与1、$-2x+3$比较大小，分情况确定其位置。
【解析】
(1) 由数轴可知，点B在点A右侧，因此：
$-2x + 3 ＞ 1$
移项得：$-2x ＞ 1 - 3$
合并同类项得：$-2x ＞ -2$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$\boldsymbol{x ＜ 1}$
(2) 已知$x ＜ 1$，根据不等式的性质：
不等式两边乘$-1$，不等号方向改变，得：$-x ＞ -1$
不等式两边加$2$，得：$-x + 2 ＞ -1 + 2$，即$-x + 2 ＞ 1$，说明该数在点A右侧。
比较$-x + 2$与$-2x + 3$的大小：
$(-x + 2) - (-2x + 3) = -x + 2 + 2x - 3 = x - 1$
因为$x ＜ 1$，所以$x - 1 ＜ 0$，即$-x + 2 ＜ -2x + 3$，说明该数在点B左侧。
因此，数轴上表示数$-x + 2$的点落在线段AB上，故选$\boldsymbol{B}$。
(3) 已知$x ＜ 1$，根据不等式的性质：
不等式两边乘$-1$，得：$-x ＞ -1$
不等式两边加$1$，得：$-x + 1 ＞ -1 + 1$，即$-x + 1 ＞ 0$。
① 比较$-x + 1$与$1$的大小：
$(-x + 1) - 1 = -x$
当$0 ＜ x ＜ 1$时，$-x ＜ 0$，则$-x + 1 ＜ 1$，该点在点A的左边；
当$x = 0$时，$-x + 1 = 1$，该点与点A重合；
当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，则$-x + 1 ＞ 1$。
② 比较$-x + 1$与$-2x + 3$的大小：
$(-x + 1) - (-2x + 3) = x - 2$
因为$x ＜ 1$，所以$x - 2 ＜ 1 - 2 = -1 ＜ 0$，即$-x + 1 ＜ -2x + 3$。
综上，当$x ＜ 0$时，该点在线段AB上；当$0 ≤ x ＜ 1$时，该点在点A的左边（包括点A），因此数轴上表示数$-x + 1$的点应落在$\boldsymbol{点A的左边或线段AB上（包括点A）}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x ＜ 1}$
(2) $\boldsymbol{B}$
(3) $\boldsymbol{点A的左边或线段AB上（包括点A）}$
【知识点】
1. 数轴数的大小关系
2. 一元一次不等式解法
3. 不等式的性质
【点评】
本题结合数轴与不等式的性质考查数的位置判断，核心是利用“数轴上右边的数大于左边的数”建立不等关系，解题时需熟练掌握不等式的变形规则，注意不等号方向的变化，同时要分情况讨论数的范围，确保结论全面。
【难度系数】
0.6
(1) 数轴上右边的数大于左边的数，点B在点A右侧，因此点B表示的数大于点A表示的数，据此列不等式求解x的取值范围。
(2) 先根据x的取值范围，利用不等式的性质推导$-x+2$的范围，再分别与点A、点B表示的数比较大小，确定其位置。
(3) 结合x的取值范围，通过不等式变形得到$-x+1$的范围，再与1、$-2x+3$比较大小，分情况确定其位置。
【解析】
(1) 由数轴可知，点B在点A右侧，因此：
$-2x + 3 ＞ 1$
移项得：$-2x ＞ 1 - 3$
合并同类项得：$-2x ＞ -2$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$\boldsymbol{x ＜ 1}$
(2) 已知$x ＜ 1$，根据不等式的性质：
不等式两边乘$-1$，不等号方向改变，得：$-x ＞ -1$
不等式两边加$2$，得：$-x + 2 ＞ -1 + 2$，即$-x + 2 ＞ 1$，说明该数在点A右侧。
比较$-x + 2$与$-2x + 3$的大小：
$(-x + 2) - (-2x + 3) = -x + 2 + 2x - 3 = x - 1$
因为$x ＜ 1$，所以$x - 1 ＜ 0$，即$-x + 2 ＜ -2x + 3$，说明该数在点B左侧。
因此，数轴上表示数$-x + 2$的点落在线段AB上，故选$\boldsymbol{B}$。
(3) 已知$x ＜ 1$，根据不等式的性质：
不等式两边乘$-1$，得：$-x ＞ -1$
不等式两边加$1$，得：$-x + 1 ＞ -1 + 1$，即$-x + 1 ＞ 0$。
① 比较$-x + 1$与$1$的大小：
$(-x + 1) - 1 = -x$
当$0 ＜ x ＜ 1$时，$-x ＜ 0$，则$-x + 1 ＜ 1$，该点在点A的左边；
当$x = 0$时，$-x + 1 = 1$，该点与点A重合；
当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，则$-x + 1 ＞ 1$。
