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1. 判断题. (对的打“√”，错的打“×”)
(1) $(7m + 8n)(7n - 8m) = 49m^{2} - 64n^{2}$ (
(2) $(4ab + 1)(4ab - 1) = 16a^{2}b^{2} - 1$ (
(3) $(3 + 2x)(3 - 2x) = 9 - 2x^{2}$ (
(4) $(2x - y)(-2x + y) = 4x^{2} - y^{2}$ (
(5) $(5xy + 1)(-5xy + 1) = 1 - 25x^{2}y^{2}$ (
(1) $(7m + 8n)(7n - 8m) = 49m^{2} - 64n^{2}$ (
×
)(2) $(4ab + 1)(4ab - 1) = 16a^{2}b^{2} - 1$ (
√
)(3) $(3 + 2x)(3 - 2x) = 9 - 2x^{2}$ (
×
)(4) $(2x - y)(-2x + y) = 4x^{2} - y^{2}$ (
×
)(5) $(5xy + 1)(-5xy + 1) = 1 - 25x^{2}y^{2}$ (
√
)答案
1. (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
解析
【分析】
要判断这些式子是否正确，核心是掌握平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，需明确公式中的“相同项”和“相反项”，只有符合“(相同项+相反项)(相同项-相反项)”的形式才能用平方差公式计算，同时要注意平方运算的准确性。我们逐个分析：
1. 第(1)题，式子中没有完全相同的项，无法用平方差公式，展开结果与题干不符，故错误；
2. 第(2)题，相同项是$4ab$，相反项是$1$和$-1$，符合平方差公式，计算结果正确，故正确；
3. 第(3)题，用平方差公式时$(2x)^2$应为$4x^2$，题干结果错误，故错误；
4. 第(4)题，式子可变形为$-(2x-y)^2$，是完全平方形式，不是平方差，结果与题干不符，故错误；
5. 第(5)题，可变形为$(1+5xy)(1-5xy)$，符合平方差公式，计算结果正确，故正确。
【解析】
(1) 左边=$(7m + 8n)(7n - 8m)=49mn - 56m^2 + 56n^2 - 64mn=-56m^2 -15mn +56n^2$，右边=$49m^2 - 64n^2$，左边≠右边，故打“×”；
(2) 左边=$(4ab + 1)(4ab - 1)=(4ab)^2 -1^2=16a^2b^2 -1$，右边=$16a^2b^2 -1$，左边=右边，故打“√”；
(3) 左边=$(3 + 2x)(3 - 2x)=3^2 -(2x)^2=9 -4x^2$，右边=$9 -2x^2$，左边≠右边，故打“×”；
(4) 左边=$(2x - y)(-2x + y)=-(2x - y)(2x - y)=-(2x - y)^2=-4x^2 +4xy -y^2$，右边=$4x^2 - y^2$，左边≠右边，故打“×”；
(5) 左边=$(5xy + 1)(-5xy + 1)=(1 +5xy)(1 -5xy)=1^2 -(5xy)^2=1 -25x^2y^2$，右边=$1 -25x^2y^2$，左边=右边，故打“√”。
【答案】
(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，需要准确识别公式的适用条件，区分平方差公式与完全平方公式的形式，同时注意平方运算的细节，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.6
要判断这些式子是否正确，核心是掌握平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，需明确公式中的“相同项”和“相反项”，只有符合“(相同项+相反项)(相同项-相反项)”的形式才能用平方差公式计算，同时要注意平方运算的准确性。我们逐个分析：
1. 第(1)题，式子中没有完全相同的项，无法用平方差公式，展开结果与题干不符，故错误；
2. 第(2)题，相同项是$4ab$，相反项是$1$和$-1$，符合平方差公式，计算结果正确，故正确；
3. 第(3)题，用平方差公式时$(2x)^2$应为$4x^2$，题干结果错误，故错误；
4. 第(4)题，式子可变形为$-(2x-y)^2$，是完全平方形式，不是平方差，结果与题干不符，故错误；
5. 第(5)题，可变形为$(1+5xy)(1-5xy)$，符合平方差公式，计算结果正确，故正确。
【解析】
(1) 左边=$(7m + 8n)(7n - 8m)=49mn - 56m^2 + 56n^2 - 64mn=-56m^2 -15mn +56n^2$，右边=$49m^2 - 64n^2$，左边≠右边，故打“×”；
(2) 左边=$(4ab + 1)(4ab - 1)=(4ab)^2 -1^2=16a^2b^2 -1$，右边=$16a^2b^2 -1$，左边=右边，故打“√”；
(3) 左边=$(3 + 2x)(3 - 2x)=3^2 -(2x)^2=9 -4x^2$，右边=$9 -2x^2$，左边≠右边，故打“×”；
(4) 左边=$(2x - y)(-2x + y)=-(2x - y)(2x - y)=-(2x - y)^2=-4x^2 +4xy -y^2$，右边=$4x^2 - y^2$，左边≠右边，故打“×”；
(5) 左边=$(5xy + 1)(-5xy + 1)=(1 +5xy)(1 -5xy)=1^2 -(5xy)^2=1 -25x^2y^2$，右边=$1 -25x^2y^2$，左边=右边，故打“√”。
【答案】
(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，需要准确识别公式的适用条件，区分平方差公式与完全平方公式的形式，同时注意平方运算的细节，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.6
2. $(a + 1)(a - 1) =$
$ a^{2}-1 $
.答案
2. $ a^{2}-1 $
解析
【分析】
这道题是两个二项式相乘的形式，观察发现两个二项式中，有一项完全相同（都是$a$），另一项互为相反数（$1$和$-1$），正好符合平方差公式的特征。我们可以直接利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$来计算，其中相同项是$a$，互为相反数的项是$1$和$-1$，将对应项代入公式即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，在本题中$b=1$，代入公式可得：
$(a + 1)(a - 1)$
$=a^2 - 1^2$
$=a^2 - 1$
【答案】
