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1 [2025 江苏南京模拟，中]已知非零有理数$a$，$b$，且$a ＞ b$，则不等式组$$\begin{cases}ax ＜ 1,①\\bx ＜ 1②\end{cases}$$的解集不可以是( )
A.$x ＜ \dfrac{1}{a}$
B.$x ＞ \dfrac{1}{b}$
C.$\dfrac{1}{b} ＜ x ＜ \dfrac{1}{a}$
D.无解
A.$x ＜ \dfrac{1}{a}$
B.$x ＞ \dfrac{1}{b}$
C.$\dfrac{1}{b} ＜ x ＜ \dfrac{1}{a}$
D.无解
答案
1.D 【解析】A 选项,若a＞0,b＞0,且a＞b,则
$\frac {1}{a}＜\frac {1}{b}.ax＜1$的解集为$x＜\frac {1}{a},bx＜1$的解集
为$x＜\frac {1}{b}$,此时原不等式组的解集为$x＜\frac {1}{a}$,故
本选项不符合题意.B 选项,若a＜0,b＜0,且
a＞b,则$\frac {1}{a}＜\frac {1}{b}.ax＜1$的解集为$x＞\frac {1}{a},bx＜1$的
解集为$x＞\frac {1}{b}$,此时原不等式组的解集为x＞
$\frac {1}{b}$,故本选项不符合题意.C 选项,若a＞0,b＜0,
且a＞b,则ax＜1的解集为$x＜\frac {1}{a},bx＜1$的解集
为$x＞\frac {1}{b}$,此时原不等式组的解集为$\frac {1}{b}＜x＜$
$\frac {1}{a},$
故本选项不符合题意.D 选项,分情况讨论:
若a＞0,b＞0,解集为$x＜\frac {1}{a}$,有解;若a＜0,b＜0,
解集为$x＞\frac {1}{b}$,有解;若a＞0,b＜0,解集为$\frac {1}{b}＜x＜$
$\frac {1}{a}$,有解.综上可知,原不等式组不可能无解,故
本选项符合题意.故选 D.
$\frac {1}{a}＜\frac {1}{b}.ax＜1$的解集为$x＜\frac {1}{a},bx＜1$的解集
为$x＜\frac {1}{b}$,此时原不等式组的解集为$x＜\frac {1}{a}$,故
本选项不符合题意.B 选项,若a＜0,b＜0,且
a＞b,则$\frac {1}{a}＜\frac {1}{b}.ax＜1$的解集为$x＞\frac {1}{a},bx＜1$的
解集为$x＞\frac {1}{b}$,此时原不等式组的解集为x＞
$\frac {1}{b}$,故本选项不符合题意.C 选项,若a＞0,b＜0,
且a＞b,则ax＜1的解集为$x＜\frac {1}{a},bx＜1$的解集
为$x＞\frac {1}{b}$,此时原不等式组的解集为$\frac {1}{b}＜x＜$
$\frac {1}{a},$
故本选项不符合题意.D 选项,分情况讨论:
若a＞0,b＞0,解集为$x＜\frac {1}{a}$,有解;若a＜0,b＜0,
解集为$x＞\frac {1}{b}$,有解;若a＞0,b＜0,解集为$\frac {1}{b}＜x＜$
$\frac {1}{a}$,有解.综上可知,原不等式组不可能无解,故
本选项符合题意.故选 D.
2 [2025 广东广州一模，中]关于$x$的不等式组$$\begin{cases}2a - x ＞ 3,\\2x + 8 ＞ 4a\end{cases}$$的解集中每一个值均不在$-1 ≤ x ≤ 5$的范围中，则$a$的取值范围是( )
A.$a ＜ 1$或$a ＞ 4.5$
B.$a ≤ 1$或$a ≥ 4.5$
C.$a ＞ 4$或$a ＜ 1.5$
D.$a ≥ 4$或$a ≤ 1.5$
A.$a ＜ 1$或$a ＞ 4.5$
B.$a ≤ 1$或$a ≥ 4.5$
C.$a ＞ 4$或$a ＜ 1.5$
D.$a ≥ 4$或$a ≤ 1.5$
答案
2.B 【解析】$\{\begin{array}{l} 2a-x＞3,①\\ 2x+8＞4a,②\end{array} $由①得,x＜2a-3,由
②得,x＞2a-4,所以不等式组的解集为2a-4＜
x＜2a-3.因为不等式组的解集中每一个值均
不在-1≤x≤5的范围中,所以2a-3≤-1或
2a-4≥5,解得a≤1或a≥4.5,故选 B.
