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1 [2025 河北廊坊期中] 若 $\underbrace{4 + 4 + ··· + 4}_{m 个 4} = \underbrace{2 × 2 × ··· × 2}_{n 个 2}$，则 $m$ 与 $n$ 之间的关系为(
A.$m = 2n$
B.$m = 2^n$
C.$m = 2n - 2$
D.$m = 2^{n - 2}$
D
)A.$m = 2n$
B.$m = 2^n$
C.$m = 2n - 2$
D.$m = 2^{n - 2}$
答案
1. D 【解析】由题意得，$4m = 2^n$，所以$m = 2^n ÷ 4 = 2^n ÷ 2^2 = 2^{n - 2}$，故选 D.
2 [2025 江苏南京期中] $10^{100}$ 是 $100^{10}$ 的
$10^{80}$
倍.答案
2. $10^{80}$ 【解析】$10^{100} ÷ 100^{10} = 10^{100} ÷ (10^2)^{10} = 10^{100} ÷ 10^{20} = 10^{80}$，所以$10^{100}$是$100^{10}$的$10^{80}$倍. 故答案为$10^{80}$.
3 [2024 浙江杭州质检] 如果 $(x - 1)^5 ÷ (1 - x)^4 = 3x + 5$，那么 $x$ 的值为
-3
.答案
3. -3 【解析】因为$(1 - x)^4 = (x - 1)^4$，所以原方程可变形为$(x - 1)^5 ÷ (x - 1)^4 = 3x + 5$，所以$x - 1 = 3x + 5$，解得$x = -3$. 经检验，$x = -3$是原方程的解. 故答案为-3.
4 [2024 四川乐山期末] 若 $2a - 3b + c - 2 = 0$，则 $16^a ÷ 8^{2b} × 4^c =$
16
.答案
4. 16 【解析】因为$2a - 3b + c - 2 = 0$，所以$2a - 3b + c = 2$，所以$16^a ÷ 8^{2b} × 4^c = 4^{2a} ÷ 64^b × 4^c = 4^{2a} ÷ 4^{3b} × 4^c = 4^{2a - 3b + c} = 4^2 = 16$. 故答案为16.
5 [2025 北京西城区质检] 计算：
(1) $4^3 ÷ 4$；
(2) $m^{22} ÷ m^2$；
(3) $(-\dfrac{1}{4})^6 ÷ (-\dfrac{1}{4})^2$；
(4) $(-q)^6 ÷ (-q)$；
(5) $(-ab)^7 ÷ (-ab)^3$；
(6) $(-x - y)^4 ÷ (x + y)^3$.
(1) $4^3 ÷ 4$；
(2) $m^{22} ÷ m^2$；
(3) $(-\dfrac{1}{4})^6 ÷ (-\dfrac{1}{4})^2$；
(4) $(-q)^6 ÷ (-q)$；
(5) $(-ab)^7 ÷ (-ab)^3$；
(6) $(-x - y)^4 ÷ (x + y)^3$.
答案
5. 【解】(1)$4^3 ÷ 4 = 4^{3 - 1} = 4^2 = 16$.
(2)$m^{22} ÷ m^2 = m^{22 - 2} = m^{20}$.
(3)$(-\frac{1}{4})^6 ÷ (-\frac{1}{4})^2 = (-\frac{1}{4})^{6 - 2} = (-\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$.
(4)$(-q)^6 ÷ (-q) = (-q)^{6 - 1} = (-q)^5 = -q^5$.
(5)$(-ab)^7 ÷ (-ab)^3 = (-ab)^{7 - 3} = (-ab)^4 = a^4b^4$.
(6)$(-x - y)^4 ÷ (x + y)^3 = (x + y)^4 ÷ (x + y)^3 = (x + y)^{4 - 3} = x + y$.
(2)$m^{22} ÷ m^2 = m^{22 - 2} = m^{20}$.
(3)$(-\frac{1}{4})^6 ÷ (-\frac{1}{4})^2 = (-\frac{1}{4})^{6 - 2} = (-\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$.
(4)$(-q)^6 ÷ (-q) = (-q)^{6 - 1} = (-q)^5 = -q^5$.
(5)$(-ab)^7 ÷ (-ab)^3 = (-ab)^{7 - 3} = (-ab)^4 = a^4b^4$.
(6)$(-x - y)^4 ÷ (x + y)^3 = (x + y)^4 ÷ (x + y)^3 = (x + y)^{4 - 3} = x + y$.
