22. 在学习“乘法公式”时，育红中学七年级(1)班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段 $ AB $ 和 $ CD $，把大正方形分成四个部分(如图所示).
【观察发现】
(1) 请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系：.
【类比操作】
(2) 请你作一个图形验证：$ (x + y)(2x + y) = 2x^{2} + 3xy + y^{2} $.
【延伸运用】
(3) 若 $ AB + CD = 14 $，图中阴影部分的面积为 29，求 $ xy $ 的值.

22. 解: (1) $(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$ (2) 如图所示.

(3) $\because AB + CD = 14$, $\therefore x + y = 7$. $\because$ 阴影部分的面积为 29, $\therefore x^{2}+y^{2}=29$. $\because(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$, $\therefore7^{2}=29 + 2xy$. $\therefore xy = 10$.

23. 【问题情境】
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动. 已知直线 $ AB // CD $，$ E $，$ G $ 分别为直线 $ AB $，$ CD $ 上的点，$ F $ 是平面内任意一点，连接 $ EF $，$ GF $.
【探索发现】
(1) 如图 1，当 $ ∠ EFG = 60° $ 时，试说明：$ ∠ AEF + ∠ FGC = 60° $.
【深入探究】
(2) 如图 2，$ P $，$ Q $ 分别是直线 $ CD $ 上的点，且 $ ∠ PFQ = ∠ EFG = 90° $，直线 $ MN // FG $，交 $ FQ $ 于点 $ K $，“智胜小组”探究 $ ∠ FKN $ 与 $ ∠ PFE $ 之间的数量关系. 请写出它们的数量关系，并说明理由.
(3) 如图 3，在（2）的探究基础上，$ ∠ NKQ = ∠ AEF $，“科创小组”探究 $ ∠ CPF $ 与 $ ∠ EFK $ 之间的数量关系. 请直接写出它们的数量关系，不需要说明理由.

23. 解: (1) 过点 $F$ 作 $HI// AB$. $\because AB// CD$, $\therefore HI// CD$. $\therefore∠ AEF=∠ EFI$, $∠ FGC=∠ GFI$. $\therefore∠ AEF+∠ FGC=∠ EFI+∠ GFI=∠ EFG$. $\because∠ EFG = 60°$, $\therefore∠ AEF+∠ FGC = 60°$. (2) $∠ FKN=∠ PFE$. 理由如下: 设 $∠ FKM=∠ NKQ=α$, $\therefore∠ FKN = 180°-∠ NKQ = 180°-α$. $\because MN// FG$, $\therefore∠ GFQ=∠ FKM=α$. 又 $\because∠ PFQ=∠ EFG = 90°$, $\therefore∠ EFK=∠ EFG-∠ GFQ = 90°-α$. $\therefore∠ PFE=∠ PFQ+∠ EFK = 180°-α$. $\therefore∠ FKN=∠ PFE$. (3) $∠ CPF = 2∠ EFK$.