②得,x＞2a-4,所以不等式组的解集为2a-4＜
x＜2a-3.因为不等式组的解集中每一个值均
不在-1≤x≤5的范围中,所以2a-3≤-1或
2a-4≥5,解得a≤1或a≥4.5,故选 B.
3 [中]若关于$x$的不等式组$$\begin{cases}x + 2(x - 1) ≤ -5,\\\dfrac{2k + x}{3} ≤ x\end{cases}$$无解，且关于$y$的一元一次方程$2(y + 1) + 3k = 11$的解为非负数，则符合条件的所有整数$k$的和是 ______ 。
答案
3.6 【解析】$\{\begin{array}{l} x+2(x-1)≤-5,①\\ \frac {2k+x}{3}≤x,②\end{array} $解不等式①,
得x≤-1,解不等式②,得x≥k.因为关于x的
不等式组$\{\begin{array}{l} x+2(x-1)≤-5,\\ \frac {2k+x}{3}≤x\end{array} $无解,所以k＞-1.
解方程2(y+1)+3k=11,得$y=\frac {9-3k}{2}$.因为y≥
0,所以$\frac {9-3k}{2}≥0$,所以k≤3,所以-1＜k≤3,
所以符合条件的所有整数k的值为0,1,2,3,
所以0+1+2+3=6.故答案为6.
得x≤-1,解不等式②,得x≥k.因为关于x的
不等式组$\{\begin{array}{l} x+2(x-1)≤-5,\\ \frac {2k+x}{3}≤x\end{array} $无解,所以k＞-1.
解方程2(y+1)+3k=11,得$y=\frac {9-3k}{2}$.因为y≥
0,所以$\frac {9-3k}{2}≥0$,所以k≤3,所以-1＜k≤3,
所以符合条件的所有整数k的值为0,1,2,3,
所以0+1+2+3=6.故答案为6.
4 [较难]已知有理数$a$，$b$，满足$1 ≤ a + b ≤ 4$，$0 ≤ a - b ≤ 1$，则$a - 2b$取最大值时，$8a + 2023b$的值是
8
。答案
4.8 【解析】设a-2b=m(a+b)+n(a-b),所
以a-2b=(m+n)a+(m-n)b,所以
$\{\begin{array}{l} m+n=1,\\ m-n=-2\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} m=-\frac {1}{2},\\ n=\frac {3}{2},\end{array} $所以a-2b=
$-\frac {1}{2}(a+b)+\frac {3}{2}(a-b)$.因为1≤a+b≤4,0≤a-
b≤1,所以$-2≤-\frac {1}{2}(a+b)≤-\frac {1}{2},0≤\frac {3}{2}(a-$
b)$≤\frac {3}{2}$,所以-2≤a-2b≤1,所以a-2b的最大
值为1.当a-2b取最大值时,$-\frac {1}{2}(a+b)=$
$-\frac {1}{2},\frac {3}{2}(a-b)=\frac {3}{2}$,解得a=1,b=0,所以8a+
2023b=8.故答案为8.
以a-2b=(m+n)a+(m-n)b,所以
$\{\begin{array}{l} m+n=1,\\ m-n=-2\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} m=-\frac {1}{2},\\ n=\frac {3}{2},\end{array} $所以a-2b=
$-\frac {1}{2}(a+b)+\frac {3}{2}(a-b)$.因为1≤a+b≤4,0≤a-
b≤1,所以$-2≤-\frac {1}{2}(a+b)≤-\frac {1}{2},0≤\frac {3}{2}(a-$
b)$≤\frac {3}{2}$,所以-2≤a-2b≤1,所以a-2b的最大
值为1.当a-2b取最大值时,$-\frac {1}{2}(a+b)=$
$-\frac {1}{2},\frac {3}{2}(a-b)=\frac {3}{2}$,解得a=1,b=0,所以8a+
2023b=8.故答案为8.
