4. (2023·长沙中考)我们约定:若关于 $x$ 的二次函数 $y_{1}= a_{1}x^{2}+b_{1}x + c_{1}$ 与 $y_{2}= a_{2}x^{2}+b_{2}x + c_{2}$ 同时满足 $\sqrt{a_{2}-c_{1}}+(b_{2}+b_{1})^{2}+|c_{2}-a_{1}| = 0$,$(b_{1}-b_{2})^{2023}\neq 0$,则称函数 $y_{1}$ 与函数 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数.根据该约定,解答下列问题:
(1)若关于 $x$ 的二次函数 $y_{1}= 2x^{2}+kx + 3$ 与 $y_{2}= mx^{2}+x + n$ 互为“美美与共”函数,求 $k$、$m$、$n$ 的值.
(2)对于任意非零实数 $r$、$s$,点 $P(r,t)$ 与点 $Q(s,t)(r\neq s)$ 始终在关于 $x$ 的函数 $y_{1}= x^{2}+2rx + s$ 的图像上运动,函数 $y_{2}$ 与 $y_{1}$ 互为“美美与共”函数.
①求函数 $y_{2}$ 的图像的对称轴.
②函数 $y_{2}$ 的图像是否经过某两个定点? 若经过某两个定点,求出这两个定点的坐标;否则,请说明理由.
(3)在同一平面直角坐标系中,若关于 $x$ 的二次函数 $y_{1}= ax^{2}+bx + c$ 与它的“美美与共”函数 $y_{2}$ 的图像顶点分别为点 $A$、点 $B$,函数 $y_{1}$ 的图像与 $x$ 轴交于不同两点 $C$、$D$,函数 $y_{2}$ 的图像与 $x$ 轴交于不同两点 $E$、$F$.当 $CD = EF$ 时,以 $A$、$B$、$C$、$D$ 为顶点的四边形能否为正方形? 若能,求出该正方形面积的取值范围;若不能,请说明理由.
(1)若关于 $x$ 的二次函数 $y_{1}= 2x^{2}+kx + 3$ 与 $y_{2}= mx^{2}+x + n$ 互为“美美与共”函数,求 $k$、$m$、$n$ 的值.
(2)对于任意非零实数 $r$、$s$,点 $P(r,t)$ 与点 $Q(s,t)(r\neq s)$ 始终在关于 $x$ 的函数 $y_{1}= x^{2}+2rx + s$ 的图像上运动,函数 $y_{2}$ 与 $y_{1}$ 互为“美美与共”函数.
①求函数 $y_{2}$ 的图像的对称轴.
②函数 $y_{2}$ 的图像是否经过某两个定点? 若经过某两个定点,求出这两个定点的坐标;否则,请说明理由.
(3)在同一平面直角坐标系中,若关于 $x$ 的二次函数 $y_{1}= ax^{2}+bx + c$ 与它的“美美与共”函数 $y_{2}$ 的图像顶点分别为点 $A$、点 $B$,函数 $y_{1}$ 的图像与 $x$ 轴交于不同两点 $C$、$D$,函数 $y_{2}$ 的图像与 $x$ 轴交于不同两点 $E$、$F$.当 $CD = EF$ 时,以 $A$、$B$、$C$、$D$ 为顶点的四边形能否为正方形? 若能,求出该正方形面积的取值范围;若不能,请说明理由.
答案