② 比较$-x + 1$与$-2x + 3$的大小：
$(-x + 1) - (-2x + 3) = x - 2$
因为$x ＜ 1$，所以$x - 2 ＜ 1 - 2 = -1 ＜ 0$，即$-x + 1 ＜ -2x + 3$。
综上，当$x ＜ 0$时，该点在线段AB上；当$0 ≤ x ＜ 1$时，该点在点A的左边（包括点A），因此数轴上表示数$-x + 1$的点应落在$\boldsymbol{点A的左边或线段AB上（包括点A）}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x ＜ 1}$
(2) $\boldsymbol{B}$
(3) $\boldsymbol{点A的左边或线段AB上（包括点A）}$
【知识点】
1. 数轴数的大小关系
2. 一元一次不等式解法
3. 不等式的性质
【点评】
本题结合数轴与不等式的性质考查数的位置判断，核心是利用“数轴上右边的数大于左边的数”建立不等关系，解题时需熟练掌握不等式的变形规则，注意不等号方向的变化，同时要分情况讨论数的范围，确保结论全面。
【难度系数】
0.6
例 2 某校八年级开展了一次知识竞赛活动。竞赛规则为：每班代表队都必须回答 $ 27 $ 道题，答对 $ 1 $ 题得 $ 5 $ 分，答错或不答都倒扣 $ 1 $ 分。
（1）截至第 $ 18 $ 题回答结束，八年级（3）班代表队的得分为 $ 78 $ 分，这时八年级（3）班代表队答对了多少道题？
（2）比赛规定，只有得分超过 $ 100 $ 分（含 $ 100 $ 分）时才能获奖。如果八年级（3）班代表队在第 $ 18 $ 题回答结束时的得分为 $ 78 $ 分，那么在后面的比赛中至少还要答对多少道题才有可能获奖？请简要说明理由。
（1）截至第 $ 18 $ 题回答结束，八年级（3）班代表队的得分为 $ 78 $ 分，这时八年级（3）班代表队答对了多少道题？
（2）比赛规定，只有得分超过 $ 100 $ 分（含 $ 100 $ 分）时才能获奖。如果八年级（3）班代表队在第 $ 18 $ 题回答结束时的得分为 $ 78 $ 分，那么在后面的比赛中至少还要答对多少道题才有可能获奖？请简要说明理由。
答案
（1）16；（2）6。
解析
（1）设八年级（3）班代表队答对了$x$道题，则答错或不答$(18 - x)$道题。
根据题意，得$5x - 1×(18 - x) = 78$。
解得$x = 16$。
（2）设后面至少还要答对$y$道题，后面共有$27 - 18 = 9$道题，答错或不答$(9 - y)$道题。
根据题意，得$78 + 5y - 1×(9 - y) ≥ 100$。
化简得$69 + 6y ≥ 100$，$6y ≥ 31$，$y ≥ \frac{31}{6} \approx 5.17$。
$y$为整数，所以$y = 6$。
根据题意，得$5x - 1×(18 - x) = 78$。
解得$x = 16$。
（2）设后面至少还要答对$y$道题，后面共有$27 - 18 = 9$道题，答错或不答$(9 - y)$道题。
根据题意，得$78 + 5y - 1×(9 - y) ≥ 100$。
化简得$69 + 6y ≥ 100$，$6y ≥ 31$，$y ≥ \frac{31}{6} \approx 5.17$。
$y$为整数，所以$y = 6$。
例 3 已知 $ a ＜ b ＜ 0 $，比较 $ \dfrac{1}{a^{2}} $ 与 $ \dfrac{1}{b^{2}} $ 的大小，并说明理由。
答案
因为 $a ＜ b ＜ 0$，所以 $|a| ＞ |b| ＞ 0$。
两边同时平方，得 $a^2 ＞ b^2 ＞ 0$。
因为两个正数，当分子相同时，分母越大，分数越小，所以 $\dfrac{1}{a^2} ＜ \dfrac{1}{b^2}$。
结论：$\dfrac{1}{a^2} ＜ \dfrac{1}{b^2}$
两边同时平方，得 $a^2 ＞ b^2 ＞ 0$。
因为两个正数，当分子相同时，分母越大，分数越小，所以 $\dfrac{1}{a^2} ＜ \dfrac{1}{b^2}$。
结论：$\dfrac{1}{a^2} ＜ \dfrac{1}{b^2}$
解析
【分析】
首先，已知$a ＜ b ＜ 0$，这两个数都是负数，负数比较大小的规则是绝对值大的数反而小，因此可先推出它们绝对值的关系$|a| ＞ |b| ＞ 0$；接着，正数的平方仍为正数，且绝对值大的正数平方值更大，所以平方后可得$a^2 ＞ b^2 ＞ 0$；最后，对于分子相同的正分数，分母越大，分数的值越小，据此就能比较出$\dfrac{1}{a^2}$与$\dfrac{1}{b^2}$的大小。
【解析】
因为 $a ＜ b ＜ 0$，所以 $|a| ＞ |b| ＞ 0$。
两边同时平方，得 $a^2 ＞ b^2 ＞ 0$。
