9. 如图,直线 $AB,CD$ 相交于点 $O,OE ⊥ CD$,且$∠ BOD$ 的度数是$∠ AOD$ 的 5 倍. 求:
(1)$∠ AOD,∠ BOD$ 的度数;
(2)$∠ BOE$ 的度数.

9. (1)$\because AB$ 是直线,$\therefore ∠ BOD+∠ AOD=180°$.
$\because ∠ BOD$ 的度数是$∠ AOD$ 的 5 倍,
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{6}×180°=30°,∠ BOD=\frac{5}{6}×180°=150°$.
(2)$\because OE⊥ DC,\therefore ∠ DOE=90°$.
$\therefore ∠ BOE=∠ BOD-∠ DOE=150°-90°=60°$.

10. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OE 平分$∠ BOC,OF ⊥ CD$.若$∠ BOD:∠ BOE = 1:4$,求$∠ AOF$的度数.

精题详解

10. 设$∠ BOD=x°$,则$∠ BOE=4x°$.
$\because OE$ 平分$∠ BOC,\therefore ∠ BOC=2∠ BOE=8x°$.
$\because ∠ BOD+∠ BOC=180°,\therefore x+8x=180,\therefore x=20$,
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD=x°=20°$.
$\because OF⊥ CD,\therefore ∠ COF=90°$,
$\therefore ∠ AOF=90°-∠ AOC=70°$.

11. 分类讨论思想 (2024·无锡惠山区期末)已知点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，$∠ BOC=110°$。

(1)如图(1)，则$∠ AOC$的度数为$°$；
(2)如图(2)，过点 O 在直线 AB 下方作射线 OD，使 $OD ⊥ OC$，作$∠ AOC$ 的平分线 OM，求$∠ MOD$的度数；
(3)在(2)的条件下，作射线 OP，若$∠ BOP$与$∠ AOM$互余，求$∠ COP$的度数。
精题详解

11. (1)70 [解析]$\because ∠ BOC=110°$,
$\therefore ∠ AOC=180°-∠ BOC=70°$.
(2)由(1)可知,$∠ AOC=70°$,
$\because OD⊥ OC,\therefore ∠ COD=90°$.
$\because OM$ 为$∠ AOC$ 的平分线,
$\therefore ∠ COM=∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×70°=35°$,
$\therefore ∠ MOD=∠ COD-∠ COM=90°-35°=55°$.
(3)由(2)可知,$∠ AOM=35°$.
$\because ∠ BOP$ 与$∠ AOM$ 互余,$\therefore ∠ BOP+∠ AOM=90°$,
$∠ BOP=90°-∠ AOM=90°-35°=55°$.
当射线 $OP$ 在$∠ BOC$ 内部时,
$∠ COP=∠ BOC-∠ BOP=110°-55°=55°$;
当射线 $OP$ 在$∠ BOC$ 外部时,
$∠ COP=∠ BOC+∠ BOP=110°+55°=165°$.
综上所述,$∠ COP$ 的度数为 $55°$或 $165°$.

12. (2024·雅安中考) 如图, 直线 $A B, C D$ 交于点 $O$, $OE ⊥ AB$ 于 $O$, 若 $∠ 1=35°$, 则 $∠ 2$ 的度数是().


A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$30°$

12. A