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1. 抛物线$y=-x^{2}+(m-1)x+m$与$y$轴交于点$(0,3)$，求该二次函数的最大值.
答案
当$x=0$时,$y=m=3$,
∴二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$.
当$x=1$时,$y_{最大值}=4$.
∴二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$.
当$x=1$时,$y_{最大值}=4$.
解析
【分析】
解题时首先利用二次函数图象上点的坐标特征求解参数m：y轴上的点横坐标为0，因此将交点(0,3)代入抛物线解析式即可求出m的值，得到完整的二次函数表达式；再根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时抛物线开口向下，顶点处的函数值即为最大值，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到最大值。
【解析】
把$x=0$，$y=3$代入$y=-x^{2}+(m-1)x+m$中，得：
$m=3$
∴二次函数的表达式为：
$y=-x^{2}+(3-1)x+3=-x^{2}+2x+3$
对解析式配方得：
$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^2+4$
∵二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下
∴当$x=1$时，二次函数取得最大值。
【答案】
4
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求解析式；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查参数求解与二次函数最值的计算，掌握二次函数的图象性质及配方法是解题的关键，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用二次函数图象上点的坐标特征求解参数m：y轴上的点横坐标为0，因此将交点(0,3)代入抛物线解析式即可求出m的值，得到完整的二次函数表达式；再根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时抛物线开口向下，顶点处的函数值即为最大值，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到最大值。
【解析】
把$x=0$，$y=3$代入$y=-x^{2}+(m-1)x+m$中，得：
$m=3$
∴二次函数的表达式为：
$y=-x^{2}+(3-1)x+3=-x^{2}+2x+3$
对解析式配方得：
$y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^2+4$
∵二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下
∴当$x=1$时，二次函数取得最大值。
【答案】
4
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求解析式；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查参数求解与二次函数最值的计算，掌握二次函数的图象性质及配方法是解题的关键，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
2. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的对称轴为直线 $ x = 2 $，且经过点 $ (1,4) $ 和 $ (5,0) $，求此抛物线的表达式及顶点坐标.
答案
由题意,得$\begin{cases} -\dfrac{b}{2a}=2, \\ a+b+c=4, \\ 25a+5b+c=0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{2}, \\ b=2, \\ c=\dfrac{5}{2}, \end{cases}$
∴此抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\dfrac{5}{2}$,
即$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^{2}+\dfrac{9}{2}$,
∴顶点坐标为$(2,\dfrac{9}{2})$.
∴此抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\dfrac{5}{2}$,
即$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^{2}+\dfrac{9}{2}$,
∴顶点坐标为$(2,\dfrac{9}{2})$.
解析
【分析】
要确定抛物线的表达式，已知其为一般式$y=ax^2+bx+c$，含有3个未知系数$a、b、c$，因此需要3个独立条件列方程求解：
1. 由对称轴为直线$x=2$，可利用对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$得到第一个方程；
2. 抛物线经过点$(1,4)$和$(5,0)$，将两点坐标分别代入一般式，可得到另外两个方程；
联立三个方程组成三元一次方程组，解出$a、b、c$即可得到抛物线表达式。求顶点坐标时，可将一般式配方为顶点式直接得到顶点坐标，也可利用已知的对称轴横坐标$x=2$，代入表达式求出纵坐标，两种方法均可。
【解析】
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} -\dfrac{b}{2a}=2, \\ a+b+c=4, \\ 25a+5b+c=0, \end{cases}$
解方程组：
将第一个方程变形得$b=-4a$，代入后两个方程消去$b$，解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{2}, \\ b=2, \\ c=\dfrac{5}{2}, \end{cases}$
∴此抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\dfrac{5}{2}$，
将表达式配方为顶点式：$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^{2}+\dfrac{9}{2}$，
∴顶点坐标为$(2,\dfrac{9}{2})$。
【答案】
抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\dfrac{5}{2}}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(2,\dfrac{9}{2})}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数对称轴公式
3. 二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用以及二次函数基本性质的掌握。解题关键是根据已知条件准确构造方程组，计算时需注意系数符号，避免解方程组时出现符号错误，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速求出顶点坐标。
【难度系数】
0.7
要确定抛物线的表达式，已知其为一般式$y=ax^2+bx+c$，含有3个未知系数$a、b、c$，因此需要3个独立条件列方程求解：
1. 由对称轴为直线$x=2$，可利用对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$得到第一个方程；
2. 抛物线经过点$(1,4)$和$(5,0)$，将两点坐标分别代入一般式，可得到另外两个方程；
联立三个方程组成三元一次方程组，解出$a、b、c$即可得到抛物线表达式。求顶点坐标时，可将一般式配方为顶点式直接得到顶点坐标，也可利用已知的对称轴横坐标$x=2$，代入表达式求出纵坐标，两种方法均可。
【解析】
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} -\dfrac{b}{2a}=2, \\ a+b+c=4, \\ 25a+5b+c=0, \end{cases}$
解方程组：
将第一个方程变形得$b=-4a$，代入后两个方程消去$b$，解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{2}, \\ b=2, \\ c=\dfrac{5}{2}, \end{cases}$
∴此抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\dfrac{5}{2}$，
将表达式配方为顶点式：$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^{2}+\dfrac{9}{2}$，
∴顶点坐标为$(2,\dfrac{9}{2})$。
【答案】
抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\dfrac{5}{2}}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(2,\dfrac{9}{2})}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数对称轴公式
3. 二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用以及二次函数基本性质的掌握。解题关键是根据已知条件准确构造方程组，计算时需注意系数符号，避免解方程组时出现符号错误，熟练掌握配方法或顶点坐标公式即可快速求出顶点坐标。
【难度系数】
0.7
3. 已知二次函数的图象如图所示.