$a^{2}-1$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的直接应用，属于基础题型。解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，找准相同项和互为相反数的项，熟练套用公式即可快速得出结果，需要学生牢记平方差公式的形式，避免混淆公式。
【难度系数】
0.9
这道题是两个二项式相乘的形式，观察发现两个二项式中，有一项完全相同（都是$a$），另一项互为相反数（$1$和$-1$），正好符合平方差公式的特征。我们可以直接利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$来计算，其中相同项是$a$，互为相反数的项是$1$和$-1$，将对应项代入公式即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，在本题中$b=1$，代入公式可得：
$(a + 1)(a - 1)$
$=a^2 - 1^2$
$=a^2 - 1$
【答案】
$a^{2}-1$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的直接应用，属于基础题型。解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，找准相同项和互为相反数的项，熟练套用公式即可快速得出结果，需要学生牢记平方差公式的形式，避免混淆公式。
【难度系数】
0.9
3. $(-\frac{1}{2}x - y)(-\frac{1}{2}x + y) =$
$ \frac{1}{4}x^{2}-y^{2} $
.答案
3. $ \frac{1}{4}x^{2}-y^{2} $
解析
【分析】
这道题可利用平方差公式简便计算。先回忆平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，观察式子$(-\frac{1}{2}x - y)(-\frac{1}{2}x + y)$，它符合“两个数的和与这两个数的差相乘”的形式，其中$a=-\frac{1}{2}x$，$b=y$，代入公式即可快速求解。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，令$a=-\frac{1}{2}x$，$b=y$，则：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2}x - y)(-\frac{1}{2}x + y)&=(-\frac{1}{2}x)^2 - y^2\\&=(\frac{1}{2})^2x^2 - y^2\\&=\frac{1}{4}x^2 - y^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{4}x^{2}-y^{2}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别公式中的$a$和$b$，注意负数平方的符号处理，避免计算错误。这是一道基础整式运算题，熟练掌握平方差公式可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
这道题可利用平方差公式简便计算。先回忆平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，观察式子$(-\frac{1}{2}x - y)(-\frac{1}{2}x + y)$，它符合“两个数的和与这两个数的差相乘”的形式，其中$a=-\frac{1}{2}x$，$b=y$，代入公式即可快速求解。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，令$a=-\frac{1}{2}x$，$b=y$，则：
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2}x - y)(-\frac{1}{2}x + y)&=(-\frac{1}{2}x)^2 - y^2\\&=(\frac{1}{2})^2x^2 - y^2\\&=\frac{1}{4}x^2 - y^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{4}x^{2}-y^{2}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别公式中的$a$和$b$，注意负数平方的符号处理，避免计算错误。这是一道基础整式运算题，熟练掌握平方差公式可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4. $(x + 3y)$（
$ 3y - x $
）$= 9y^{2} - x^{2}$.答案
4. $ 3y - x $
解析
【分析】
首先观察等式右边的式子$9y^{2}-x^{2}$，它符合平方差的形式，即$a^2 - b^2$的结构。我们可以利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$对其进行因式分解。先确定$a$和$b$：$9y^{2}=(3y)^2$，$x^{2}=x^2$，所以$a=3y$，$b=x$。分解后得到$(3y+x)(3y-x)$，而等式左边已经给出$(x+3y)$，注意到$x+3y=3y+x$，所以对应的另一个因式就是$3y - x$。
【解析】
因为$9y^{2}-x^{2}=(3y)^2 - x^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$9y^{2}-x^{2}=(3y+x)(3y-x)$
又因为$x+3y=3y+x$，所以$(x+3y)(3y - x)=9y^{2}-x^{2}$，故括号内应填$3y - x$。
【答案】
$3y - x$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的逆用，需要熟练识别平方差的形式，并准确运用公式进行因式分解，属于基础题型，旨在巩固对平方差公式的理解与应用。
【难度系数】
0.8
首先观察等式右边的式子$9y^{2}-x^{2}$，它符合平方差的形式，即$a^2 - b^2$的结构。我们可以利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$对其进行因式分解。先确定$a$和$b$：$9y^{2}=(3y)^2$，$x^{2}=x^2$，所以$a=3y$，$b=x$。分解后得到$(3y+x)(3y-x)$，而等式左边已经给出$(x+3y)$，注意到$x+3y=3y+x$，所以对应的另一个因式就是$3y - x$。
【解析】
因为$9y^{2}-x^{2}=(3y)^2 - x^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$9y^{2}-x^{2}=(3y+x)(3y-x)$
又因为$x+3y=3y+x$，所以$(x+3y)(3y - x)=9y^{2}-x^{2}$，故括号内应填$3y - x$。