6 [2025 江苏盐城质检] 社会发展了，人们生活富裕了，老百姓钱包鼓起来了. 某银行去年新增加居民存款 10 亿元人民币.
(1) 经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚 0.9 厘米，如果将 10 亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高（结果用科学记数法表示）？
(2) 一台激光点钞机的点钞速度是每小时 $8 × 10^4$ 张，按每天点钞 5 小时计算，如果让该点钞机点一遍 10 亿元面值为 100 元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？
(1) 经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚 0.9 厘米，如果将 10 亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高（结果用科学记数法表示）？
(2) 一台激光点钞机的点钞速度是每小时 $8 × 10^4$ 张，按每天点钞 5 小时计算，如果让该点钞机点一遍 10 亿元面值为 100 元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？
答案
6. 【解】(1)因为10亿$= 1000000000 = 10^9$，所以10亿元面值为100元的新版人民币的总张数为$10^9 ÷ 100 = 10^7$.$10^7 ÷ 100 × 0.9 = 9 × 10^4$(厘米).
答：将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来，高大约为$9 × 10^4$厘米.
(2)$10^7 ÷ (5 × 8 × 10^4) = (1 ÷ 40) × (10^7 ÷ 10^4) = 0.025 × 10^3 = 25$(天).
答：点钞机大约要点25天.
答：将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来，高大约为$9 × 10^4$厘米.
(2)$10^7 ÷ (5 × 8 × 10^4) = (1 ÷ 40) × (10^7 ÷ 10^4) = 0.025 × 10^3 = 25$(天).
答：点钞机大约要点25天.
7 已知 $2^{x - 4} = m$，用含 $m$ 的代数式表示 $2^x$ 正确的是(
A.$16m$
B.$8m$
C.$m + 4$
D.$\dfrac{m}{16}$
A
)A.$16m$
B.$8m$
C.$m + 4$
D.$\dfrac{m}{16}$
答案
7. A 【解析】因为$2^{x - 4} = m$，所以$2^x ÷ 2^4 = m$，所以$2^x = 16m$. 故选A.
8 [2025 四川成都期末] 已知 $2^m = 3$，$4^n = 2$，$8^k = 4$，则 $8^{m + 2n - k}$ 的值是(
A.212
B.54
C.31
D.27
B
)A.212
B.54
C.31
D.27
答案
8. B 【解析】$8^{m + 2n - k} = 8^m · 8^{2n} ÷ 8^k = (2^3)^m · (2^3)^{2n} ÷ 8^k = (2^m)^3 · (2^{2n})^3 ÷ 8^k = (2^m)^3 · (4^n)^3 ÷ 8^k$. 因为$2^m = 3$，$4^n = 2$，$8^k = 4$，所以$(2^m)^3 · (4^n)^3 ÷ 8^k = 3^3 × 2^3 ÷ 4 = 54$，故选B.
9 [2025 江苏徐州调研] 已知 $a^{3m} = 64$，$a^n = 8$，求代数式 $(a^{3n - 2m} - 33)^{18}$ 的值.
答案
9. 【解】因为$a^{3m} = 64$，所以$(a^m)^3 = 4^3$，所以$a^m = 4$，所以$(a^{3n - 2m} - 33)^{18} = (a^{3n} ÷ a^{2m} - 33)^{18} = [(a^n)^3 ÷ (a^m)^2 - 33]^{18} = (8^3 ÷ 4^2 - 33)^{18} = (32 - 33)^{18} = 1$.
10 计算 $(y - x)^{11} ÷ (x - y)^6 × (y - x)^5$.
晓佳的计算过程如下：
解：原式 $= (y - x)^{11} ÷ (y - x)^{11}$ ①
$= 1$. ②
请问晓佳的计算过程从第几步开始出错？
请把正确的计算过程写出来.
晓佳的计算过程如下：
解：原式 $= (y - x)^{11} ÷ (y - x)^{11}$ ①
$= 1$. ②
请问晓佳的计算过程从第几步开始出错？
请把正确的计算过程写出来.
答案
10. 【解】晓佳的计算过程从第①步开始出错.
正确的计算过程为原式$= (y - x)^{11} ÷ (y - x)^6 × (y - x)^5 = (y - x)^5 × (y - x)^5 = (y - x)^{10}$.
正确的计算过程为原式$= (y - x)^{11} ÷ (y - x)^6 × (y - x)^5 = (y - x)^5 × (y - x)^5 = (y - x)^{10}$.
