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1. 寻找下列一组数的特点:0,1,-4,9,-16,25,…第11个数是(
A.121
B.100
C.-121
D.-100
D
).A.121
B.100
C.-121
D.-100
答案
解：观察这组数：0，1，-4，9，-16，25，…
第1个数：$0 = (-1)^1 × (1-1)^2$
第2个数：$1 = (-1)^2 × (2-1)^2$
第3个数：$-4 = (-1)^3 × (3-1)^2$
第4个数：$9 = (-1)^4 × (4-1)^2$
第5个数：$-16 = (-1)^5 × (5-1)^2$
第6个数：$25 = (-1)^6 × (6-1)^2$
...
规律：第n个数为$ (-1)^n × (n-1)^2$
当n=11时，第11个数为$ (-1)^11 × (11-1)^2 = -1 × 100 = -100$
答案：D
第1个数：$0 = (-1)^1 × (1-1)^2$
第2个数：$1 = (-1)^2 × (2-1)^2$
第3个数：$-4 = (-1)^3 × (3-1)^2$
第4个数：$9 = (-1)^4 × (4-1)^2$
第5个数：$-16 = (-1)^5 × (5-1)^2$
第6个数：$25 = (-1)^6 × (6-1)^2$
...
规律：第n个数为$ (-1)^n × (n-1)^2$
当n=11时，第11个数为$ (-1)^11 × (11-1)^2 = -1 × 100 = -100$
答案：D
2. 观察下列一组数:$\frac{1}{4},\frac{3}{9},\frac{5}{16},\frac{7}{25},\frac{9}{36},…$它们按一定规律排列,那么这一组数的第n个数是(
A.$\frac{2n-1}{n^{2}}$
B.$\frac{2n+1}{n^{2}}$
C.$\frac{2n+1}{(n+1)^{2}}$
D.$\frac{2n-1}{(n+1)^{2}}$
D
).A.$\frac{2n-1}{n^{2}}$
B.$\frac{2n+1}{n^{2}}$
C.$\frac{2n+1}{(n+1)^{2}}$
D.$\frac{2n-1}{(n+1)^{2}}$
答案
解：观察这组数的分子：1，3，5，7，9，…，规律为第n个数的分子是2n-1；分母：4=2²，9=3²，16=4²，25=5²，36=6²，…，规律为第n个数的分母是(n+1)²。所以这一组数的第n个数是$\frac{2n-1}{(n+1)^{2}}$。
答案：D
答案：D
3. 如图,将全体正整数排成一个三角形数阵:
按照以上规律排列,第8行从左向右的第5个数为(
A.30
B.31
C.32
D.33
按照以上规律排列,第8行从左向右的第5个数为(
D
).A.30
B.31
C.32
D.33
答案
【解析】：本题可先找出数阵中每行数字的个数规律，再据此计算出前$7$行数字的总数，进而求出第$8$行从左向右的第$5$个数。
步骤一：分析数阵中每行数字的个数规律
观察数阵可知：
第$1$行有$1$个数字；
第$2$行有$2$个数字；
第$3$行有$3$个数字；
$\cdots$
由此可归纳得出，第$n$行有$n$个数字。
步骤二：计算前$7$行数字的总数
根据上述规律，前$n$行数字的总数可以用$1 + 2 + 3 + \cdots + n$来表示，这是一个首项$a_1 = 1$，末项$a_n = n$，项数为$n$的等差数列求和问题，根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，可得前$7$行数字的总数为：
$S_7=\frac{7×(1 + 7)}{2}=\frac{7×8}{2}=28$
步骤三：求出第$8$行从左向右的第$5$个数
因为前$7$行共有$28$个数字，那么第$8$行的第一个数就是$28 + 1 = 29$。
所以第$8$行从左向右的第$5$个数为$29 + 5 - 1 = 33$。
【答案】：D
步骤一：分析数阵中每行数字的个数规律
观察数阵可知：
