4. 先化简 $ (\frac{x}{x-3}-\frac{1}{3-x})÷ \frac{x+1}{x^{2}-9} $ ，再从-3，-1，0，3中选择一个合适的数代入求值。

4. 解：原式$=\frac{x+1}{x-3}·\frac{(x+3)(x-3)}{x+1}=x+3$。
$\because x≠3,-3,-1$，
$\therefore x=0$。
$\therefore$原式$=x+3=0+3=3$。

5. 当 m≠0，且 m-7n=0时，求代数式 $ \frac{m^{2}}{m^{2}+mn}-\frac{n^{2}}{m^{2}+mn} $的值。

5. 解：原式$=\frac{(m+n)(m-n)}{m(m+n)}=\frac{m-n}{m}$。
$\because m-7n=0$，$\therefore m=7n$。
$\therefore$原式$=\frac{m-n}{m}=\frac{7n-n}{7n}=\frac{6}{7}$。

6. 如图5-2-2，小鹏在作业本上书写了一个正确的演算过程，一不小心撕坏了一角，请求出撕坏的一角中“ $ \Box $ ”的部分。

6. 解：根据题意，得$\boldsymbol{□}=\frac{1}{x-2}·\frac{x^2-4}{x-1}+\frac{3}{1-x}=$
$\frac{x+2}{x-1}-\frac{3}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1$。

1. 如果记 $ y=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}=f(x) $ ，并且 f(1)表示当 x=1时 y的值，即 $ f(1)=\frac{1^{2}}{1+1^{2}}=\frac{1}{2} $ ，那么 $ f(1)+f(2)+f(\frac{1}{2})+f(3)+f(\frac{1}{3})+···+f(2025)+f(\frac{1}{2025})= $ ___。

1. $\boldsymbol{\frac{4049}{2}}$ 解析：$\because f(n)+f(\frac{1}{n})=\frac{n^2}{1+n^2}+$
$\frac{(\frac{1}{n})^2}{1+(\frac{1}{n})^2}=\frac{n^2}{1+n^2}+\frac{1}{1+n^2}=1$，
$\therefore f(1)+f(2)+f(\frac{1}{2})+f(3)+f(\frac{1}{3})+···+$
$f(n)+f(\frac{1}{n})=\frac{1}{2}+1+1+···+1=n-\frac{1}{2}$。
$\therefore f(1)+f(2)+f(\frac{1}{2})+f(3)+f(\frac{1}{3})+···+$
$f(2025)+f(\frac{1}{2025})=2025-\frac{1}{2}=\frac{4049}{2}$。

2. 【方法策略】对于分式 $ \frac{2 x+8}{x+2} ( x≥0) $ ，求它的最大值。
解：原式 $ = \frac{2x+4+4}{x+2} = \frac{2(x+2)}{x+2} +\frac{4}{x+2} = 2 + \frac{4}{x+2}。 $
$ \because x ≥ 0, $
$ \therefore x+2 $的最小值是2。
$ \therefore \frac{4}{x+2} $的最大值是2。
$ \therefore 2+\frac{4}{x+2} $的最大值是4，
即分式 $ \frac{2 x+8}{x+2} ( x≥0) $的最大值是4。
【问题解决】根据上述方法，求分式 $ \frac{2x^{2}+5}{x^{2}+1} $的最大值。

2. 解：$\frac{2x^2+5}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)+3}{x^2+1}=2+\frac{3}{x^2+1}$。
$\because x^2≥0$，$\therefore x^2+1$的最小值是1。
$\therefore \frac{3}{x^2+1}$的最大值是3。
$\therefore 2+\frac{3}{x^2+1}$的最大值是5，
即分式$\frac{2x^2+5}{x^2+1}$的最大值是5。