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2. 解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）$ \dfrac{x - 1}{3} ＜ \dfrac{5x + 3}{2} $；
（2）解不等式组 $ \begin{cases} 3(x + 1) ＞ 5x + 4, \\ \dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{2x - 1}{3}. \end{cases} $
（1）$ \dfrac{x - 1}{3} ＜ \dfrac{5x + 3}{2} $；
（2）解不等式组 $ \begin{cases} 3(x + 1) ＞ 5x + 4, \\ \dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{2x - 1}{3}. \end{cases} $
答案
（1）
$\begin{aligned}\dfrac{x - 1}{3} ＜ \dfrac{5x + 3}{2},\\2(x - 1) ＜ 3(5x + 3),\\2x - 2 ＜ 15x + 9,\\2x - 15x ＜ 9 + 2,\\-13x ＜ 11,\\x ＞ -\dfrac{11}{13}.\end{aligned}$
数轴表示：画一条数轴，在$-\dfrac{11}{13}$的位置标一个空心圆圈（表示不包含该点），然后向右画一条线表示解集。
（2）
$\begin{cases}3(x + 1) ＞ 5x + 4,\\\dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{2x - 1}{3}.\end{cases}$
对于第一个不等式：
$\begin{aligned}3x + 3 ＞ 5x + 4,\\3 - 4 ＞ 5x - 3x,\\-1 ＞ 2x,\\x ＜ -\dfrac{1}{2}.\end{aligned}$
对于第二个不等式：
$\begin{aligned}\dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{2x - 1}{3},\\3(x - 1) ≤ 2(2x - 1),\\3x - 3 ≤ 4x - 2,\\-3 + 2 ≤ 4x - 3x,\\-1 ≤ x.\end{aligned}$
综合两个不等式的解集，得到不等式组的解集为：
$-1 ≤ x ＜ -\dfrac{1}{2}$
数轴表示：画一条数轴，在$-1$和$-\dfrac{1}{2}$的位置分别标一个实心圆点（表示包含$-1$）和空心圆圈（表示不包含$-\dfrac{1}{2}$），然后在这两点之间画一条线表示解集。
$\begin{aligned}\dfrac{x - 1}{3} ＜ \dfrac{5x + 3}{2},\\2(x - 1) ＜ 3(5x + 3),\\2x - 2 ＜ 15x + 9,\\2x - 15x ＜ 9 + 2,\\-13x ＜ 11,\\x ＞ -\dfrac{11}{13}.\end{aligned}$
数轴表示：画一条数轴，在$-\dfrac{11}{13}$的位置标一个空心圆圈（表示不包含该点），然后向右画一条线表示解集。
（2）
$\begin{cases}3(x + 1) ＞ 5x + 4,\\\dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{2x - 1}{3}.\end{cases}$
对于第一个不等式：
$\begin{aligned}3x + 3 ＞ 5x + 4,\\3 - 4 ＞ 5x - 3x,\\-1 ＞ 2x,\\x ＜ -\dfrac{1}{2}.\end{aligned}$
对于第二个不等式：
$\begin{aligned}\dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{2x - 1}{3},\\3(x - 1) ≤ 2(2x - 1),\\3x - 3 ≤ 4x - 2,\\-3 + 2 ≤ 4x - 3x,\\-1 ≤ x.\end{aligned}$
综合两个不等式的解集，得到不等式组的解集为：
$-1 ≤ x ＜ -\dfrac{1}{2}$