第$1$行有$1$个数字；
第$2$行有$2$个数字；
第$3$行有$3$个数字；
$\cdots$
由此可归纳得出，第$n$行有$n$个数字。
步骤二：计算前$7$行数字的总数
根据上述规律，前$n$行数字的总数可以用$1 + 2 + 3 + \cdots + n$来表示，这是一个首项$a_1 = 1$，末项$a_n = n$，项数为$n$的等差数列求和问题，根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，可得前$7$行数字的总数为：
$S_7=\frac{7×(1 + 7)}{2}=\frac{7×8}{2}=28$
步骤三：求出第$8$行从左向右的第$5$个数
因为前$7$行共有$28$个数字，那么第$8$行的第一个数就是$28 + 1 = 29$。
所以第$8$行从左向右的第$5$个数为$29 + 5 - 1 = 33$。
【答案】：D
4. 观察下列等式:$7^{0}= 1,7^{1}= 7,7^{2}= 49,7^{3}= 343,7^{4}= 2401,7^{5}= 16807,…$根据其中的规律可得$7^{0}+7^{1}+7^{2}+…+7^{2023}$的结果的个位数字是(
A.0
B.1
C.7
D.8
A
).A.0
B.1
C.7
D.8
答案
解：观察等式个位数字规律：7⁰=1（个位1），7¹=7（个位7），7²=49（个位9），7³=343（个位3），7⁴=2401（个位1），周期为4（1,7,9,3）。
计算每周期个位数字和：1+7+9+3=20（个位0）。
总项数：2023-0+1=2024项。
周期数：2024÷4=506（完整周期）。
结果个位数字：506×0=0。
答案：A.0
计算每周期个位数字和：1+7+9+3=20（个位0）。
总项数：2023-0+1=2024项。
周期数：2024÷4=506（完整周期）。
结果个位数字：506×0=0。
答案：A.0
5. 将正方形做如下操作,第1次分别连接各边中点,如图(2),得到5个正方形;第2次将图(2)左上角的正方形按上述方法连线分割,如图(3),得到9个正方形……以此类推,根据以上操作,若要得到2025个正方形,则需要操作的次数为(
A.503
B.504
C.505
D.506
D
).A.503
B.504
C.505
D.506
答案
【解析】：
本题可先根据已知条件找出正方形个数与操作次数之间的规律，再据此列出方程求解操作次数。
步骤一：分析每次操作后正方形的个数规律
第$1$次操作：分别连接各边中点，得到$5$个正方形，可表示为$4×1 + 1 = 5$。
第$2$次操作：将图（2）左上角的正方形按上述方法分割，得到$9$个正方形，可表示为$4×2 + 1 = 9$。
第$3$次操作：同理可得得到$13$个正方形，可表示为$4×3 + 1 = 13$。
以此类推，第$n$次操作后得到正方形的个数为$4n + 1$。
步骤二：根据规律列方程并求解
已知要得到$2025$个正方形，设需要操作的次数为$n$，根据上述规律可列出方程$4n + 1 = 2025$。
接下来求解该方程：
$4n+1=2025$，
移项可得$4n=2025 - 1$，
即$4n=2024$，
两边同时除以$4$，$n = 2024÷4 = 506$。
【答案】：D
本题可先根据已知条件找出正方形个数与操作次数之间的规律，再据此列出方程求解操作次数。
步骤一：分析每次操作后正方形的个数规律
第$1$次操作：分别连接各边中点，得到$5$个正方形，可表示为$4×1 + 1 = 5$。
第$2$次操作：将图（2）左上角的正方形按上述方法分割，得到$9$个正方形，可表示为$4×2 + 1 = 9$。
第$3$次操作：同理可得得到$13$个正方形，可表示为$4×3 + 1 = 13$。
以此类推，第$n$次操作后得到正方形的个数为$4n + 1$。
步骤二：根据规律列方程并求解
已知要得到$2025$个正方形，设需要操作的次数为$n$，根据上述规律可列出方程$4n + 1 = 2025$。
接下来求解该方程：
$4n+1=2025$，
移项可得$4n=2025 - 1$，