【答案】
$3y - x$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的逆用，需要熟练识别平方差的形式，并准确运用公式进行因式分解，属于基础题型，旨在巩固对平方差公式的理解与应用。
【难度系数】
0.8
5. （
$ (x + 2) $
）（$ (x - 2) $
）$= x^{2} - 4$.答案
5. $ (x + 2)(x - 2) $
解析
【分析】
首先观察等式右边的式子$x^2 - 4$，它符合平方差的形式，即$a^2 - b^2$，其中$a=x$，$b=2$。根据平方差公式的逆用，我们可以将$a^2 - b^2$分解为$(a+b)(a-b)$，所以只需要把对应的$a$和$b$代入公式，就能得到等式左边的两个因式。
【解析】
因为$x^2 - 4 = x^2 - 2^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x$，$b=2$，则：
$x^2 - 2^2=(x+2)(x-2)$
所以括号里应填$x+2$和$x-2$（顺序可互换）。
【答案】
$(x + 2)(x - 2)$
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式的逆用，属于基础题型，只要熟练掌握平方差公式的结构特征，就能轻松完成因式分解。
【难度系数】
0.9
首先观察等式右边的式子$x^2 - 4$，它符合平方差的形式，即$a^2 - b^2$，其中$a=x$，$b=2$。根据平方差公式的逆用，我们可以将$a^2 - b^2$分解为$(a+b)(a-b)$，所以只需要把对应的$a$和$b$代入公式，就能得到等式左边的两个因式。
【解析】
因为$x^2 - 4 = x^2 - 2^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x$，$b=2$，则：
$x^2 - 2^2=(x+2)(x-2)$
所以括号里应填$x+2$和$x-2$（顺序可互换）。
【答案】
$(x + 2)(x - 2)$
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式的逆用，属于基础题型，只要熟练掌握平方差公式的结构特征，就能轻松完成因式分解。
【难度系数】
0.9
6. $(ab + 1)(ab - 1) =$
$ a^{2}b^{2}-1 $
.答案
6. $ a^{2}b^{2}-1 $
解析
【分析】
这道题考查平方差公式的应用，解题思路是先观察式子结构，发现它符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的形式，把$ab$看作公式中的$x$，$1$看作公式中的$y$，直接代入公式计算即可。
【解析】
根据平方差公式：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，
令$x=ab$，$y=1$，代入公式可得：
$(ab + 1)(ab - 1)=(ab)^2 - 1^2=a^2b^2 - 1$
【答案】
$a^{2}b^{2}-1$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是平方差公式的基础应用，解题关键是准确识别式子结构，将$ab$看作整体代入公式，熟练掌握平方差公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查平方差公式的应用，解题思路是先观察式子结构，发现它符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的形式，把$ab$看作公式中的$x$，$1$看作公式中的$y$，直接代入公式计算即可。
【解析】
根据平方差公式：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，
令$x=ab$，$y=1$，代入公式可得：
$(ab + 1)(ab - 1)=(ab)^2 - 1^2=a^2b^2 - 1$
【答案】
$a^{2}b^{2}-1$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是平方差公式的基础应用，解题关键是准确识别式子结构，将$ab$看作整体代入公式，熟练掌握平方差公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
7. 若 $x^{2} - y^{2} = 6$，$x + y = 3$，则 $x - y =$
2
.答案
7. 2
解析
【分析】
首先回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，题目中给出了$x^2 - y^2=6$和$x+y=3$，我们可以将$x^2 - y^2$用平方差公式分解，得到$(x+y)(x-y)=6$，然后把已知的$x+y=3$代入这个式子，就可以通过简单的除法计算求出$x-y$的值。
【解析】
根据平方差公式：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，
已知$x^2 - y^2=6$，$x+y=3$，将其代入得：
$3×(x-y)=6$，
两边同时除以3，可得：
$x-y=6÷3=2$。
【答案】
2
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的直接应用，属于基础题型，只要熟练掌握平方差公式的形式，将已知条件代入即可快速求解，难度较低，有助于巩固对因式分解基本公式的理解。
【难度系数】
0.8
首先回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，题目中给出了$x^2 - y^2=6$和$x+y=3$，我们可以将$x^2 - y^2$用平方差公式分解，得到$(x+y)(x-y)=6$，然后把已知的$x+y=3$代入这个式子，就可以通过简单的除法计算求出$x-y$的值。
【解析】
根据平方差公式：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，
已知$x^2 - y^2=6$，$x+y=3$，将其代入得：
$3×(x-y)=6$，
两边同时除以3，可得：
$x-y=6÷3=2$。
【答案】
2
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的直接应用，属于基础题型，只要熟练掌握平方差公式的形式，将已知条件代入即可快速求解，难度较低，有助于巩固对因式分解基本公式的理解。
【难度系数】
0.8
8. 计算：
(1) $(2a - 3b)(2a + 3b)$；
(2) $(-p + q)(-p - q)$；
(3) $(\frac{1}{3}a + b)(\frac{1}{3}a - b)$；
(4) $(-m^{2}n + 2)(-m^{2}n - 2)$.
