例 1 下列属于一元一次不等式的是()

A.$-2＞-3$
B.$1+\frac{1}{x}＞-2$
C.$3-x＞\frac{1}{2}$
D.$ax+by＞0$
【思路导析】一元一次不等式的定义包含三个条件：①含一个未知数；②未知数的次数为 1；③不等式的两边是关于未知数的整式。
【请你解答】.

[例1]C

例 2 解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(1) $\frac{1}{2}(4x - 6)≤2(x - 1)+x$；
(2) $\frac{3x + 1}{3}-\frac{1 - x}{2}＜1$.
【思路导析】(1)去分母，不等式两边乘 2，注意右边 $x$ 不要漏乘。(2)去分母，不等式两边乘 6，再去括号，移项，合并同类项，化为 $x＞a$ 或 $x＜a$ 的形式。
【请你解答】

(1)$x≥ -1$ 数轴表示如图.

(2)$x＜\frac{7}{9}$ 数轴表示如图.

例 3 已知关于 $x$ 的方程 $(m - 2)x + 3 = 11 - m(3 - x)$.
(1)正数？(2)不大于 2？
【规范解答】$(m - 2)x + 3 = 11 - m(3 - x)$ 去括号，得
$mx - 2x + 3 = 11 - 3m + mx$.
移项，得
$-2x = 11 - 3m - 3$，
即 $x = \frac{3m - 8}{2}$.
(1)解为正数，即 $\frac{3m - 8}{2}＞0$，
解得 $m＞\frac{8}{3}$.
(2)解不大于 2，即 $\frac{3m - 8}{2}≤2$，
解得 $m≤4$.
答：(1)当 $m＞\frac{8}{3}$ 时，原方程的解为正数；(2)$m≤4$ 时其解不大于 2.

解：
$(m - 2)x + 3 = 11 - m(3 - x)$
去括号，得
$mx - 2x + 3 = 11 - 3m + mx$
移项，得
$-2x = 11 - 3m - 3$
合并同类项，得
$-2x = 8 - 3m$
系数化为1，得
$x = \frac{3m - 8}{2}$
(1) 方程的解为正数，即$\frac{3m - 8}{2}＞0$
两边同乘2，得
$3m - 8＞0$
移项，得
$3m＞8$
系数化为1，得
$m＞\frac{8}{3}$
(2) 方程的解不大于2，即$\frac{3m - 8}{2}≤2$
两边同乘2，得
$3m - 8≤4$
移项，得
$3m≤12$
系数化为1，得
$m≤4$
答：(1)当$m＞\frac{8}{3}$时，原方程的解为正数；(2)当$m≤4$时，原方程的解不大于2。

例 4 定义新运算：对于任意实数 $a,b$，都有 $a\oplus b = a(a - b)+1$，等式右边是常用的加法、减法及乘法运算. 例如：$2\oplus5 = 2×(2 - 5)+1 = 2×(-3)+1 = -6 + 1 = -5$.
(1)求 $(-2)\oplus3$ 的值；
(2)若 $3\oplus x$ 的值小于 13，求 $x$ 的取值范围，并在如图 11.2 - 1 所示的数轴上表示出来.

【规范解答】(1) $(-2)\oplus3 = -2×(-2 - 3)+1 = -2×(-5)+1 = 10 + 11 = 11$.
(2) $\because3\oplus x＜13$，$\therefore3(3 - x)+1＜13$.
去括号，得 $9 - 3x + 1＜13$. 移项、合并同类项，得 $-3x＜3$. 系数化为 1，得 $x＞-1$. 在数轴上表示如图 11.2 - 2 所示.

当 $x$ 取何正整数时，代数式 $\frac{x + 1}{3}-\frac{2x - 1}{4}$ 的值不小于代数式 $\frac{x - 3}{6}$ 的值？
学后反思
(1)解不等式去括号有时易出现漏乘的情况.
(2)去分母时易把分子漏掉括号，导致分子漏乘.

由题意得$\frac{x+1}{3}-\frac{2x-1}{4}≥ \frac{x-3}{6}$，$\therefore 4x+4-6x+3≥ 2x-6$，$\therefore 4x-6x-2x≥ -6-4-3$，即$-4x≥ -13$，解得$x≤ \frac{13}{4}$.
因为$x$是正整数，故可以取1,2,3.