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)观察图象,直接写出当$-2＜x＜1$时,$y$的取值范围.
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)观察图象,直接写出当$-2＜x＜1$时,$y$的取值范围.
答案
(1)$y=x^{2}+2x-3$. (2)$-4≤ y＜0$.
解析
【分析】
(1)观察图象可知二次函数的顶点坐标为(-1,-4)，优先选择顶点式设函数表达式，再代入图象上的已知点(1,0)求出未知系数，最后整理为一般式即可。(2)求指定区间内y的取值范围时，先结合二次函数开口方向、对称轴判断区间内的最值位置：开口向上时顶点处取最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到区间内的最大值，结合端点是否可取即可确定y的范围。
【解析】
(1)由图象可得二次函数的顶点坐标为$(-1,-4)$，设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2-4(a≠0)$。
将点$(1,0)$代入表达式，得：
$0=a(1+1)^2-4$
$0=4a-4$
解得$a=1$
则二次函数表达式为$y=(x+1)^2-4$，整理得$y=x^2+2x-3$。
(2)该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$，在$x=-1$处取得最小值$-4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2)^2+2×(-2)-3=-3$；
当$x=1$时，$y=0$。
因为$-2＜x＜1$，$x=1$取不到，故最大值小于0，最小值$-4$可取，因此$y$的取值范围是$-4≤ y＜0$。
【答案】
(1)$y=x^{2}+2x-3$
(2)$-4≤ y＜0$
【知识点】
1. 二次函数解析式确定
2. 二次函数图象性质
3. 二次函数区间取值
【点评】
本题侧重考查二次函数的基础应用，解题的核心是熟练运用顶点式求解解析式，结合函数图象的增减性判断指定区间内的函数值范围，是二次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1)观察图象可知二次函数的顶点坐标为(-1,-4)，优先选择顶点式设函数表达式，再代入图象上的已知点(1,0)求出未知系数，最后整理为一般式即可。(2)求指定区间内y的取值范围时，先结合二次函数开口方向、对称轴判断区间内的最值位置：开口向上时顶点处取最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到区间内的最大值，结合端点是否可取即可确定y的范围。
【解析】
(1)由图象可得二次函数的顶点坐标为$(-1,-4)$，设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2-4(a≠0)$。
将点$(1,0)$代入表达式，得：
$0=a(1+1)^2-4$
$0=4a-4$
解得$a=1$
则二次函数表达式为$y=(x+1)^2-4$，整理得$y=x^2+2x-3$。
(2)该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$，在$x=-1$处取得最小值$-4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2)^2+2×(-2)-3=-3$；
当$x=1$时，$y=0$。
因为$-2＜x＜1$，$x=1$取不到，故最大值小于0，最小值$-4$可取，因此$y$的取值范围是$-4≤ y＜0$。
【答案】
(1)$y=x^{2}+2x-3$
(2)$-4≤ y＜0$
【知识点】
1. 二次函数解析式确定
2. 二次函数图象性质
3. 二次函数区间取值
【点评】
本题侧重考查二次函数的基础应用，解题的核心是熟练运用顶点式求解解析式，结合函数图象的增减性判断指定区间内的函数值范围，是二次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
4. 抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于点$A(2,0)$，对称轴为直线$x=-1$，顶点到$x$轴的距离为2，求此抛物线的表达式.
答案
设抛物线的表达式为$y=a(x-h)^{2}+k$.
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$,顶点到$x$轴的距离为2,
∴顶点坐标为$(-1,2)$或$(-1,-2)$.
①当顶点坐标为$(-1,2)$时,$y=a(x+1)^{2}+2$.
∵图象与$x$轴交于点$A(2,0)$,
∴$9a+2=0$,解得$a=-\dfrac{2}{9}$,
∴抛物线的表达式为$y=-\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}+2$.
②当顶点坐标为$(-1,-2)$时,
$y=a(x+1)^{2}-2$.
同理可得,$9a-2=0$,解得$a=\dfrac{2}{9}$,
∴抛物线的表达式为$y=\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}-2$.