(1) $(2a - 3b)(2a + 3b)$；
(2) $(-p + q)(-p - q)$；
(3) $(\frac{1}{3}a + b)(\frac{1}{3}a - b)$；
(4) $(-m^{2}n + 2)(-m^{2}n - 2)$.
答案
8. (1)$ 4a^{2}-9b^{2} $ (2)$ p^{2}-q^{2} $ (3)$ \frac{1}{9}a^{2}-b^{2} $ (4)$ m^{4}n^{2}-4 $
解析
【分析】
这四道计算题均符合平方差公式的形式，解题核心是利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$进行计算。首先需要准确识别每个式子中对应公式的$a$（符号相同的项）和$b$（符号相反的项），然后分别计算$a$的平方与$b$的平方，最后将两者相减得到结果。
【解析】
(1) 对于$(2a - 3b)(2a + 3b)$，把$2a$看作$a$，$3b$看作$b$，根据平方差公式：
原式$=(2a)^2-(3b)^2=4a^2-9b^2$
(2) 对于$(-p + q)(-p - q)$，把$-p$看作$a$，$q$看作$b$，根据平方差公式：
原式$=(-p)^2-q^2=p^2-q^2$
(3) 对于$(\frac{1}{3}a + b)(\frac{1}{3}a - b)$，把$\frac{1}{3}a$看作$a$，$b$看作$b$，根据平方差公式：
原式$=(\frac{1}{3}a)^2-b^2=\frac{1}{9}a^2-b^2$
(4) 对于$(-m^{2}n + 2)(-m^{2}n - 2)$，把$-m^2n$看作$a$，$2$看作$b$，根据平方差公式：
原式$=(-m^2n)^2-2^2=m^4n^2-4$
【答案】
(1)$4a^{2}-9b^{2}$；(2)$p^{2}-q^{2}$；(3)$\frac{1}{9}a^{2}-b^{2}$；(4)$m^{4}n^{2}-4$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，解题时需准确识别公式中的对应项，同时注意幂运算的规则，比如负数的平方为正数、分数平方的计算、幂的乘方指数相乘等，避免因细节失误导致结果错误。
【难度系数】
0.8
这四道计算题均符合平方差公式的形式，解题核心是利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$进行计算。首先需要准确识别每个式子中对应公式的$a$（符号相同的项）和$b$（符号相反的项），然后分别计算$a$的平方与$b$的平方，最后将两者相减得到结果。
【解析】
(1) 对于$(2a - 3b)(2a + 3b)$，把$2a$看作$a$，$3b$看作$b$，根据平方差公式：
原式$=(2a)^2-(3b)^2=4a^2-9b^2$
(2) 对于$(-p + q)(-p - q)$，把$-p$看作$a$，$q$看作$b$，根据平方差公式：
原式$=(-p)^2-q^2=p^2-q^2$
(3) 对于$(\frac{1}{3}a + b)(\frac{1}{3}a - b)$，把$\frac{1}{3}a$看作$a$，$b$看作$b$，根据平方差公式：
原式$=(\frac{1}{3}a)^2-b^2=\frac{1}{9}a^2-b^2$
(4) 对于$(-m^{2}n + 2)(-m^{2}n - 2)$，把$-m^2n$看作$a$，$2$看作$b$，根据平方差公式：
原式$=(-m^2n)^2-2^2=m^4n^2-4$
【答案】
(1)$4a^{2}-9b^{2}$；(2)$p^{2}-q^{2}$；(3)$\frac{1}{9}a^{2}-b^{2}$；(4)$m^{4}n^{2}-4$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，解题时需准确识别公式中的对应项，同时注意幂运算的规则，比如负数的平方为正数、分数平方的计算、幂的乘方指数相乘等，避免因细节失误导致结果错误。
【难度系数】
0.8
9. 广场内有一块边长为 $2a$ 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短 $3$ 米，东西方向要加长 $3$ 米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？
答案
9. 解：$ (2a + 3)(2a - 3) $
$ = (2a)^{2}-3^{2} $
$ = 4a^{2}-9 $（平方米）
答：改造后的长方形草坪的面积是$ (4a^{2}-9) $平方米
$ = (2a)^{2}-3^{2} $
$ = 4a^{2}-9 $（平方米）
答：改造后的长方形草坪的面积是$ (4a^{2}-9) $平方米
解析
【分析】
首先要确定改造后长方形草坪的长和宽：原正方形草坪边长为$2a$米，南北方向缩短3米，所以长方形的宽为$(2a - 3)$米；东西方向加长3米，所以长方形的长为$(2a + 3)$米。接着根据长方形面积公式“面积=长×宽”列出面积表达式，发现该表达式符合平方差公式的形式，利用平方差公式可快速计算出结果，简化运算步骤。
【解析】
改造后长方形草坪的长为$(2a + 3)$米，宽为$(2a - 3)$米，根据长方形面积公式：
面积 = 长×宽 = $(2a + 3)(2a - 3)$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$（其中$a=2a$，$b=3$），可得：