5 [中]定义新运算：$x * y = ax + by$，其中$a$，$b$是常数，且$1 * 2 = 0$，$(-1) * 1 = 3$。
(1)求$a$，$b$的值；
(2)若$0 ＜ c * (c + 3) ＜ 2$，求$c$的取值范围；
(3)图中数轴上的墨迹恰好遮住了关于$m$的不等式$|(2m - 1) * (2 - m)| ＜ n + 1$的所有整数解，求整数$n$的值。
(1)求$a$，$b$的值；
(2)若$0 ＜ c * (c + 3) ＜ 2$，求$c$的取值范围；
(3)图中数轴上的墨迹恰好遮住了关于$m$的不等式$|(2m - 1) * (2 - m)| ＜ n + 1$的所有整数解，求整数$n$的值。
答案
5.【解】(1)依题意,有$\{\begin{array}{l} a+2b=0,\\ -a+b=3,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=-2,\\ b=1.\end{array} $
(2)由(1)得x*y=-2x+y.
因为0＜c*(c+3)＜2,所以0＜-2c+(c+3)＜2,
解得1＜c＜3.
(3)因为|(2m-1)*(2-m)|＜n+1,
所以|-2(2m-1)+(2-m)|=|-5m+4|＜n+1,
所以-n-1＜-5m+4＜n+1,解得$\frac {-n+3}{5}＜m＜\frac {n+5}{5}.$
因为数轴上的墨迹遮住的整数有-2,-1,0,1,
2,3,所以$\frac {-n+3}{5}＜m＜\frac {n+5}{5}$的整数解为-2,-1,0,
1,2,3,所以$\{\begin{array}{l} -3≤\frac {-n+3}{5}＜-2,\\ 3＜\frac {n+5}{5}≤4,\end{array} $解得13＜n≤15,
所以整数n的值为14或15.
(2)由(1)得x*y=-2x+y.
因为0＜c*(c+3)＜2,所以0＜-2c+(c+3)＜2,
解得1＜c＜3.
(3)因为|(2m-1)*(2-m)|＜n+1,
所以|-2(2m-1)+(2-m)|=|-5m+4|＜n+1,
所以-n-1＜-5m+4＜n+1,解得$\frac {-n+3}{5}＜m＜\frac {n+5}{5}.$
因为数轴上的墨迹遮住的整数有-2,-1,0,1,
2,3,所以$\frac {-n+3}{5}＜m＜\frac {n+5}{5}$的整数解为-2,-1,0,
1,2,3,所以$\{\begin{array}{l} -3≤\frac {-n+3}{5}＜-2,\\ 3＜\frac {n+5}{5}≤4,\end{array} $解得13＜n≤15,
所以整数n的值为14或15.
6 核心素养运算能力[难]若一个不等式(组)$A$有解且解集为$a ＜ x ＜ b(a ＜ b)$，则称$\dfrac{a + b}{2}$为$A$的解集中点，若$A$的解集中点是不等式(组)$B$的解，则称不等式(组)$B$对于不等式(组)$A$中点包含。
(1)已知关于$x$的不等式组$A$：$$\begin{cases}2x - 1 ＞ 1,\\6 - 3x ＞ 0\end{cases}$$以及不等式组$B$：$$-1 ＜ x ≤ \dfrac{3}{2}$$，那么不等式组$B$对于不等式组$A$ ______ (填“是”或“不是”)中点包含。
(2)已知关于$x$的不等式组$Q$：$$\begin{cases}x + 1 ＞ -2k^2,\\3x - 6k^2 ＜ 3\end{cases}$$以及不等式$P$：$$\dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{a + 1}{3}$$，若不等式$P$对于不等式组$Q$中点包含，则$a$的取值范围是 ______ 。
(3)已知关于$x$的不等式组$S$：$$\begin{cases}2x + 7 ＞ 2m + 1,\\3x - 10 ＜ 6m - 1,\end{cases}$$以及不等式组$T$：$$\begin{cases}x ＞ \dfrac{11}{6}m - \dfrac{5}{6},\\3x - 10 ＜ 6m.\end{cases}$$若不等式组$T$对于不等式组$S$中点包含，则$m$需要满足何种条件？