数轴表示：画一条数轴，在$-1$和$-\dfrac{1}{2}$的位置分别标一个实心圆点（表示包含$-1$）和空心圆圈（表示不包含$-\dfrac{1}{2}$），然后在这两点之间画一条线表示解集。
解析
【分析】
（1）对于分式形式的一元一次不等式，解题思路是先利用不等式的性质，给两边同乘分母的最小公倍数去分母，将其转化为整式不等式，再依次通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向需改变，最后在数轴上表示解集，不包含的端点用空心圆圈。
（2）对于一元一次不等式组，需分别求解组内每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即为不等式组的解集，数轴表示时，包含的端点用实心圆点，不包含的用空心圆圈，再画出公共部分的范围。
【解析】
（1）解不等式$\dfrac{x - 1}{3} ＜ \dfrac{5x + 3}{2}$：
$\begin{aligned}\dfrac{x - 1}{3} ＜ \dfrac{5x + 3}{2},\\2(x - 1) ＜ 3(5x + 3),\quad&\mathrm{（不等式两边同乘6去分母，不等号方向不变）}\\2x - 2 ＜ 15x + 9,\quad&\mathrm{（去括号）}\\2x - 15x ＜ 9 + 2,\quad&\mathrm{（移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边）}\\-13x ＜ 11,\quad&\mathrm{（合并同类项）}\\x ＞ -\dfrac{11}{13}.\quad&\mathrm{（系数化为1，因系数为负，不等号方向改变）}\end{aligned}$
数轴表示：画一条数轴，在$-\dfrac{11}{13}$的位置标一个空心圆圈（表示不包含该点），然后向右画一条线表示解集。
（2）解不等式组$\begin{cases} 3(x + 1) ＞ 5x + 4, \\ \dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{2x - 1}{3}. \end{cases}$
解第一个不等式：
$\begin{aligned}3(x + 1) ＞ 5x + 4,\\3x + 3 ＞ 5x + 4,\quad&\mathrm{（去括号）}\\3 - 4 ＞ 5x - 3x,\quad&\mathrm{（移项）}\\-1 ＞ 2x,\quad&\mathrm{（合并同类项）}\\x ＜ -\dfrac{1}{2}.\quad&\mathrm{（系数化为1）}\end{aligned}$
解第二个不等式：
$\begin{aligned}\dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{2x - 1}{3},\\3(x - 1) ≤ 2(2x - 1),\quad&\mathrm{（不等式两边同乘6去分母，不等号方向不变）}\\3x - 3 ≤ 4x - 2,\quad&\mathrm{（去括号）}\\-3 + 2 ≤ 4x - 3x,\quad&\mathrm{（移项）}\\-1 ≤ x.\quad&\mathrm{（合并同类项）}\end{aligned}$
综合两个不等式的解集，取公共部分，得到不等式组的解集为：$-1 ≤ x ＜ -\dfrac{1}{2}$
数轴表示：画一条数轴，在$-1$的位置标实心圆点（表示包含该点），在$-\dfrac{1}{2}$的位置标空心圆圈（表示不包含该点），然后在两点之间画一条线表示解集。
【答案】
（1）不等式的解集为$\boldsymbol{x ＞ -\dfrac{11}{13}}$，数轴表示如解析所述；
（2）不等式组的解集为$\boldsymbol{-1 ≤ x ＜ -\dfrac{1}{2}}$，数轴表示如解析所述。
【知识点】
一元一次不等式解法、一元一次不等式组解法、数轴表示解集
【点评】
本题考查基础的一元一次不等式及不等式组的求解，核心在于熟练运用不等式的基本性质进行变形，解不等式组时需准确找出两个解集的公共部分，数轴表示解集时要注意实心圆点与空心圆圈的区别，避免符号错误，是培养代数运算能力与数形结合思想的基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）对于分式形式的一元一次不等式，解题思路是先利用不等式的性质，给两边同乘分母的最小公倍数去分母，将其转化为整式不等式，再依次通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向需改变，最后在数轴上表示解集，不包含的端点用空心圆圈。