$(2a + 3)(2a - 3)=(2a)^2 - 3^2=4a^2 - 9$（平方米）
答：改造后的长方形草坪的面积是$(4a^2 - 9)$平方米。
【答案】
$(4a^2 - 9)$平方米
【知识点】
平方差公式、长方形面积公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的实际应用及长方形面积公式的运用，解题关键是准确确定改造后长方形的长和宽，通过平方差公式简化整式乘法运算，题目注重基础概念与公式的结合，有助于巩固整式运算的相关知识。
【难度系数】
0.8
首先要确定改造后长方形草坪的长和宽：原正方形草坪边长为$2a$米，南北方向缩短3米，所以长方形的宽为$(2a - 3)$米；东西方向加长3米，所以长方形的长为$(2a + 3)$米。接着根据长方形面积公式“面积=长×宽”列出面积表达式，发现该表达式符合平方差公式的形式，利用平方差公式可快速计算出结果，简化运算步骤。
【解析】
改造后长方形草坪的长为$(2a + 3)$米，宽为$(2a - 3)$米，根据长方形面积公式：
面积 = 长×宽 = $(2a + 3)(2a - 3)$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$（其中$a=2a$，$b=3$），可得：
$(2a + 3)(2a - 3)=(2a)^2 - 3^2=4a^2 - 9$（平方米）
答：改造后的长方形草坪的面积是$(4a^2 - 9)$平方米。
【答案】
$(4a^2 - 9)$平方米
【知识点】
平方差公式、长方形面积公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的实际应用及长方形面积公式的运用，解题关键是准确确定改造后长方形的长和宽，通过平方差公式简化整式乘法运算，题目注重基础概念与公式的结合，有助于巩固整式运算的相关知识。
【难度系数】
0.8
1. 在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是 (
A.$(x + 1)(1 + x)$
B.$(\frac{1}{2}a + b)(b - \frac{1}{2}a)$
C.$(-a + b)(a - b)$
D.$(x^{2} - y)(x + y^{2})$
B
)A.$(x + 1)(1 + x)$
B.$(\frac{1}{2}a + b)(b - \frac{1}{2}a)$
C.$(-a + b)(a - b)$
D.$(x^{2} - y)(x + y^{2})$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个多项式乘法能用平方差公式，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数（即符号相反，绝对值相等）。接下来逐个分析选项：
1. 选项A：两个因式都是$(x+1)$，属于相同的二项式，符合完全平方公式的形式，不符合平方差公式的特征；
2. 选项B：将因式变形为$(b + \frac{1}{2}a)(b - \frac{1}{2}a)$，其中相同项是$b$，互为相反数的项是$\frac{1}{2}a$和$-\frac{1}{2}a$，完全符合平方差公式的结构；
3. 选项C：把$(-a+b)$变形为$(b-a)$，则原式变为$(b-a)(a-b)=-(a-b)(a-b)$，是完全平方公式的变形，不符合平方差公式；
4. 选项D：两个因式中，$x^2$与$x$、$-y$与$y^2$既不相同也不互为相反数，不满足平方差公式的条件。
【解析】
平方差公式的形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，需满足两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数：
选项A：$(x + 1)(1 + x)=(x+1)^2$，是完全平方公式的应用，不能用平方差公式；
选项B：$(\frac{1}{2}a + b)(b - \frac{1}{2}a)=(b + \frac{1}{2}a)(b - \frac{1}{2}a)=b^2 - (\frac{1}{2}a)^2$，符合平方差公式的形式，可以用平方差公式计算；
选项C：$(-a + b)(a - b)=-(a - b)(a - b)=-(a - b)^2$，是完全平方公式的变形，不能用平方差公式；
选项D：$(x^{2} - y)(x + y^{2})$中，没有相同的项，也没有互为相反数的项，无法用平方差公式计算。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的结构特征
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构的理解，解题关键是准确识别两个二项式中的相同项和互为相反数的项，注意区分平方差公式与完全平方公式的不同，避免混淆。
【难度系数】
0.8
要判断哪个多项式乘法能用平方差公式，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数（即符号相反，绝对值相等）。接下来逐个分析选项：
1. 选项A：两个因式都是$(x+1)$，属于相同的二项式，符合完全平方公式的形式，不符合平方差公式的特征；
2. 选项B：将因式变形为$(b + \frac{1}{2}a)(b - \frac{1}{2}a)$，其中相同项是$b$，互为相反数的项是$\frac{1}{2}a$和$-\frac{1}{2}a$，完全符合平方差公式的结构；
