4.(2024·扬州期末)小明家饮水机中原有水的温度为20℃,通电开机后,饮水机自动开始加热,此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系,当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降,此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系,当水温降至20℃时,饮水机又自动开始加热,重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题:
　　　　
　(1)当0≤x≤8时,求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数表达式
　(2)求图中t的值.
　(3)有一天,小明在上午7:10(水温20℃),开机通电后去上学,中午放学回到家时间刚好11:15,请问此时饮水机内水的温度约为多少摄氏度？在7:10~11:15这段时间里,水温共有几次达到100℃？

(1)由图像可知，当$0\leqslant x\leqslant8$时是一次函数，设水温$y(^{\circ}C)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y = kx + b$，将$(0,20)$、$(8,100)$代入得
$\begin{cases}8k + b = 100\\b = 20\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 10\\b = 20\end{cases}$，∴水温$y(^{\circ}C)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y = 10x + 20(0\leqslant x\leqslant8)$。
(2)在水温下降过程中，设水温$y(^{\circ}C)$与开机时间$x$(分)的函数表达式为$y=\frac{m}{x}$，将$(8,100)$代入，得$100=\frac{m}{8}$，解得$m = 800$，∴反比例函数表达式为$y=\frac{800}{x}$，当$y = 20$时，$20=\frac{800}{x}$，解得$x = 40$，即图中$t$的值为$40$。
(3)由(2)可得$t = 40$，结合图像，可知每$40$分钟图像重复出现一次，$7:10\sim11:15$经历的时间为$245$分钟，$245\div40 = 6$(次)$\cdots\cdots5$(分钟)，$8＞5$，此时与$x = 5$时水的温度相同，∴当$x = 5$时，$y = 10×5 + 20 = 70(^{\circ}C)$。答：此时饮水机内水温约为$70^{\circ}C$，共有$6$次达到$100^{\circ}C$。

5.小明探究下列问题:商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖.若该商场采用以下两种不同方式混合:
　方式1:将质量相等的甲、乙糖果进行混合;方式2:将总价相等的甲、乙糖果进行混合.哪种方式混合的什锦糖的单价更低？
　(1)小明设甲、乙糖果的单价分别为a、b,用含a、b的代数式分别表示两种方式混合的什锦糖的单价.
　(2)为解决问题，小明查阅了资料,发现以下正确结论:
　结论1:若A - B＞0,则A＞B;若A - B = 0,则A = B;若A - B＜0,则A＜B;
　结论2:反比例函数y = $\frac{1}{x}$的图像上的点的横坐标与纵坐标互为倒数;
　结论3:若P的坐标为(x1,y1)，Q的坐标为(x2,y2)，则线段PQ的中点坐标为($\frac{x1 + x2}{2}$,$\frac{y1 + y2}{2}$).
　小明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程:
　①利用结论1求解;
　②利用结论2、结论3求解.
　　　　　　　　　　　　　

(1)采用方式$1$混合的什锦糖的单价为$\frac{a + b}{2}$，采用方式$2$混合的什锦糖的单价为$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a + b}$。
(2)①∵$a＞0$，$b＞0$，$a\neq b$，∴$(a - b)^2＞0$，$2(a + b)＞0$，∴$\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a - b)^2}{2(a + b)}＞0$，由结论$1$，得$\frac{a + b}{2}＞\frac{2ab}{a + b}$，∴采用方式$2$混合的什锦糖的单价更低。
②如图，设$A$、$B$是反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图像上两点，$C$是线段$AB$的中点，令点$A$、$B$的纵坐标分别为$a$、$b$，不妨设$a ＜ b$，过点$C$作$CD\perp x$轴，垂足为$D$，$CD$与此函数图像交于点$E$，由结论$2$，得点$A$、$B$的横坐标分别为$\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$，由结论$3$，得点$C$的坐标为$(\frac{a + b}{2ab},\frac{a + b}{2})$。
∵点$C$与点$E$的横坐标相等，∴点$E$的横坐标为$\frac{a + b}{2ab}$，由结论$2$，得点$E$的坐标为$(\frac{a + b}{2ab},\frac{2ab}{a + b})$。∵$E$是线段$CD$上一点，∴$CD＞DE$，
∴$\frac{a + b}{2}＞\frac{2ab}{a + b}$，∴采用方式$2$混合的什锦糖的单价更低。