(1)已知关于$x$的不等式组$A$：$$\begin{cases}2x - 1 ＞ 1,\\6 - 3x ＞ 0\end{cases}$$以及不等式组$B$：$$-1 ＜ x ≤ \dfrac{3}{2}$$，那么不等式组$B$对于不等式组$A$ ______ (填“是”或“不是”)中点包含。
(2)已知关于$x$的不等式组$Q$：$$\begin{cases}x + 1 ＞ -2k^2,\\3x - 6k^2 ＜ 3\end{cases}$$以及不等式$P$：$$\dfrac{x - 1}{2} ≤ \dfrac{a + 1}{3}$$，若不等式$P$对于不等式组$Q$中点包含，则$a$的取值范围是 ______ 。
(3)已知关于$x$的不等式组$S$：$$\begin{cases}2x + 7 ＞ 2m + 1,\\3x - 10 ＜ 6m - 1,\end{cases}$$以及不等式组$T$：$$\begin{cases}x ＞ \dfrac{11}{6}m - \dfrac{5}{6},\\3x - 10 ＜ 6m.\end{cases}$$若不等式组$T$对于不等式组$S$中点包含，则$m$需要满足何种条件？
答案
6.(1)是 【解析】由$\{\begin{array}{l} 2x-1＞1,\\ 6-3x＞0,\end{array} $得1＜x＜2,则A
的解集中点为$x=\frac {3}{2}$,是不等式组 B 的解.故
不等式组 B 对于不等式组 A 是中点包含.
(2)a≥-2.5 【解析】不等式组Q:$\{\begin{array}{l} x+1＞-2k^{2},\\ 3x-6k^{2}＜3\end{array} $
的解集为$-2k^{2}-1＜x＜2k^{2}+1$,则其解集中点
为x=0.又因为不等式P对于不等式组Q中
点包含,所以当x=0时,$\frac {x-1}{2}≤\frac {a+1}{3}$成立,则
$-\frac {1}{2}≤\frac {a+1}{3}$,解得a≥-2.5.
(3)【解】不等式组S:$\{\begin{array}{l} 2x+7＞2m+1,\\ 3x-10＜6m-1\end{array} $的解集
为m-3＜x＜2m+3,且m-3＜2m+3,则其解集中
点为$x=\frac {m-3+2m+3}{2}=\frac {3}{2}m$,且m＞-6.
又因为不等式组 T 对于不等式组 S 中点包
含,所以$\{\begin{array}{l} \frac {3}{2}m＞\frac {11}{6}m-\frac {5}{6},\\ 3×\frac {3}{2}m-10＜6m,\end{array} $解得$-\frac {20}{3}＜m＜\frac {5}{2}.$
故$-6＜m＜\frac {5}{2}.$
的解集中点为$x=\frac {3}{2}$,是不等式组 B 的解.故
不等式组 B 对于不等式组 A 是中点包含.
(2)a≥-2.5 【解析】不等式组Q:$\{\begin{array}{l} x+1＞-2k^{2},\\ 3x-6k^{2}＜3\end{array} $
的解集为$-2k^{2}-1＜x＜2k^{2}+1$,则其解集中点
为x=0.又因为不等式P对于不等式组Q中
点包含,所以当x=0时,$\frac {x-1}{2}≤\frac {a+1}{3}$成立,则
$-\frac {1}{2}≤\frac {a+1}{3}$,解得a≥-2.5.
(3)【解】不等式组S:$\{\begin{array}{l} 2x+7＞2m+1,\\ 3x-10＜6m-1\end{array} $的解集
为m-3＜x＜2m+3,且m-3＜2m+3,则其解集中
点为$x=\frac {m-3+2m+3}{2}=\frac {3}{2}m$,且m＞-6.
又因为不等式组 T 对于不等式组 S 中点包
含,所以$\{\begin{array}{l} \frac {3}{2}m＞\frac {11}{6}m-\frac {5}{6},\\ 3×\frac {3}{2}m-10＜6m,\end{array} $解得$-\frac {20}{3}＜m＜\frac {5}{2}.$
故$-6＜m＜\frac {5}{2}.$