3. 选项C：把$(-a+b)$变形为$(b-a)$，则原式变为$(b-a)(a-b)=-(a-b)(a-b)$，是完全平方公式的变形，不符合平方差公式；
4. 选项D：两个因式中，$x^2$与$x$、$-y$与$y^2$既不相同也不互为相反数，不满足平方差公式的条件。
【解析】
平方差公式的形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，需满足两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数：
选项A：$(x + 1)(1 + x)=(x+1)^2$，是完全平方公式的应用，不能用平方差公式；
选项B：$(\frac{1}{2}a + b)(b - \frac{1}{2}a)=(b + \frac{1}{2}a)(b - \frac{1}{2}a)=b^2 - (\frac{1}{2}a)^2$，符合平方差公式的形式，可以用平方差公式计算；
选项C：$(-a + b)(a - b)=-(a - b)(a - b)=-(a - b)^2$，是完全平方公式的变形，不能用平方差公式；
选项D：$(x^{2} - y)(x + y^{2})$中，没有相同的项，也没有互为相反数的项，无法用平方差公式计算。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的结构特征
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构的理解，解题关键是准确识别两个二项式中的相同项和互为相反数的项，注意区分平方差公式与完全平方公式的不同，避免混淆。
【难度系数】
0.8
2. 下列计算正确的是 (
A.$(2a + b)(2a - b) = 2a^{2} - b^{2}$
B.$(-2x - 3y)(2x + 3y) = 4x^{2} - 9y^{2}$
C.$(3a - bc)(-bc - 3a) = b^{2}c^{2} - 9a^{2}$
D.$(a^{2} + 3b^{3})(3b^{3} - a^{2}) = a^{4} - 9b^{6}$
C
)A.$(2a + b)(2a - b) = 2a^{2} - b^{2}$
B.$(-2x - 3y)(2x + 3y) = 4x^{2} - 9y^{2}$
C.$(3a - bc)(-bc - 3a) = b^{2}c^{2} - 9a^{2}$
D.$(a^{2} + 3b^{3})(3b^{3} - a^{2}) = a^{4} - 9b^{6}$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断各选项计算是否正确，核心是掌握平方差公式的结构特征：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，即两个因式中存在一项完全相同，另一项互为相反数；对于不符合平方差公式结构的式子，需通过多项式乘多项式法则展开验证。具体思考步骤如下：
1. 逐个分析选项，先判断是否符合平方差公式结构；
2. 若符合，直接套用公式计算，注意相同项和相反项的确定，以及平方运算时的系数和指数；
3. 若不符合，通过多项式乘多项式法则展开计算，再对比结果是否正确。
【解析】
选项A：$(2a + b)(2a - b)$符合平方差公式结构，其中相同项为$2a$，相反项为$b$和$-b$，根据平方差公式得：
$(2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$，与选项中的$2a^2 - b^2$不符，故A错误。
选项B：$(-2x - 3y)(2x + 3y) = -(2x + 3y)(2x + 3y) = -(2x + 3y)^2$，这是完全平方的形式，展开得：
$-[(2x)^2 + 2×2x×3y + (3y)^2] = -4x^2 - 12xy - 9y^2$，与选项中的$4x^2 - 9y^2$不符，故B错误。
选项C：$(3a - bc)(-bc - 3a) = (-bc + 3a)(-bc - 3a)$，符合平方差公式结构，其中相同项为$-bc$，相反项为$3a$和$-3a$，根据平方差公式得：
$(-bc)^2 - (3a)^2 = b^2c^2 - 9a^2$，与选项结果一致，故C正确。
选项D：$(a^2 + 3b^3)(3b^3 - a^2)$符合平方差公式结构，其中相同项为$3b^3$，相反项为$a^2$和$-a^2$，根据平方差公式得：
$(3b^3)^2 - (a^2)^2 = 9b^6 - a^4$，与选项中的$a^4 - 9b^6$不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、多项式乘多项式法则
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，区分平方差公式与完全平方公式，同时要注意平方运算中的系数、指数以及符号的处理，避免因细节失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要判断各选项计算是否正确，核心是掌握平方差公式的结构特征：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，即两个因式中存在一项完全相同，另一项互为相反数；对于不符合平方差公式结构的式子，需通过多项式乘多项式法则展开验证。具体思考步骤如下：
1. 逐个分析选项，先判断是否符合平方差公式结构；
2. 若符合，直接套用公式计算，注意相同项和相反项的确定，以及平方运算时的系数和指数；