综上所述,抛物线的表达式为$y=-\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}+2$或$y=\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}-2$.
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$,顶点到$x$轴的距离为2,
∴顶点坐标为$(-1,2)$或$(-1,-2)$.
①当顶点坐标为$(-1,2)$时,$y=a(x+1)^{2}+2$.
∵图象与$x$轴交于点$A(2,0)$,
∴$9a+2=0$,解得$a=-\dfrac{2}{9}$,
∴抛物线的表达式为$y=-\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}+2$.
②当顶点坐标为$(-1,-2)$时,
$y=a(x+1)^{2}-2$.
同理可得,$9a-2=0$,解得$a=\dfrac{2}{9}$,
∴抛物线的表达式为$y=\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}-2$.
综上所述,抛物线的表达式为$y=-\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}+2$或$y=\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}-2$.
解析
【分析】
本题已知抛物线的对称轴、顶点到x轴的距离以及与x轴的一个交点坐标，优先选择顶点式求解更简便。首先回忆抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是顶点坐标，对称轴为直线$x=h$，因此由对称轴$x=-1$可得$h=-1$；顶点到x轴的距离是顶点纵坐标的绝对值，故$\vert k\vert=2$，即k有2和-2两种可能，对应两种顶点坐标。接下来分两种情况，将点$A(2,0)$分别代入两种顶点式求出a的值，即可得到对应的抛物线表达式，注意不要漏解。
【解析】
解：设抛物线的表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$。
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$，顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的横坐标$h=-1$，纵坐标的绝对值$\vert k\vert=2$，即顶点坐标为$(-1,2)$或$(-1,-2)$，分两种情况讨论：
① 当顶点坐标为$(-1,2)$时，抛物线表达式为$y=a(x+1)^2+2$，
∵抛物线过点$A(2,0)$，将$x=2,y=0$代入得：
$0=a(2+1)^2+2$，即$9a+2=0$，解得$a=-\dfrac{2}{9}$，
∴此时抛物线的表达式为$y=-\dfrac{2}{9}(x+1)^2+2$；
② 当顶点坐标为$(-1,-2)$时，抛物线表达式为$y=a(x+1)^2-2$，
将$A(2,0)$代入得：$0=a(2+1)^2-2$，即$9a-2=0$，解得$a=\dfrac{2}{9}$，
∴此时抛物线的表达式为$y=\dfrac{2}{9}(x+1)^2-2$。
综上，抛物线的表达式为$y=-\dfrac{2}{9}(x+1)^2+2$或$y=\dfrac{2}{9}(x+1)^2-2$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}+2$或$y=\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}-2$
【知识点】
待定系数法求抛物线解析式；抛物线顶点式；抛物线顶点与对称轴
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据已知条件选择合适的解析式形式简化计算，同时要注意“顶点到x轴的距离”对应顶点纵坐标的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题已知抛物线的对称轴、顶点到x轴的距离以及与x轴的一个交点坐标，优先选择顶点式求解更简便。首先回忆抛物线顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是顶点坐标，对称轴为直线$x=h$，因此由对称轴$x=-1$可得$h=-1$；顶点到x轴的距离是顶点纵坐标的绝对值，故$\vert k\vert=2$，即k有2和-2两种可能，对应两种顶点坐标。接下来分两种情况，将点$A(2,0)$分别代入两种顶点式求出a的值，即可得到对应的抛物线表达式，注意不要漏解。
【解析】
解：设抛物线的表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$。
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$，顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的横坐标$h=-1$，纵坐标的绝对值$\vert k\vert=2$，即顶点坐标为$(-1,2)$或$(-1,-2)$，分两种情况讨论：
① 当顶点坐标为$(-1,2)$时，抛物线表达式为$y=a(x+1)^2+2$，
∵抛物线过点$A(2,0)$，将$x=2,y=0$代入得：
$0=a(2+1)^2+2$，即$9a+2=0$，解得$a=-\dfrac{2}{9}$，
∴此时抛物线的表达式为$y=-\dfrac{2}{9}(x+1)^2+2$；
② 当顶点坐标为$(-1,-2)$时，抛物线表达式为$y=a(x+1)^2-2$，
将$A(2,0)$代入得：$0=a(2+1)^2-2$，即$9a-2=0$，解得$a=\dfrac{2}{9}$，
∴此时抛物线的表达式为$y=\dfrac{2}{9}(x+1)^2-2$。
综上，抛物线的表达式为$y=-\dfrac{2}{9}(x+1)^2+2$或$y=\dfrac{2}{9}(x+1)^2-2$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}+2$或$y=\dfrac{2}{9}(x+1)^{2}-2$
【知识点】
待定系数法求抛物线解析式；抛物线顶点式；抛物线顶点与对称轴
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据已知条件选择合适的解析式形式简化计算，同时要注意“顶点到x轴的距离”对应顶点纵坐标的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
