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1. 下列选项中，不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的是()
A.$AD// BC$，$AB// CD$
B.$AB// CD$，$AB = CD$
C.$AD// BC$，$AB = DC$
D.$AB = DC$，$AD = BC$
A.$AD// BC$，$AB// CD$
B.$AB// CD$，$AB = CD$
C.$AD// BC$，$AB = DC$
D.$AB = DC$，$AD = BC$
答案
C
解析
平行四边形的判定方法主要有以下几种：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（本题未涉及）；
对角线互相平分的四边形是平行四边形（本题未涉及）；
A. $AD // BC$，$AB // CD$：根据判定方法1，两组对边分别平行，所以四边形$ABCD$是平行四边形。此选项不符合题意。
B. $AB // CD$，$AB = CD$：根据判定方法3，一组对边平行且相等，所以四边形$ABCD$是平行四边形。此选项不符合题意。
C. $AD // BC$，$AB = DC$：这个条件只给出了四边形的一组对边平行，且另一组对边相等，但这并不能确保四边形是平行四边形。此选项符合题意。
D. $AB = DC$，$AD = BC$：根据判定方法2，两组对边分别相等，所以四边形$ABCD$是平行四边形。此选项不符合题意。
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（本题未涉及）；
对角线互相平分的四边形是平行四边形（本题未涉及）；
A. $AD // BC$，$AB // CD$：根据判定方法1，两组对边分别平行，所以四边形$ABCD$是平行四边形。此选项不符合题意。
B. $AB // CD$，$AB = CD$：根据判定方法3，一组对边平行且相等，所以四边形$ABCD$是平行四边形。此选项不符合题意。
C. $AD // BC$，$AB = DC$：这个条件只给出了四边形的一组对边平行，且另一组对边相等，但这并不能确保四边形是平行四边形。此选项符合题意。
D. $AB = DC$，$AD = BC$：根据判定方法2，两组对边分别相等，所以四边形$ABCD$是平行四边形。此选项不符合题意。
2. 如图，四边形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$。
(1)若 $AD = 8\ \mathrm{cm}$，$AB = 4\ \mathrm{cm}$，那么当 $BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，且 $CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$ 时，四边形 $ABCD$ 为平行四边形；
(2)若 $AC = 8\ \mathrm{cm}$，$BD = 10\ \mathrm{cm}$，那么当 $AO=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，且 $DO=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$ 时，四边形 $ABCD$ 为平行四边形。
(1)若 $AD = 8\ \mathrm{cm}$，$AB = 4\ \mathrm{cm}$，那么当 $BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，且 $CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$ 时，四边形 $ABCD$ 为平行四边形；
(2)若 $AC = 8\ \mathrm{cm}$，$BD = 10\ \mathrm{cm}$，那么当 $AO=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，且 $DO=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$ 时，四边形 $ABCD$ 为平行四边形。
答案
(1)8，4；(2)4，5
解析
(1)根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。已知$AD = 8\ \mathrm{cm}$，$AB = 4\ \mathrm{cm}$，所以当$BC = AD = 8\ \mathrm{cm}$，且$CD = AB = 4\ \mathrm{cm}$时，四边形$ABCD$为平行四边形。
(2)根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知$AC = 8\ \mathrm{cm}$，$BD = 10\ \mathrm{cm}$，所以当$AO = \frac{1}{2}AC = 4\ \mathrm{cm}$，且$DO = \frac{1}{2}BD = 5\ \mathrm{cm}$时，四边形$ABCD$为平行四边形。
(2)根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知$AC = 8\ \mathrm{cm}$，$BD = 10\ \mathrm{cm}$，所以当$AO = \frac{1}{2}AC = 4\ \mathrm{cm}$，且$DO = \frac{1}{2}BD = 5\ \mathrm{cm}$时，四边形$ABCD$为平行四边形。
1. 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，$AO = CO$，请添加一个条件(只添一个即可)，使四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
答案
$BO = DO$
解析
因为四边形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，且 $AO = CO$，根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以只需添加 $BO = DO$ 即可。
2. 四边形的四条边长依次为 $a$，$b$，$c$，$d$，其中 $a$，$c$ 为对边且满足 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2(ac + bd)$，那么这个四边形平行四边形(填“是”或“不是”)。
答案
是
解析