（2）对于一元一次不等式组，需分别求解组内每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即为不等式组的解集，数轴表示时，包含的端点用实心圆点，不包含的用空心圆圈，再画出公共部分的范围。
【解析】
（1）解不等式$\dfrac{x - 1}{3} ＜ \dfrac{5x + 3}{2}$：
$\begin{aligned}\dfrac{x - 1}{3} ＜ \dfrac{5x + 3}{2},\\2(x - 1) ＜ 3(5x + 3),\quad&\mathrm{（不等式两边同乘6去分母，不等号方向不变）}\\2x - 2 ＜ 15x + 9,\quad&\mathrm{（去括号）}\\2x - 15x ＜ 9 + 2,\quad&\mathrm{（移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边）}\\-13x ＜ 11,\quad&\mathrm{（合并同类项）}\\x ＞ -\dfrac{11}{13}.\quad&\mathrm{（系数化为1，因系数为负，不等号方向改变）}\end{aligned}$
数轴表示：画一条数轴，在$-\dfrac{11}{13}$的位置标一个空心圆圈（表示不包含该点），然后向右画一条线表示解集。
（2）解不等式组$\begin{cases} 3(x + 1) ＞ 5x + 4, \\ \dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{2x - 1}{3}. \end{cases}$
解第一个不等式：
$\begin{aligned}3(x + 1) ＞ 5x + 4,\\3x + 3 ＞ 5x + 4,\quad&\mathrm{（去括号）}\\3 - 4 ＞ 5x - 3x,\quad&\mathrm{（移项）}\\-1 ＞ 2x,\quad&\mathrm{（合并同类项）}\\x ＜ -\dfrac{1}{2}.\quad&\mathrm{（系数化为1）}\end{aligned}$
解第二个不等式：
$\begin{aligned}\dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{2x - 1}{3},\\3(x - 1) ≤ 2(2x - 1),\quad&\mathrm{（不等式两边同乘6去分母，不等号方向不变）}\\3x - 3 ≤ 4x - 2,\quad&\mathrm{（去括号）}\\-3 + 2 ≤ 4x - 3x,\quad&\mathrm{（移项）}\\-1 ≤ x.\quad&\mathrm{（合并同类项）}\end{aligned}$
综合两个不等式的解集，取公共部分，得到不等式组的解集为：$-1 ≤ x ＜ -\dfrac{1}{2}$
数轴表示：画一条数轴，在$-1$的位置标实心圆点（表示包含该点），在$-\dfrac{1}{2}$的位置标空心圆圈（表示不包含该点），然后在两点之间画一条线表示解集。
【答案】
（1）不等式的解集为$\boldsymbol{x ＞ -\dfrac{11}{13}}$，数轴表示如解析所述；
（2）不等式组的解集为$\boldsymbol{-1 ≤ x ＜ -\dfrac{1}{2}}$，数轴表示如解析所述。
【知识点】
一元一次不等式解法、一元一次不等式组解法、数轴表示解集
【点评】
本题考查基础的一元一次不等式及不等式组的求解，核心在于熟练运用不等式的基本性质进行变形，解不等式组时需准确找出两个解集的公共部分，数轴表示解集时要注意实心圆点与空心圆圈的区别，避免符号错误，是培养代数运算能力与数形结合思想的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 求不等式组 $ \begin{cases} 3x - 6 ＞ 4 - x, \\ x + 10 ＞ 4x - 1 \end{cases} $ 的正整数解。
答案
$3$
解析
解不等式组：
$\begin{cases}3x - 6 ＞ 4 - x, \\x + 10 ＞ 4x - 1\end{cases}$