因为两个正数，当分子相同时，分母越大，分数越小，所以 $\dfrac{1}{a^2} ＜ \dfrac{1}{b^2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{a^2} ＜ \dfrac{1}{b^2}$
【知识点】
负数的绝对值性质，有理数平方性质，正分数比较大小
【点评】
本题综合考查了负数绝对值、有理数平方以及正分数大小比较的知识点，需要熟练掌握负数到绝对值、再到平方的转化逻辑，以及分子相同的正分数的比较规则，理清各知识点间的联系是解题关键。
【难度系数】
0.7
首先，已知$a ＜ b ＜ 0$，这两个数都是负数，负数比较大小的规则是绝对值大的数反而小，因此可先推出它们绝对值的关系$|a| ＞ |b| ＞ 0$；接着，正数的平方仍为正数，且绝对值大的正数平方值更大，所以平方后可得$a^2 ＞ b^2 ＞ 0$；最后，对于分子相同的正分数，分母越大，分数的值越小，据此就能比较出$\dfrac{1}{a^2}$与$\dfrac{1}{b^2}$的大小。
【解析】
因为 $a ＜ b ＜ 0$，所以 $|a| ＞ |b| ＞ 0$。
两边同时平方，得 $a^2 ＞ b^2 ＞ 0$。
因为两个正数，当分子相同时，分母越大，分数越小，所以 $\dfrac{1}{a^2} ＜ \dfrac{1}{b^2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{a^2} ＜ \dfrac{1}{b^2}$
【知识点】
负数的绝对值性质，有理数平方性质，正分数比较大小
【点评】
本题综合考查了负数绝对值、有理数平方以及正分数大小比较的知识点，需要熟练掌握负数到绝对值、再到平方的转化逻辑，以及分子相同的正分数的比较规则，理清各知识点间的联系是解题关键。
【难度系数】
0.7
1. 填空题：
(1)$ x $ 的 $ \dfrac{1}{3} $ 与 $ x $ 的差为正数，用不等式表示为；
(2)某种植物生长的适宜温度不能低于 $ 18 \,^{\circ}C $，也不能高于 $ 22 \,^{\circ}C $，设该植物生长的适宜温度为 $ x \,^{\circ}C $，则有不等式组；
(3)若 $ x ＜ 1 $，则 $ - 2x + 3 $ 的取值范围为；
(4)由 $ - 2x ＞ 1 $，得 $ x ＜ - \dfrac{1}{2} $，依据是：。
(1)$ x $ 的 $ \dfrac{1}{3} $ 与 $ x $ 的差为正数，用不等式表示为；
(2)某种植物生长的适宜温度不能低于 $ 18 \,^{\circ}C $，也不能高于 $ 22 \,^{\circ}C $，设该植物生长的适宜温度为 $ x \,^{\circ}C $，则有不等式组；
(3)若 $ x ＜ 1 $，则 $ - 2x + 3 $ 的取值范围为；
(4)由 $ - 2x ＞ 1 $，得 $ x ＜ - \dfrac{1}{2} $，依据是：。
答案
(1)$\frac{1}{3}x - x ＞ 0$
(2)$\begin{cases}x ≥ 18 \\ x ≤ 22\end{cases}$
(3)$-2x + 3 ＞ 1$
(4)不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变
(2)$\begin{cases}x ≥ 18 \\ x ≤ 22\end{cases}$
(3)$-2x + 3 ＞ 1$
(4)不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变
解析
(1)“x的1/3”即$\frac{1}{3}x$，与x的差为$\frac{1}{3}x - x$，正数即大于0，所以不等式为$\frac{1}{3}x - x ＞ 0$。
(2)不低于18℃即$x ≥ 18$，不高于22℃即$x ≤ 22$，所以不等式组为$\begin{cases}x ≥ 18 \\ x ≤ 22\end{cases}$。
(3)因为$x ＜ 1$，两边同乘-2，不等号方向改变，得$-2x ＞ -2$，两边加3，得$-2x + 3 ＞ -2 + 3 = 1$，所以取值范围为$-2x + 3 ＞ 1$。
(4)不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变。
(2)不低于18℃即$x ≥ 18$，不高于22℃即$x ≤ 22$，所以不等式组为$\begin{cases}x ≥ 18 \\ x ≤ 22\end{cases}$。
(3)因为$x ＜ 1$，两边同乘-2，不等号方向改变，得$-2x ＞ -2$，两边加3，得$-2x + 3 ＞ -2 + 3 = 1$，所以取值范围为$-2x + 3 ＞ 1$。
(4)不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变。