3. 若不符合，通过多项式乘多项式法则展开计算，再对比结果是否正确。
【解析】
选项A：$(2a + b)(2a - b)$符合平方差公式结构，其中相同项为$2a$，相反项为$b$和$-b$，根据平方差公式得：
$(2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$，与选项中的$2a^2 - b^2$不符，故A错误。
选项B：$(-2x - 3y)(2x + 3y) = -(2x + 3y)(2x + 3y) = -(2x + 3y)^2$，这是完全平方的形式，展开得：
$-[(2x)^2 + 2×2x×3y + (3y)^2] = -4x^2 - 12xy - 9y^2$，与选项中的$4x^2 - 9y^2$不符，故B错误。
选项C：$(3a - bc)(-bc - 3a) = (-bc + 3a)(-bc - 3a)$，符合平方差公式结构，其中相同项为$-bc$，相反项为$3a$和$-3a$，根据平方差公式得：
$(-bc)^2 - (3a)^2 = b^2c^2 - 9a^2$，与选项结果一致，故C正确。
选项D：$(a^2 + 3b^3)(3b^3 - a^2)$符合平方差公式结构，其中相同项为$3b^3$，相反项为$a^2$和$-a^2$，根据平方差公式得：
$(3b^3)^2 - (a^2)^2 = 9b^6 - a^4$，与选项中的$a^4 - 9b^6$不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、多项式乘多项式法则
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，区分平方差公式与完全平方公式，同时要注意平方运算中的系数、指数以及符号的处理，避免因细节失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
3. $(\frac{1}{4}a - \frac{1}{3}b)(-\frac{1}{4}a - \frac{1}{3}b) =$
$ \frac{b^{2}}{9}-\frac{a^{2}}{16} $
.答案
3. $ \frac{b^{2}}{9}-\frac{a^{2}}{16} $
解析
【分析】
首先观察两个因式的结构，发现它们含有一项完全相同的项$-\frac{1}{3}b$，另一项$\frac{1}{4}a$与$-\frac{1}{4}a$互为相反数，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征。解题时，我们可以先将原式变形为相同项在前、相反项在后的形式，再代入平方差公式进行计算，这样比直接用多项式乘多项式更简便。
【解析】
$\begin{aligned}(\frac{1}{4}a - \frac{1}{3}b)(-\frac{1}{4}a - \frac{1}{3}b)&=(-\frac{1}{3}b + \frac{1}{4}a)(-\frac{1}{3}b - \frac{1}{4}a)\\&=(-\frac{1}{3}b)^2 - (\frac{1}{4}a)^2\\&=\frac{1}{9}b^2 - \frac{1}{16}a^2\\&=\frac{b^2}{9} - \frac{a^2}{16}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{b^{2}}{9}-\frac{a^{2}}{16}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活应用，核心是准确识别因式中的相同项和互为相反数的项。运用平方差公式能大幅简化多项式乘法的运算过程，计算时需注意符号的处理以及幂的乘方运算的正确性，避免出现符号错误或计算失误。
【难度系数】
0.8
首先观察两个因式的结构，发现它们含有一项完全相同的项$-\frac{1}{3}b$，另一项$\frac{1}{4}a$与$-\frac{1}{4}a$互为相反数，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特征。解题时，我们可以先将原式变形为相同项在前、相反项在后的形式，再代入平方差公式进行计算，这样比直接用多项式乘多项式更简便。
【解析】
$\begin{aligned}(\frac{1}{4}a - \frac{1}{3}b)(-\frac{1}{4}a - \frac{1}{3}b)&=(-\frac{1}{3}b + \frac{1}{4}a)(-\frac{1}{3}b - \frac{1}{4}a)\\&=(-\frac{1}{3}b)^2 - (\frac{1}{4}a)^2\\&=\frac{1}{9}b^2 - \frac{1}{16}a^2\\&=\frac{b^2}{9} - \frac{a^2}{16}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{b^{2}}{9}-\frac{a^{2}}{16}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活应用，核心是准确识别因式中的相同项和互为相反数的项。运用平方差公式能大幅简化多项式乘法的运算过程，计算时需注意符号的处理以及幂的乘方运算的正确性，避免出现符号错误或计算失误。
【难度系数】
0.8
4. $(xy + 2)(xy - 2) =$
$ x^{2}y^{2}-4 $
.答案
4. $ x^{2}y^{2}-4 $
解析
【分析】