解第一个不等式：
$3x - 6 ＞ 4 - x$
移项，得：
$3x + x ＞ 4 + 6$
合并同类项，得：
$4x ＞ 10$
系数化为1，得：
$x ＞ \frac{5}{2}$
解第二个不等式：
$x + 10 ＞ 4x - 1$
移项，得：
$x - 4x ＞ -1 - 10$
合并同类项，得：
$-3x ＞ -11$
系数化为1（不等号方向改变），得：
$x ＜ \frac{11}{3}$
所以不等式组的解集为：
$\frac{5}{2} ＜ x ＜ \frac{11}{3}$
因为$\frac{5}{2} = 2.5$，$\frac{11}{3} \approx 3.67$，所以正整数解为$3$。
$\begin{cases}3x - 6 ＞ 4 - x, \\x + 10 ＞ 4x - 1\end{cases}$
解第一个不等式：
$3x - 6 ＞ 4 - x$
移项，得：
$3x + x ＞ 4 + 6$
合并同类项，得：
$4x ＞ 10$
系数化为1，得：
$x ＞ \frac{5}{2}$
解第二个不等式：
$x + 10 ＞ 4x - 1$
移项，得：
$x - 4x ＞ -1 - 10$
合并同类项，得：
$-3x ＞ -11$
系数化为1（不等号方向改变），得：
$x ＜ \frac{11}{3}$
所以不等式组的解集为：
$\frac{5}{2} ＜ x ＜ \frac{11}{3}$
因为$\frac{5}{2} = 2.5$，$\frac{11}{3} \approx 3.67$，所以正整数解为$3$。
4. 三个连续自然数的和小于 $ 15 $，这样的自然数组共有几组？把它们分别写出来。
答案
设三个连续自然数分别为$n$，$n + 1$，$n + 2$（$n$为自然数）。
由题意得：$n + (n + 1) + (n + 2) ＜ 15$
化简得：$3n + 3 ＜ 15$
移项得：$3n ＜ 12$
解得：$n ＜ 4$
因为$n$为自然数，所以$n$可取$0$，$1$，$2$，$3$。
当$n = 0$时，三个数为$0$，$1$，$2$；
当$n = 1$时，三个数为$1$，$2$，$3$；
当$n = 2$时，三个数为$2$，$3$，$4$；
当$n = 3$时，三个数为$3$，$4$，$5$。
共有$4$组。
答：这样的自然数组共有$4$组，分别是$0$，$1$，$2$；$1$，$2$，$3$；$2$，$3$，$4$；$3$，$4$，$5$。
由题意得：$n + (n + 1) + (n + 2) ＜ 15$
化简得：$3n + 3 ＜ 15$
移项得：$3n ＜ 12$
解得：$n ＜ 4$
因为$n$为自然数，所以$n$可取$0$，$1$，$2$，$3$。
当$n = 0$时，三个数为$0$，$1$，$2$；
当$n = 1$时，三个数为$1$，$2$，$3$；
当$n = 2$时，三个数为$2$，$3$，$4$；
当$n = 3$时，三个数为$3$，$4$，$5$。
共有$4$组。
答：这样的自然数组共有$4$组，分别是$0$，$1$，$2$；$1$，$2$，$3$；$2$，$3$，$4$；$3$，$4$，$5$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要用代数式表示出三个连续自然数，通常设第一个自然数为$n$（$n$为自然数），那么后两个连续自然数可表示为$n+1$、$n+2$；接着根据“三个连续自然数的和小于15”的条件列出一元一次不等式；然后通过解不等式得到$n$的取值范围，再结合$n$是自然数的要求，确定$n$的所有可能取值；最后将每个$n$的值代入，写出对应的三组连续自然数，统计组数即可，注意自然数包含0，不要遗漏$n=0$的情况。
【解析】
设三个连续自然数分别为$n$，$n + 1$，$n + 2$（$n$为自然数）。
由题意列不等式：
$n + (n + 1) + (n + 2) ＜ 15$
化简得：$3n + 3 ＜ 15$
移项得：$3n ＜ 15 - 3$，即$3n ＜ 12$
两边同时除以3，解得：$n ＜ 4$
因为$n$为自然数，所以$n$可取$0$，$1$，$2$，$3$。
当$n = 0$时，三个数为$0$，$1$，$2$；
当$n = 1$时，三个数为$1$，$2$，$3$；
当$n = 2$时，三个数为$2$，$3$，$4$；
当$n = 3$时，三个数为$3$，$4$，$5$。
【答案】