即$4n=2024$，
两边同时除以$4$，$n = 2024÷4 = 506$。
【答案】：D
6. 下列图形均是由长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成的,拼搭第1个图形需要4根小木棒,拼搭第2个图形需要10根小木棒……依此规律,拼搭第8个图形需要小木棒的根数为(
…
A.84
B.88
C.108
D.144
B
).…
A.84
B.88
C.108
D.144
答案
1. 先分析规律：
设第$n$个图形需要$a_{n}$根小木棒。
当$n = 1$时，$a_{1}=4 = 1×4$；
当$n = 2$时，$a_{2}=10=2×5$；
当$n = 3$时，$a_{3}=18 = 3×6$；
当$n = 4$时，$a_{4}=28=4×7$；
观察可得$a_{n}=n(n + 3)$。
2. 然后求第$8$个图形需要的小木棒数：
当$n = 8$时，把$n = 8$代入$a_{n}=n(n + 3)$中。
则$a_{8}=8×(8 + 3)$。
根据乘法运算$a_{8}=8×11=88$。
所以拼搭第$8$个图形需要小木棒的根数为$88$，答案是B。
设第$n$个图形需要$a_{n}$根小木棒。
当$n = 1$时，$a_{1}=4 = 1×4$；
当$n = 2$时，$a_{2}=10=2×5$；
当$n = 3$时，$a_{3}=18 = 3×6$；
当$n = 4$时，$a_{4}=28=4×7$；
观察可得$a_{n}=n(n + 3)$。
2. 然后求第$8$个图形需要的小木棒数：
当$n = 8$时，把$n = 8$代入$a_{n}=n(n + 3)$中。
则$a_{8}=8×(8 + 3)$。
根据乘法运算$a_{8}=8×11=88$。
所以拼搭第$8$个图形需要小木棒的根数为$88$，答案是B。
7. 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案.
…
(1)第1个图案中有6根小棒;第2个图案中有
(2)第n个图案中有
(3)第25个图案中有
…
(1)第1个图案中有6根小棒;第2个图案中有
11
根小棒;第3个图案中有16
根小棒；(2)第n个图案中有
5n + 1
根小棒；(3)第25个图案中有
126
根小棒.答案
【解析】：
(1)观察图案，我们可以发现每个图案都是由正方形和等边三角形组成的，且每个图案的小棒数量呈现一定的规律。
第1个图案由1个正方形和1个等边三角形组成，需要$4+2=6$根小棒；
第2个图案由2个正方形和2个等边三角形组成，需要$4 × 2+2 × 2-2=14-2=11+1 × 2-1=11$（因为两个图案之间共享一根小棒，所以减去2，但第一个图案的最后一根和第二个图案的第一根是同一根，所以要加回来1根）根小棒，也可以看作前一个图案加5根；
第3个图案由3个正方形和3个等边三角形组成，需要$4 × 3+2 × 3-2 × 2=12+6-4=14+2=1+5 × 2+5=16$（同理，每多一个图案，就多5根小棒）根小棒。
所以第2个图案有11根小棒，第3个图案有16根小棒。
(2)对于第n个图案，我们可以发现它由n个正方形和n个等边三角形组成，但每两个相邻的图案之间都会共享一根小棒。
因此，第n个图案的小棒数量为$5n + 1$。
(3)将$n=25$代入$5n+1$，得到第25个图案中有$5 × 25 + 1 = 126$根小棒。
【答案】：
(1)11；16
(2)$5n + 1$
(3)126
(1)观察图案，我们可以发现每个图案都是由正方形和等边三角形组成的，且每个图案的小棒数量呈现一定的规律。
第1个图案由1个正方形和1个等边三角形组成，需要$4+2=6$根小棒；
第2个图案由2个正方形和2个等边三角形组成，需要$4 × 2+2 × 2-2=14-2=11+1 × 2-1=11$（因为两个图案之间共享一根小棒，所以减去2，但第一个图案的最后一根和第二个图案的第一根是同一根，所以要加回来1根）根小棒，也可以看作前一个图案加5根；
第3个图案由3个正方形和3个等边三角形组成，需要$4 × 3+2 × 3-2 × 2=12+6-4=14+2=1+5 × 2+5=16$（同理，每多一个图案，就多5根小棒）根小棒。
