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例1 (杭州市上城区)下列式子中，$x$可以取1和2的是 (
A.$\dfrac{1}{x-1}$
B.$\sqrt{x-1}$
C.$\sqrt{x-2}$
D.$\dfrac{1}{x-2}$
B
)A.$\dfrac{1}{x-1}$
B.$\sqrt{x-1}$
C.$\sqrt{x-2}$
D.$\dfrac{1}{x-2}$
答案
B
知识归纳
二次根式的概念:形如$\sqrt{a}(a≥0)$的式子叫作二次根式，其中$a$可以是数，也可以是代数式。二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
二次根式的概念:形如$\sqrt{a}(a≥0)$的式子叫作二次根式，其中$a$可以是数，也可以是代数式。二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
答案
解：
二次根式的概念：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫作二次根式，其中$a$可以是数，也可以是代数式。
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
二次根式的概念：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫作二次根式，其中$a$可以是数，也可以是代数式。
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
1.（宁波市镇海区）要使二次根式$\sqrt{3-m}$有意义，则$m$的取值范围是 （
A.$m＜3$
B.$m≤3$
C.$m＞3$
D.$m≥3$
B
）A.$m＜3$
B.$m≤3$
C.$m＞3$
D.$m≥3$
答案
B
例2 有下列等式:①$(-\sqrt{2})^{2}=2$;②$\sqrt{(-2)^{2}}=2$;③$\sqrt{12^{2}+14^{2}}=12\sqrt{3}$;④$\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$,其中正确的是（
A.①②③④
B.①②③
C.①②
D.③④
C
）A.①②③④
B.①②③
C.①②
D.③④
答案
C
1. 二次根式的性质:(1)$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$。(2)$\sqrt{a^{2}}=|a|=\begin{cases}a(a≥0),\\-a(a＜0)。\end{cases}$(3)$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}≥0(a≥0,b≥0)$。(4)$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$。
2. 二次根式的双重非负性:$\sqrt{a}≥0$且$a≥0$。
2. 二次根式的双重非负性:$\sqrt{a}≥0$且$a≥0$。
答案
解：
1. 二次根式的性质：
(1) $(\sqrt{a})^{2}=a\quad(a≥0)$
(2) $\sqrt{a^{2}}=|a|=\begin{cases}a&(a≥0)\\-a&(a＜0)\end{cases}$
(3) $\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\quad(a≥0,b≥0)$，其中$\sqrt{a}≥0$，$\sqrt{b}≥0$
(4) $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a≥0,b＞0)$
2. 二次根式的双重非负性：
$\sqrt{a}≥0$且被开方数$a≥0$
1. 二次根式的性质：
(1) $(\sqrt{a})^{2}=a\quad(a≥0)$
(2) $\sqrt{a^{2}}=|a|=\begin{cases}a&(a≥0)\\-a&(a＜0)\end{cases}$
(3) $\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\quad(a≥0,b≥0)$，其中$\sqrt{a}≥0$，$\sqrt{b}≥0$
(4) $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a≥0,b＞0)$
2. 二次根式的双重非负性：
$\sqrt{a}≥0$且被开方数$a≥0$
2.（长兴县）当$x＜0$时，化简$\sqrt{x^2 - 2x + 1}$的结果是 （
A.$x - 1$
B.$1 - x$
C.$(x - 1)^2$
D.$x + 1$
B
）A.$x - 1$
B.$1 - x$
C.$(x - 1)^2$
D.$x + 1$
答案
B
3.（杭州市余杭区）已知$\sqrt{m-2}(m-3)≤0$，若整数$a$满足$m+a=5\sqrt{2}$，则$a=$______。
答案
5
例3 (杭州市滨江区)计算：
(1)$\sqrt{18}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{8}$。
(2)$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{6}}$。
(3)$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+(2\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2\sqrt{2})$。
(1)$\sqrt{18}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{8}$。
(2)$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{6}}$。
(3)$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+(2\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2\sqrt{2})$。
答案
(1)原式$=3\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}=\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$。
(2)原式$=\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})+\dfrac{\sqrt{6}}{6}=\sqrt{6}+2+\dfrac{\sqrt{6}}{6}=\dfrac{7\sqrt{6}}{6}+2$。
(3)原式$=2-2\sqrt{6}+3+3-8=-2\sqrt{6}$。
(2)原式$=\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})+\dfrac{\sqrt{6}}{6}=\sqrt{6}+2+\dfrac{\sqrt{6}}{6}=\dfrac{7\sqrt{6}}{6}+2$。
(3)原式$=2-2\sqrt{6}+3+3-8=-2\sqrt{6}$。