这样的自然数组共有4组，分别是0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5。
【知识点】
一元一次不等式的应用；连续自然数的表示；自然数的概念
【点评】
本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，解题的关键是正确设出连续自然数的表达式并列出不等式，同时要牢记自然数的取值范围，避免因忽略0而漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要用代数式表示出三个连续自然数，通常设第一个自然数为$n$（$n$为自然数），那么后两个连续自然数可表示为$n+1$、$n+2$；接着根据“三个连续自然数的和小于15”的条件列出一元一次不等式；然后通过解不等式得到$n$的取值范围，再结合$n$是自然数的要求，确定$n$的所有可能取值；最后将每个$n$的值代入，写出对应的三组连续自然数，统计组数即可，注意自然数包含0，不要遗漏$n=0$的情况。
【解析】
设三个连续自然数分别为$n$，$n + 1$，$n + 2$（$n$为自然数）。
由题意列不等式：
$n + (n + 1) + (n + 2) ＜ 15$
化简得：$3n + 3 ＜ 15$
移项得：$3n ＜ 15 - 3$，即$3n ＜ 12$
两边同时除以3，解得：$n ＜ 4$
因为$n$为自然数，所以$n$可取$0$，$1$，$2$，$3$。
当$n = 0$时，三个数为$0$，$1$，$2$；
当$n = 1$时，三个数为$1$，$2$，$3$；
当$n = 2$时，三个数为$2$，$3$，$4$；
当$n = 3$时，三个数为$3$，$4$，$5$。
【答案】
这样的自然数组共有4组，分别是0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5。
【知识点】
一元一次不等式的应用；连续自然数的表示；自然数的概念
【点评】
本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，解题的关键是正确设出连续自然数的表达式并列出不等式，同时要牢记自然数的取值范围，避免因忽略0而漏解。
【难度系数】
0.7
5. 某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共 $ 20 $ 个。甲种书柜的单价为 $ 180 $ 元，乙种书柜的单价为 $ 240 $ 元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量。学校最多能提供资金 $ 4320 $ 元，请设计几种购买方案供学校选择。
答案
设购买甲种书柜 $x$ 个，则购买乙种书柜 $20 - x$ 个。
根据题意，乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，即：
$20 - x ≥ x$，
$20≥ 2x$
$x ≤ 1 0$
同时，学校最多能提供资金 $4320$ 元，因此有：
$180x + 240(20 - x) ≤ 4320$
$180x + 4800 - 240x ≤ 4320$
$-60x ≤ -480$
$x ≥ 8$
综合以上两个不等式，得到 $x$ 的取值范围为：
$8 ≤ x ≤ 10$
由于 $x$ 必须是整数，因此 $x$ 可以取 $8$， $9$， $10$。
所以有三种购买方案：
方案一：甲种书柜 $8$ 个，乙种书柜 $12$ 个。
方案二：甲种书柜 $9$ 个，乙种书柜 $11$ 个。
方案三：甲种书柜 $10$ 个，乙种书柜 $10$ 个。
根据题意，乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，即：
$20 - x ≥ x$，
$20≥ 2x$
$x ≤ 1 0$
同时，学校最多能提供资金 $4320$ 元，因此有：
$180x + 240(20 - x) ≤ 4320$
$180x + 4800 - 240x ≤ 4320$
$-60x ≤ -480$
$x ≥ 8$
综合以上两个不等式，得到 $x$ 的取值范围为：
$8 ≤ x ≤ 10$
由于 $x$ 必须是整数，因此 $x$ 可以取 $8$， $9$， $10$。
所以有三种购买方案：
方案一：甲种书柜 $8$ 个，乙种书柜 $12$ 个。
方案二：甲种书柜 $9$ 个，乙种书柜 $11$ 个。
