【例 3】如图,已知$CA=CB$,点$E,F$在射线$CD$上,满足$∠ BEC=∠ CFA$,且$∠ BEC+∠ ECB+∠ ACF=180^{\circ }$.
(1)试说明:$△ BCE≌△ CAF$.
(2)试判断线段$EF,BE,AF$的数量关系,并说明理由.

方法指导
(1)判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的；(2)证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等，当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形，它的步骤是：先证全等，再利用全等的性质求解；(3)探究两条线段的关系时，一般可先利用全等的性质证明线段或角相等，进而通过线段的转换或角的转换判断线段的等量关系与位置关系。

【例 3】解:(1)$\because ∠BEC+∠ECB+∠ACF=180^{\circ },∠BEC+∠ECB+∠CBE=180^{\circ },\therefore ∠CBE=∠ACF$. 在$△BCE$和$△CAF$中,$\{\begin{array}{l} ∠BEC=∠CFA,\\ ∠CBE=∠ACF,\\ BC=CA,\end{array} \therefore △BCE≌ △CAF(AAS)$.
(2)$AF+EF=BE$, 理由如下:$\because △BCE≌ △CAF,\therefore AF=CE,CF=BE.\because CE+EF=CF,\therefore AF+EF=BE$.

5. 如图,点$D,A,E$在同一条直线上,$BD⊥ DE$于点$D$,$CE⊥ DE$于点$E$,且$△ ABD≌△ CAE$,$AD=2\mathrm{c}\mathrm{m}$,$BD=4\mathrm{c}\mathrm{m}$,求:
(1)$DE$的长.
(2)$∠ BAC$的度数.

5. 解:(1)$\because △ABD≌ △CAE,AD=2cm,BD=4cm,\therefore AE=BD=4cm.\therefore DE=AD+AE=6cm$. (2)$\because BD⊥DE,\therefore ∠D=90^{\circ }.\therefore ∠DBA+∠BAD=90^{\circ }.\because △ABD≌ △CAE,\therefore ∠DBA=∠EAC.\therefore ∠BAD+∠EAC=90^{\circ }.\therefore ∠BAC=90^{\circ }$.

6. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠ B=∠ D=90^{\circ }$,点$E,F$分别在$AB,AD$上,$AE=AF$,$CE=CF$.试说明:$CB=CD$.

6. 解:连接 AC. 在$△AEC$和$△AFC$中,$\{\begin{array}{l} AC=AC,\\ CE=CF,\\ AE=AF,\end{array} \therefore △AEC≌ △AFC(SSS).\therefore ∠CAE=∠CAF.\because ∠B=∠D=90^{\circ }$,即$CB⊥AB,CD⊥AD,\therefore CB=CD$.

【例 4】已知等腰三角形的两边长分别是$8\mathrm{c}\mathrm{m}$和$4\mathrm{c}\mathrm{m}$,那么它的周长是.
方法指导
在三角形中，往往会遇到三角形的形状或边不确定的情况，此时就要进行分类讨论，综合各类结果得出答案，注意分类时要做到不重不漏。

【例 4】20 cm

7. 已知等腰三角形的周长为$18$,其中一边长为$5$,则该等腰三角形的底边长为.

7. 8 或 5

【例 5】已知在$△ ABC$中,$∠ A=\frac{1}{3}∠ B=\frac{1}{5}∠ C$,则$△ ABC$是 ()

A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.无法确定
方法指导
运用方程思想在三角形中求角度，先利用题目中角度之间的关系设未知数，再利用“三角形三个内角的和等于$180^{\circ }$”列方程求解。

【例 5】A