由已知条件 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2(ac + bd)$，
对等式进行变形得：$a^{2}-2ac + c^{2}+b^{2}-2bd + d^{2}=0$，
根据完全平方公式$(m - n)^2=m^2-2mn + n^2$，可得$(a - c)^{2}+(b - d)^{2}=0$。
因为一个数的平方为非负数，要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数必须都为$0$，
所以$a - c = 0$且$b - d = 0$，即$a = c$，$b = d$。
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知这个四边形是平行四边形。
对等式进行变形得：$a^{2}-2ac + c^{2}+b^{2}-2bd + d^{2}=0$，
根据完全平方公式$(m - n)^2=m^2-2mn + n^2$，可得$(a - c)^{2}+(b - d)^{2}=0$。
因为一个数的平方为非负数，要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数必须都为$0$，
所以$a - c = 0$且$b - d = 0$，即$a = c$，$b = d$。
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知这个四边形是平行四边形。
3. 四边形 $ABCD$ 中，若 $∠ DAC=∠ BCA$，$∠ DCA=∠ BAC$，且 $∠ D = 52^{\circ}$，则 $∠ B=$。
答案
52°
解析
因为∠DAC=∠BCA，所以AD//BC（内错角相等，两直线平行）；因为∠DCA=∠BAC，所以AB//CD（内错角相等，两直线平行）。所以四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。因为平行四边形的对角相等，∠D=52°，所以∠B=∠D=52°。
4. 能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的条件是 $∠ A:∠ B:∠ C:∠ D$ 的值为()
A.$1:2:3:4$
B.$1:4:2:3$
C.$1:2:2:1$
D.$1:2:1:2$
A.$1:2:3:4$
B.$1:4:2:3$
C.$1:2:2:1$
D.$1:2:1:2$
答案
D
解析
根据平行四边形的判定定理，当四边形的两组对角分别相等时，该四边形为平行四边形。
在四边形$ABCD$中，$∠ A$与$∠ C$，$∠ B$与$∠ D$为两组对角。
只有选项D中$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D = 1:2:1:2$，满足两组对角分别相等，即$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$。
在四边形$ABCD$中，$∠ A$与$∠ C$，$∠ B$与$∠ D$为两组对角。
只有选项D中$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D = 1:2:1:2$，满足两组对角分别相等，即$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$。
5. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$DE// AC$，$CE// BD$，若 $AC = 3$，$BD = 5$，则四边形 $OCED$ 的周长为()
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$16$
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$16$
答案
C
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC/2=1.5，OB=OD=BD/2=2.5。
∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形。
∴OC=DE=1.5，OD=CE=2.5。
∴四边形OCED的周长=2×(OC+OD)=2×(1.5+2.5)=8。
6. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$P$ 是三角形内一点，$PD// AB$，$PE// BC$，$PF// AC$，若 $△ ABC$ 的周长为 $18$，则 $PD + PE + PF=$()
A.$18$
B.$9\sqrt{3}$
C.$6$
D.不能确定
A.$18$
B.$9\sqrt{3}$
C.$6$
D.不能确定
答案
C
解析
∵△ABC是等边三角形，周长为18，∴AB=BC=AC=6。
延长EP交AB于M，∵PE//BC，∴∠AME=∠B=60°，又∠A=60°，∴△AME是等边三角形，∴AM=ME=AE。
∵PF//AC，∴∠PFM=∠A=60°，∠PMF=∠B=60°，∴△PMF是等边三角形，∴PF=PM=MF。
∵PD//AB，PM//BC（PE//BC），∴四边形PMBD是平行四边形，∴PD=MB。
∵ME=MP+PE=PF+PE，∴AM=PF+PE。
又AB=AM+MB，∴AB=（PF+PE）+PD，即PD+PE+PF=AB=6。
延长EP交AB于M，∵PE//BC，∴∠AME=∠B=60°，又∠A=60°，∴△AME是等边三角形，∴AM=ME=AE。
∵PF//AC，∴∠PFM=∠A=60°，∠PMF=∠B=60°，∴△PMF是等边三角形，∴PF=PM=MF。
∵PD//AB，PM//BC（PE//BC），∴四边形PMBD是平行四边形，∴PD=MB。
∵ME=MP+PE=PF+PE，∴AM=PF+PE。
又AB=AM+MB，∴AB=（PF+PE）+PD，即PD+PE+PF=AB=6。
7. $A$，$B$，$C$ 是平面内不在同一条直线上的三点，$D$ 是平面内任意一点，若 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点 $D$ 有()
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
答案
C
解析
已知A、B、C三点不在同一直线上，要构成平行四边形，需分三种情况：①以AB为对角线，对角线互相平分，则D为C关于AB中点的对称点；②以AC为对角线，D为B关于AC中点的对称点；③以BC为对角线，D为A关于BC中点的对称点。共3个符合条件的点D。