方案三：甲种书柜 $10$ 个，乙种书柜 $10$ 个。
解析
【分析】
首先设购买甲种书柜的数量为未知数，进而表示出乙种书柜的数量。然后根据题目中的两个约束条件：乙种书柜数量不少于甲种书柜数量、总资金不超过学校提供的最大资金，分别列出一元一次不等式，组成不等式组。求解不等式组得到未知数的取值范围后，结合未知数为正整数的实际意义，确定所有可能的取值，进而得出对应的购买方案。
【解析】
设购买甲种书柜$x$个，则购买乙种书柜$(20 - x)$个。
1. 根据“乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量”，列不等式：
$20 - x ≥ x$
移项得：$20 ≥ 2x$
解得：$x ≤ 10$
2. 根据“学校最多能提供资金4320元”，列不等式：
$180x + 240(20 - x) ≤ 4320$
展开括号：$180x + 4800 - 240x ≤ 4320$
合并同类项：$-60x + 4800 ≤ 4320$
移项得：$-60x ≤ 4320 - 4800$
计算得：$-60x ≤ -480$
系数化为1：$x ≥ 8$
3. 综合两个不等式的解，可得$8 ≤ x ≤ 10$。
因为$x$为书柜的数量，必须是正整数，所以$x$可以取8、9、10，对应三种购买方案：
当$x = 8$时，$20 - x = 12$，即购买甲种书柜8个，乙种书柜12个；
当$x = 9$时，$20 - x = 11$，即购买甲种书柜9个，乙种书柜11个；
当$x = 10$时，$20 - x = 10$，即购买甲种书柜10个，乙种书柜10个。
【答案】
共有三种购买方案：
方案一：购买甲种书柜8个，乙种书柜12个；
方案二：购买甲种书柜9个，乙种书柜11个；
方案三：购买甲种书柜10个，乙种书柜10个。
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 整数解的实际应用
【点评】
本题考查一元一次不等式组在实际问题中的应用，解题关键是准确提取题目中的不等关系，正确列出不等式组，同时要结合未知数的实际意义（正整数）确定最终的方案，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
首先设购买甲种书柜的数量为未知数，进而表示出乙种书柜的数量。然后根据题目中的两个约束条件：乙种书柜数量不少于甲种书柜数量、总资金不超过学校提供的最大资金，分别列出一元一次不等式，组成不等式组。求解不等式组得到未知数的取值范围后，结合未知数为正整数的实际意义，确定所有可能的取值，进而得出对应的购买方案。
【解析】
设购买甲种书柜$x$个，则购买乙种书柜$(20 - x)$个。
1. 根据“乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量”，列不等式：
$20 - x ≥ x$
移项得：$20 ≥ 2x$
解得：$x ≤ 10$
2. 根据“学校最多能提供资金4320元”，列不等式：
$180x + 240(20 - x) ≤ 4320$
展开括号：$180x + 4800 - 240x ≤ 4320$
合并同类项：$-60x + 4800 ≤ 4320$
移项得：$-60x ≤ 4320 - 4800$
计算得：$-60x ≤ -480$
系数化为1：$x ≥ 8$
3. 综合两个不等式的解，可得$8 ≤ x ≤ 10$。
因为$x$为书柜的数量，必须是正整数，所以$x$可以取8、9、10，对应三种购买方案：
当$x = 8$时，$20 - x = 12$，即购买甲种书柜8个，乙种书柜12个；
当$x = 9$时，$20 - x = 11$，即购买甲种书柜9个，乙种书柜11个；
当$x = 10$时，$20 - x = 10$，即购买甲种书柜10个，乙种书柜10个。
【答案】
共有三种购买方案：
方案一：购买甲种书柜8个，乙种书柜12个；
方案二：购买甲种书柜9个，乙种书柜11个；
方案三：购买甲种书柜10个，乙种书柜10个。
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 整数解的实际应用
【点评】
本题考查一元一次不等式组在实际问题中的应用，解题关键是准确提取题目中的不等关系，正确列出不等式组，同时要结合未知数的实际意义（正整数）确定最终的方案，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
