7.（2024·天津中考）如图，在△ABC中，∠B = 30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别为D、E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（ ）

A. ∠ACB = ∠ACD
B. AC//DE
C. AB = EF
D. BF⊥CE

D 解析：A. 由旋转可得∠ACB = ∠ECD，而∠ECD与∠ACD不一定相等，选项错误；B. ∠ACE与∠E不一定相等，故无法判定AC//DE，选项错误；C. 由旋转可得AB = ED，而BA延长线不一定与DE正好交于D点，故AB不一定等于EF，选项错误；D. 设EC与BF交于点H，由旋转可得∠BCE = ∠ACD = 60°，∵∠B = 30°，∴在△BHC中，∠BHC = 180° - ∠BCE - ∠B = 90°，∴BF⊥CE，故选项正确. 故选D.

8.（2024·广元中考改编）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B、C的对应点分别为点D、E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD = 3，BC = 1，则AD的长为（ ）

A. $\sqrt{5}$
B. $\sqrt{10}$
C. 2
D. 4

A 解析：由旋转得△ABC≌△ADE，∠CAE = 90°，∴AC = AE，DE = BC = 1，∴△ACE是等腰直角三角形，CE = CD + DE = 3 + 1 = 4. 如图，过点A作AH⊥CE于点H，∴AH = $\frac{1}{2}$CE = CH = HE = 2，∴HD = HE - DE = 2 - 1 = 1，∴AD = $\sqrt{AH^{2}+HD^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{5}$. 故选A.

9.（2023·枣庄中考）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形. 如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B、C的坐标分别为(-3,2)、(4,3)，将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为______.

(-3,1)

10.（2024·雅安中考）如图，在△ABC和△ADE中，AB = AC，∠BAC = ∠DAE = 40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是______.

60°或120° 解析：如图①，当AD⊥BC时，延长AD交BC于点J，
∵AB = AC，∠BAC = ∠DAE = 40°，∴∠BAJ = ∠CAJ = 20°，
∴∠BAE = 20° + 40° = 60°；
如图②，当AD⊥BC时，延长DA交BC于点J，∵AB = AC，∠BAC = ∠DAE = 40°，∴∠BAJ = ∠CAJ = 20°，∴∠BAE = 180° - 20° - 40° = 120°，故答案为60°或120°.
　

11.（2023·宁夏中考改编）如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，BC = 2. 点D在BC上，且BD:CD = 1:3. 连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE、DE. 则△BDE的面积是______.

$\frac{3}{8}$ 解析：∵∠BAC = 90°，AB = AC，∴∠ABC = ∠C = 45°，∠BAD + ∠CAD = 90°. ∵将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，∴AD = AE，∠BAD + ∠BAE = ∠DAE = 90°，∴∠CAD = ∠BAE. 在△ADC和△AEB中，$\begin{cases}AD = AE,\\\angle CAD = \angle BAE,\\AC = AB,\end{cases}$ ∴△ADC≌△AEB，∴BE = CD，∠ABE = ∠C = 45°，∴∠EBD = ∠ABE + ∠ABC = 90°. ∵BC = 2，BD:CD = 1:3，∴BD = 2×$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$，BE = CD = 2×$\frac{3}{4}$ = $\frac{3}{2}$，∴△BDE的面积等于$\frac{1}{2}$BD·BE = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$ = $\frac{3}{8}$.

12.（南充中考改编）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，$\sqrt{8}$，$\sqrt{10}$，△ADP沿点A旋转至△ABP'，连接PP'，并延长AP与BC相交于点Q.
（1）求证：△APP'是等腰直角三角形；
（2）判断△BPP'的形状，并求∠BPQ的度数；
（3）求正方形ABCD的边AB的长.

(1)∵△ADP沿点A旋转至△ABP'，∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP'B，∴AP = AP'，∠PAD = ∠P'AB. ∵∠PAD + ∠PAB = 90°，∴∠P'AB + ∠PAB = 90°，即∠PAP' = 90°. ∴△APP'是等腰直角三角形.
(2)由(1)知∠PAP' = 90°，AP = AP' = 1，∴PP' = $\sqrt{2}$. ∵P'B = PD = $\sqrt{10}$，PB = $\sqrt{8}$，∴P'B² = PP'² + PB²，∴△BPP'是直角三角形，∠P'PB = 90°. ∵△APP'是等腰直角三角形，∴∠APP' = 45°，∴∠BPQ = 180° - 90° - 45° = 45°.
(3)如图，过点B作BE⊥AQ，垂足为E. ∵∠BPQ = 45°，PB = $\sqrt{8}$，易得PE = BE = 2，∴AE = AP + PE = 1 + 2 = 3，∴AB = $\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+2^{2}}$ = $\sqrt{13}$，即正方形ABCD的边AB的长为$\sqrt{13}$.
　　

13.（1）（绥化中考）如图①，在四边形ABCD中，∠ABC = 30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB = 3，BC = 4，则BD = ______.
（2）（2024·深圳期末）如图②，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC = 30°，CD = 2，BD = 3，则AD的长为______.

(1)5 解析：连接BE，∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，AB = 3，BC = 4，∠ABC = 30°，∴∠BCE = 60°，CB = CE，AE = BD，∴△BCE是等边三角形，∴∠CBE = 60°，BE = BC = 4，∴∠ABE = ∠ABC + ∠CBE = 30° + 60° = 90°，∴AE = $\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}$ = 5. 又∵AE = BD，∴BD = 5.
(2)$\sqrt{5}$ 解析：如图所示，将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连接DE. 由旋转的性质知DC = EC，∠DCE = ∠ACB = 60°，BD = AE = 3，则△DCE为等边三角形，∴DE = CD = 2. ∵∠ADC = 30°，∴∠ADE = 90°，∴AD² + DE² = AE²，即AD² + 2² = 3²，∴AD = $\sqrt{5}$.
技法点拨
利用有公共端点的相等线段构造旋转全等，可将分散的条件集中到同一个三角形中，以便解决问题. 遇等腰直角三角形或垂直且相等的边，常构造旋转90°的全等三角形；遇60°的等腰三角形常构造旋转60°的全等三角形；遇120°的等腰三角形常构造旋转120°的全等三角形.