例2 如图,在四边形ABCD中,AB//DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,连结OE。
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=5,BD=6,求OE的长。

(1) 证明：
∵ $AB// DC$，
∴ $∠ OAB = ∠ DCA$，
∵ $AC$ 平分 $∠ BAD$，
∴ $∠ OAB = ∠ DAC$，
∴ $∠ DCA = ∠ DAC$，
∴ $AD = DC$，
又∵ $AB = AD$，
∴ $AB = DC$，
又∵ $AB// DC$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
又∵ $AB = AD$，
∴ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形。
---
(2) 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AC⊥ BD$，$OA=OC$，$OB=OD$，
∵ $BD=6$，
∴ $OB = \frac{1}{2}BD = 3$，
在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中，$AB=5$，$OB=3$，
由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$，
∴ $AC = 2OA = 8$，
∵ $CE⊥ AB$，
∴ $∠ AEC = 90°$，
在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中，$O$ 是 $AC$ 的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}AC = 4$。
最终 $OE$ 的长为 $\boldsymbol{4}$。

【分析】
第一问要证明四边形ABCD是菱形，需先证其为平行四边形，再结合邻边相等的条件。利用AB//DC得内错角相等，结合AC平分∠BAD推出AD=DC，结合AB=AD得到AB=DC，由一组对边平行且相等证得平行四边形，再根据邻边相等得菱形。第二问利用菱形对角线互相垂直平分，结合勾股定理求出OA，进而得到AC长度，再依据直角三角形斜边中线定理求出OE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//DC，
∴ ∠OAB = ∠DCA，
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠OAB = ∠DAC，
∴ ∠DCA = ∠DAC，
∴ AD = DC，
又
∵ AB = AD，
∴ AB = DC，
又
∵ AB//DC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
又
∵ AB = AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵ BD=6，
∴ OB = ½BD = 3，
在Rt△AOB中，AB=5，OB=3，
由勾股定理得：OA = √(AB² - OB²) = √(5² - 3²) = 4，
∴ AC = 2OA = 8，
∵ CE⊥AB，
∴ ∠AEC = 90°，
在Rt△ACE中，O是AC的中点，
∴ OE = ½AC = ½×8 = 4。
【答案】
4
【知识点】
菱形的判定、菱形的性质、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题综合考查菱形的判定与性质，以及直角三角形斜边中线的性质，解题关键是熟练运用相关定理，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5

练2-1 如图,在菱形ABCD中,点E为对角线AC上一点,且$CD=CE$,$∠ABC=100°$,则$∠CDE=$（）

A.$75°$
B.$70°$
C.$65°$
D.$60°$

B

【分析】首先利用菱形邻角互补的性质求出∠BCD的度数，再根据菱形对角线平分内角得到∠DCE的度数；结合CD=CE可知△CDE为等腰三角形，最后根据等腰三角形内角和定理计算∠CDE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=100°，
∴∠BCD=180°−∠ABC=180°−100°=80°，且AC平分∠BCD，
∴∠DCE=½∠BCD=½×80°=40°，
又
∵CD=CE，
∴△CDE是等腰三角形，
∴∠CDE=∠CED=(180°−∠DCE)÷2=(180°−40°)÷2=70°。
【答案】B
【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质
【点评】本题结合菱形和等腰三角形的性质进行角度计算，属于基础几何题，关键是掌握菱形内角与对角线的性质，难度不大，适合多数学生解答。
【难度系数】0.6

练2-2 如图,点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点,连结PE,PB,PD,且PE=PB。
(1)求证:PE=PD;
(2)求证:∠PDC=∠PEB;
(3)若∠BAD=80°,连结DE,试求∠PDE的度数,并说明理由。

证明：(1)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=AD，∠BAP=∠DAP，
在△ABP和△ADP中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\∠BAP=∠DAP \\AP=AP\end{array} $
∴ △ABP ≌ △ADP（SAS），
∴ PB=PD，
又∵ PE=PB，
∴ PE=PD。
证明：(2)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ BC=DC，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，
$\{\begin{array}{l}BC=DC \\∠BCP=∠DCP \\CP=CP\end{array} $
∴ △BCP ≌ △DCP（SAS），
∴ ∠PBC=∠PDC，
∵ PE=PB，
∴ ∠PBC=∠PEB，
∴ ∠PDC=∠PEB。
解：(3) ∠PDE=40°，理由如下：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠BCD=∠BAD=80°，
由(2)得∠PDC=∠PEB，
∴ ∠PDC + ∠PEC = ∠PEB + ∠PEC = 180°，
在四边形PECD中，内角和为360°，
∴ ∠DPE + ∠PDC + ∠PEC + ∠DCE = 360°，
代入得∠DPE + 180° + 80° = 360°，
∴ ∠DPE=100°，
由(1)得PE=PD，△PDE为等腰三角形，
∴ ∠PDE=∠PED=$\frac{180° - ∠DPE}{2}$=$\frac{180°-100°}{2}$=40°。

【分析】
本题是菱形相关的几何证明与计算问题，解题思路如下：
(1) 要证PE=PD，已知PE=PB，只需证PB=PD。利用菱形对角线平分一组对角的性质，结合公共边AP，通过SAS证明△ABP≌△ADP，得到PB=PD，进而得证；
(2) 要证∠PDC=∠PEB，先利用菱形性质，通过SAS证明△BCP≌△DCP，得到∠PBC=∠PDC；再由PE=PB，根据等腰三角形两底角相等，得∠PBC=∠PEB，等量代换即可；
(3) 求∠PDE的度数，先利用菱形对角相等得∠BCD=∠BAD=80°；结合(2)中∠PDC=∠PEB，推出∠PDC+∠PEC=180°，再利用四边形内角和为360°算出∠DPE的度数；最后由(1)中PE=PD，△PDE为等腰三角形，用内角和公式计算∠PDE。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=AD，∠BAP=∠DAP（菱形的对角线平分一组对角）。
在△ABP和△ADP中，
$\{\begin{array}{l} AB=AD \\ ∠BAP=∠DAP \\ AP=AP \end{array} $
∴ △ABP ≌ △ADP（SAS），
∴ PB=PD。
又
∵ PE=PB，
∴ PE=PD。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ BC=DC，∠BCP=∠DCP（菱形的对角线平分一组对角）。
在△BCP和△DCP中，
$\{\begin{array}{l} BC=DC \\ ∠BCP=∠DCP \\ CP=CP \end{array} $
∴ △BCP ≌ △DCP（SAS），
∴ ∠PBC=∠PDC。
∵ PE=PB，
∴ ∠PBC=∠PEB（等腰三角形两底角相等），
∴ ∠PDC=∠PEB。
(3) 解：∠PDE=40°，理由如下：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠BCD=∠BAD=80°（菱形的对角相等）。
由(2)知∠PDC=∠PEB，
又
∵ ∠PEB + ∠PEC=180°（平角定义），
∴ ∠PDC + ∠PEC=180°。
在四边形PECD中，内角和为360°，
∴ ∠DPE + ∠PDC + ∠PEC + ∠DCE=360°，
代入∠PDC+∠PEC=180°，∠DCE=∠BCD=80°，
得∠DPE + 180° + 80°=360°，
∴ ∠DPE=100°。
由(1)知PE=PD，
∴ △PDE是等腰三角形，
∴ ∠PDE=∠PED=$\frac{180° - ∠DPE}{2}$=$\frac{180° - 100°}{2}$=40°。
【答案】
∠PDE=40°
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的内角性质，解题时需逐步利用菱形的对角线平分对角、对角相等的性质，结合全等三角形的判定推导角的关系，逻辑链条清晰，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6