6. 甲、乙两家商店以相同的价格销售同样的商品，并推出不同的优惠方案：在甲商店累计购买 $ 100 $ 元商品后，再购买同样的商品按原价的 $ 90\% $ 收费；在乙商店累计购买 $ 50 $ 元商品后，再购买同样的商品按原价的 $ 95\% $ 收费。
（1）如果累计购物不超过 $ 50 $ 元，那么在两家商店购物花费有区别吗？
（2）如果累计购物超过 $ 50 $ 元而不超过 $ 100 $ 元，那么在哪家商店购物花费少？为什么？
（3）如果累计购物超过 $ 100 $ 元，那么在甲商店购物花费比在乙商店少吗？
（1）如果累计购物不超过 $ 50 $ 元，那么在两家商店购物花费有区别吗？
（2）如果累计购物超过 $ 50 $ 元而不超过 $ 100 $ 元，那么在哪家商店购物花费少？为什么？
（3）如果累计购物超过 $ 100 $ 元，那么在甲商店购物花费比在乙商店少吗？
答案
（1）没有区别，两家商店都不享受优惠，花费相同。
（2）在乙商店购物花费少。
设累计购物$x$元$(50 ＜ x ≤ 100)$，在甲商店没有优惠，花费为$x$元；在乙商店享受$95\%$折优惠，花费为$50 + 0.95(x - 50)=0.95x + 2.5$元。
$x-(0.95x + 2.5)=0.05x - 2.5$，
因为$x ＞ 50$，所以$0.05x - 2.5＞0.05×50 - 2.5 = 0$，
即$x＞0.95x + 2.5$，所以在乙商店购物花费少。
（3）不一定。
设累计购物$x$元$(x ＞ 100)$，在甲商店的花费为$100 + 0.9(x - 100)=0.9x + 10$元；在乙商店的花费为$50 + 0.95(x - 50)=0.95x + 2.5$元。
令$0.9x + 10=0.95x + 2.5$，
解得$x = 150$；
令$0.9x + 10＜0.95x + 2.5$，
解得$x ＞ 150$；
令$0.9x + 10＞0.95x + 2.5$，
解得$x ＜ 150$。
所以当$x = 150$时，在两家商店购物花费相同；当$x＞150$时，在甲商店购物花费少；当$100 ＜ x＜150$时，在乙商店购物花费少。
（2）在乙商店购物花费少。
设累计购物$x$元$(50 ＜ x ≤ 100)$，在甲商店没有优惠，花费为$x$元；在乙商店享受$95\%$折优惠，花费为$50 + 0.95(x - 50)=0.95x + 2.5$元。
$x-(0.95x + 2.5)=0.05x - 2.5$，
因为$x ＞ 50$，所以$0.05x - 2.5＞0.05×50 - 2.5 = 0$，
即$x＞0.95x + 2.5$，所以在乙商店购物花费少。
（3）不一定。
设累计购物$x$元$(x ＞ 100)$，在甲商店的花费为$100 + 0.9(x - 100)=0.9x + 10$元；在乙商店的花费为$50 + 0.95(x - 50)=0.95x + 2.5$元。
令$0.9x + 10=0.95x + 2.5$，
解得$x = 150$；
令$0.9x + 10＜0.95x + 2.5$，
解得$x ＞ 150$；
令$0.9x + 10＞0.95x + 2.5$，
解得$x ＜ 150$。
所以当$x = 150$时，在两家商店购物花费相同；当$x＞150$时，在甲商店购物花费少；当$100 ＜ x＜150$时，在乙商店购物花费少。
解析
【分析】
我们需要根据累计购物金额的不同范围，分别分析两家商店的优惠适用情况，通过计算花费或列代数式比较大小来解答问题：
1. 当累计购物不超过50元时，判断两家是否都不享受优惠，从而确定花费是否有区别；
2. 当累计购物超过50元不超过100元时，甲店不享受优惠，乙店享受部分优惠，分别表示出两家的花费，再作差比较大小；
3. 当累计购物超过100元时，两家都享受优惠，先列出两家花费的代数式，再通过解方程和不等式，分情况讨论甲店花费是否比乙店少。
【解析】
（1）如果累计购物不超过50元，甲、乙两家商店都不提供优惠，商品按原价收费，因此在两家商店购物花费没有区别。
（2）在乙商店购物花费少，理由如下：
设累计购物$ x $元（$ 50 ＜ x ≤ 100 $）。
在甲商店购物不享受优惠，花费为$ x $元；
在乙商店购物，累计满50元后享受95%优惠，花费为$ 50 + 0.95(x - 50) = 0.95x + 2.5 $元。