这道题考查平方差公式的应用，首先回忆平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。观察题目中的式子$(xy + 2)(xy - 2)$，可以把$xy$看作一个整体，相当于公式中的$a$，$2$相当于公式中的$b$，直接代入平方差公式进行计算即可。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=xy$，$b=2$，则：
$\begin{aligned}(xy + 2)(xy - 2)&=(xy)^2 - 2^2\\&=x^2y^2 - 4\end{aligned}$
【答案】
$x^{2}y^{2}-4$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的直接应用，解题关键是能准确识别公式中的$a$和$b$，将$xy$看作一个整体进行计算，属于基础题型，熟练掌握平方差公式是解题的核心。
【难度系数】
0.9
这道题考查平方差公式的应用，首先回忆平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。观察题目中的式子$(xy + 2)(xy - 2)$，可以把$xy$看作一个整体，相当于公式中的$a$，$2$相当于公式中的$b$，直接代入平方差公式进行计算即可。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=xy$，$b=2$，则：
$\begin{aligned}(xy + 2)(xy - 2)&=(xy)^2 - 2^2\\&=x^2y^2 - 4\end{aligned}$
【答案】
$x^{2}y^{2}-4$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式的直接应用，解题关键是能准确识别公式中的$a$和$b$，将$xy$看作一个整体进行计算，属于基础题型，熟练掌握平方差公式是解题的核心。
【难度系数】
0.9
5. $(-3a + m)(4b + n) = 16b^{2} - 9a^{2}$，则 $m =$
$ 4b $
，$n =$$ 3a $
.答案
5. $ 4b $，$ 3a $
解析
【分析】
首先观察等式右边的代数式，它符合平方差公式的形式，我们可以先利用平方差公式将右边因式分解；然后将左边的式子变形，与分解后的右边式子进行对比，根据多项式相等则对应项相等的原则，即可求出$m$和$n$的值。具体思考步骤：1. 回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$；2. 把右边的$16b^2 - 9a^2$转化为$(4b)^2-(3a)^2$，分解得到$(4b+3a)(4b-3a)$；3. 左边$(-3a+m)(4b+n)$可整理为$(m-3a)(4b+n)$，对比分解后的右边，对应位置的项必须相等，从而求出$m$和$n$。
【解析】
1. 对等式右边的式子进行因式分解：
$\begin{aligned}16b^2 - 9a^2&=(4b)^2-(3a)^2\\&=(4b + 3a)(4b - 3a)\end{aligned}$
2. 整理左边的式子：
$(-3a + m)(4b + n)=(m - 3a)(4b + n)$
3. 对比左右两边的因式：
因为$(m - 3a)(4b + n)=(4b - 3a)(4b + 3a)$，根据多项式相等时对应项相等，可得：
对于含$a$的项：$m - 3a = 4b - 3a$，解得$m=4b$；
对于含$a$的另一项：$4b + n = 4b + 3a$，解得$n=3a$。
【答案】
$4b$，$3a$
【知识点】
平方差公式逆用，多项式相等条件
【点评】
本题考查平方差公式的逆运用及多项式相等的性质，解题核心是准确识别平方差形式并完成因式分解，再通过对应项匹配求出未知参数，需要学生熟练掌握平方差公式的结构特征。
【难度系数】
0.7
首先观察等式右边的代数式，它符合平方差公式的形式，我们可以先利用平方差公式将右边因式分解；然后将左边的式子变形，与分解后的右边式子进行对比，根据多项式相等则对应项相等的原则，即可求出$m$和$n$的值。具体思考步骤：1. 回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$；2. 把右边的$16b^2 - 9a^2$转化为$(4b)^2-(3a)^2$，分解得到$(4b+3a)(4b-3a)$；3. 左边$(-3a+m)(4b+n)$可整理为$(m-3a)(4b+n)$，对比分解后的右边，对应位置的项必须相等，从而求出$m$和$n$。
【解析】
1. 对等式右边的式子进行因式分解：
$\begin{aligned}16b^2 - 9a^2&=(4b)^2-(3a)^2\\&=(4b + 3a)(4b - 3a)\end{aligned}$
2. 整理左边的式子：
$(-3a + m)(4b + n)=(m - 3a)(4b + n)$
3. 对比左右两边的因式：
因为$(m - 3a)(4b + n)=(4b - 3a)(4b + 3a)$，根据多项式相等时对应项相等，可得：
对于含$a$的项：$m - 3a = 4b - 3a$，解得$m=4b$；
对于含$a$的另一项：$4b + n = 4b + 3a$，解得$n=3a$。
【答案】
$4b$，$3a$
【知识点】
平方差公式逆用，多项式相等条件
【点评】
本题考查平方差公式的逆运用及多项式相等的性质，解题核心是准确识别平方差形式并完成因式分解，再通过对应项匹配求出未知参数，需要学生熟练掌握平方差公式的结构特征。
【难度系数】
0.7
