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21. (8 分)如图,长方形的一组邻边长分别为 10,$m(10＜m＜15)$,在长方形的内部放置 4 个完全相同的小长方形纸片(图中阴影部分),这样得到了长方形 ABCD 和长方形 EFGH.
(1)线段 FG,EF 之间的等量关系是______.
(2)记长方形 ABCD 的周长为$C_{1}$,长方形 EFGH 的周长为$C_{2}$,对于任意的 m 的值,$C_{1}+C_{2}$的值是否为一个确定的值？若是一个确定的值,请写出这个值,并说明理由；若不是一个确定的值,请举出反例.
(1)线段 FG,EF 之间的等量关系是______.
(2)记长方形 ABCD 的周长为$C_{1}$,长方形 EFGH 的周长为$C_{2}$,对于任意的 m 的值,$C_{1}+C_{2}$的值是否为一个确定的值？若是一个确定的值,请写出这个值,并说明理由；若不是一个确定的值,请举出反例.
答案
【解】
(1)EF = 2FG
(2)C₁ + C₂的值是一个确定的值. C₁ + C₂ = 40. 理由如下：设FG = a，则EF = 2a，所以C₂ = 2(FG + EF)=6a. 易得BC = 10 - 2a，AB = m - 2a，m - a = 10，所以C₁ = 2(AB + BC)=20 + 2m - 8a. 所以C₁ + C₂ = 20 + 2m - 8a + 6a = 20 + 2m - 2a = 20 + 2(m - a)=20 + 2×10 = 40.
(1)EF = 2FG
(2)C₁ + C₂的值是一个确定的值. C₁ + C₂ = 40. 理由如下：设FG = a，则EF = 2a，所以C₂ = 2(FG + EF)=6a. 易得BC = 10 - 2a，AB = m - 2a，m - a = 10，所以C₁ = 2(AB + BC)=20 + 2m - 8a. 所以C₁ + C₂ = 20 + 2m - 8a + 6a = 20 + 2m - 2a = 20 + 2(m - a)=20 + 2×10 = 40.
22. (10 分)如图,点 O 是直线 MN 上一点.将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转,转速为每秒$5^{\circ }$,得到射线 OA；同时,将射线 ON 绕点 O 顺时针旋转,转速为 OM 转速的 3 倍,得到射线 OB.设旋转时间为 t 秒$(0≤t≤12)$.
(1)当$t= 4$时(如图①),求$∠AOB$的度数.
(2)当射线 OA 与射线 OB 重合时(如图②),求 t 的值.
(3)是否存在 t 值,使得射线 OB 平分$∠AOM$？如果存在,请求出 t 的值；如果不存在,请说明理由.
①
②
(1)当$t= 4$时(如图①),求$∠AOB$的度数.
(2)当射线 OA 与射线 OB 重合时(如图②),求 t 的值.
(3)是否存在 t 值,使得射线 OB 平分$∠AOM$？如果存在,请求出 t 的值；如果不存在,请说明理由.
①
②
答案
【解】
(1)当t = 4时，∠AOM = 4×5° = 20°，∠BON = 4×3×5° = 60°，所以∠AOB = 180° - ∠AOM - ∠BON = 100°.
(2)根据题意，得(5t)° + 3×(5t)° = 180°，解得t = 9. 所以当射线OA与射线OB重合时，t的值是9.
(3)存在t值，使得射线OB平分∠AOM，如图.
因为∠BON = 3×(5t)° = (15t)°，所以∠BOM = 180° - (15t)° = (180 - 15t)°. 因为射线OB平分∠AOM，且∠AOM = (5t)°，所以5t = 2(180 - 15t)，解得t = $\frac{72}{7}$. 所以t的值为$\frac{72}{7}$.