计算两者的差：$ x - (0.95x + 2.5) = 0.05x - 2.5 $，
因为$ x ＞ 50 $，所以$ 0.05x - 2.5 ＞ 0.05×50 - 2.5 = 0 $，即$ x ＞ 0.95x + 2.5 $，
因此在乙商店购物花费少。
（3）设累计购物$ x $元（$ x ＞ 100 $）。
在甲商店的花费为：$ 100 + 0.9(x - 100) = 0.9x + 10 $元；
在乙商店的花费为：$ 50 + 0.95(x - 50) = 0.95x + 2.5 $元。
① 令$ 0.9x + 10 = 0.95x + 2.5 $，
解得$ x = 150 $，即当累计购物150元时，两家商店花费相同；
② 令$ 0.9x + 10 ＜ 0.95x + 2.5 $，
解得$ x ＞ 150 $，即当累计购物超过150元时，甲商店花费少；
③ 令$ 0.9x + 10 ＞ 0.95x + 2.5 $，
解得$ x ＜ 150 $，即当累计购物超过100元但不足150元时，乙商店花费少。
因此，累计购物超过100元时，甲商店购物花费不一定比乙商店少。
【答案】
（1）没有区别；
（2）在乙商店购物花费少，理由见解析；
（3）不一定，当累计购物150元时，两家花费相同；当累计购物超过150元时，甲商店花费少；当累计购物超过100元且不足150元时，乙商店花费少。
【知识点】
1. 一元一次不等式的应用；
2. 分段计费问题；
3. 代数式比较大小。
【点评】
本题是分段计费的实际应用问题，需要根据累计购物金额的不同范围进行分类讨论，通过列代数式、解方程和不等式来比较花费大小，考查了分类讨论的数学思想，解题关键是准确根据优惠方案列出两家商店的花费表达式。
【难度系数】
0.6
我们需要根据累计购物金额的不同范围，分别分析两家商店的优惠适用情况，通过计算花费或列代数式比较大小来解答问题：
1. 当累计购物不超过50元时，判断两家是否都不享受优惠，从而确定花费是否有区别；
2. 当累计购物超过50元不超过100元时，甲店不享受优惠，乙店享受部分优惠，分别表示出两家的花费，再作差比较大小；
3. 当累计购物超过100元时，两家都享受优惠，先列出两家花费的代数式，再通过解方程和不等式，分情况讨论甲店花费是否比乙店少。
【解析】
（1）如果累计购物不超过50元，甲、乙两家商店都不提供优惠，商品按原价收费，因此在两家商店购物花费没有区别。
（2）在乙商店购物花费少，理由如下：
设累计购物$ x $元（$ 50 ＜ x ≤ 100 $）。
在甲商店购物不享受优惠，花费为$ x $元；
在乙商店购物，累计满50元后享受95%优惠，花费为$ 50 + 0.95(x - 50) = 0.95x + 2.5 $元。
计算两者的差：$ x - (0.95x + 2.5) = 0.05x - 2.5 $，
因为$ x ＞ 50 $，所以$ 0.05x - 2.5 ＞ 0.05×50 - 2.5 = 0 $，即$ x ＞ 0.95x + 2.5 $，
因此在乙商店购物花费少。
（3）设累计购物$ x $元（$ x ＞ 100 $）。
在甲商店的花费为：$ 100 + 0.9(x - 100) = 0.9x + 10 $元；
在乙商店的花费为：$ 50 + 0.95(x - 50) = 0.95x + 2.5 $元。
① 令$ 0.9x + 10 = 0.95x + 2.5 $，
解得$ x = 150 $，即当累计购物150元时，两家商店花费相同；
② 令$ 0.9x + 10 ＜ 0.95x + 2.5 $，
解得$ x ＞ 150 $，即当累计购物超过150元时，甲商店花费少；
③ 令$ 0.9x + 10 ＞ 0.95x + 2.5 $，
解得$ x ＜ 150 $，即当累计购物超过100元但不足150元时，乙商店花费少。
因此，累计购物超过100元时，甲商店购物花费不一定比乙商店少。
【答案】
（1）没有区别；
（2）在乙商店购物花费少，理由见解析；
（3）不一定，当累计购物150元时，两家花费相同；当累计购物超过150元时，甲商店花费少；当累计购物超过100元且不足150元时，乙商店花费少。
【知识点】
1. 一元一次不等式的应用；
2. 分段计费问题；
3. 代数式比较大小。
【点评】
本题是分段计费的实际应用问题，需要根据累计购物金额的不同范围进行分类讨论，通过列代数式、解方程和不等式来比较花费大小，考查了分类讨论的数学思想，解题关键是准确根据优惠方案列出两家商店的花费表达式。
【难度系数】
0.6