所以第2个图案有11根小棒，第3个图案有16根小棒。
(2)对于第n个图案，我们可以发现它由n个正方形和n个等边三角形组成，但每两个相邻的图案之间都会共享一根小棒。
因此，第n个图案的小棒数量为$5n + 1$。
(3)将$n=25$代入$5n+1$，得到第25个图案中有$5 × 25 + 1 = 126$根小棒。
【答案】：
(1)11；16
(2)$5n + 1$
(3)126
8. 观察下列等式:$3= 4-1,5= 9-4,7= 16-9,9= 25-16,…$依此规律,第n个等式(n为整数)为
2n+1=(n+1)²-n²
.答案
解：观察等式左边：3，5，7，9，…，是从3开始的连续奇数，第n个奇数为2n+1。
等式右边：4-1=2²-1²，9-4=3²-2²，16-9=4²-3²，25-16=5²-4²，…，规律为(n+1)²-n²。
所以第n个等式为2n+1=(n+1)²-n²。
答案：2n+1=(n+1)²-n²
等式右边：4-1=2²-1²，9-4=3²-2²，16-9=4²-3²，25-16=5²-4²，…，规律为(n+1)²-n²。
所以第n个等式为2n+1=(n+1)²-n²。
答案：2n+1=(n+1)²-n²
9. 观察下列等式:
第1个等式是$(2×1+1)^{2}= (2×2+1)^{2}-(2×2)^{2}$；
第2个等式是$(2×2+1)^{2}= (3×4+1)^{2}-(3×4)^{2}$；
第3个等式是$(2×3+1)^{2}= (4×6+1)^{2}-(4×6)^{2}$；
第4个等式是$(2×4+1)^{2}= (5×8+1)^{2}-(5×8)^{2}$；
……
按照以上规律,第5个等式是
第1个等式是$(2×1+1)^{2}= (2×2+1)^{2}-(2×2)^{2}$；
第2个等式是$(2×2+1)^{2}= (3×4+1)^{2}-(3×4)^{2}$；
第3个等式是$(2×3+1)^{2}= (4×6+1)^{2}-(4×6)^{2}$；
第4个等式是$(2×4+1)^{2}= (5×8+1)^{2}-(5×8)^{2}$；
……
按照以上规律,第5个等式是
$(2 × 5 + 1)^{2} = (6 × 10 + 1)^{2} - (6 × 10)^{2}$(或$11^{2} = 61^{2} - 60^{2}$)
,第n个等式是$(2n + 1)^{2} = \lbrack(n + 1) \cdot 2n + 1\rbrack^{2} - \lbrack(n + 1) \cdot 2n\rbrack^{2}$
(用含n的式子表示).答案
【解析】：
观察给出的等式，我们可以发现每个等式都遵循一定的规律。
首先，我们看等式左边的部分：
第1个等式：$(2 × 1 + 1)^{2}$
第2个等式：$(2 × 2 + 1)^{2}$
...
由此，我们可以推断出第n个等式的左边部分应为$(2n + 1)^{2}$。
接着，我们观察等式右边的部分：
第1个等式：$(2 × 2 + 1)^{2} - (2 × 2)^{2}$，其中$2 × 2 = 2 × 1 × 2$，系数2和2可以看作是$(1+1)× 1$和$ 2 × 1$；
第2个等式：$(3 × 4 + 1)^{2} - (3 × 4)^{2}$，其中$3 × 4 = 2 × 2 × 2+ 2 × 2$，系数3和4可以看作是$(2+1)× 2$中的2和$(2+1)× 2+2$中的第一个2（即考虑加1后的第一个数乘以2）；
第3个等式：$(4 × 6 + 1)^{2} - (4 × 6)^{2}$，其中$4 × 6 = 2 × 3 × 2+2 × 3 × 1$，系数4和6可以看作是$(3+1)× 1+1$和$(3+1)× 2+ 2 × 1+2$（即n+1后的数分别乘以2和考虑加1再乘2后减2再加2，这里主要关注乘以的系数规律）；
...
由此，我们可以推断出第n个等式的右边部分第一个数为$(n+1) × n$再加1后的平方，即$[(n+1) × n + 1]^{2}$，第二个数为$(n+1) × 2n$的平方，
即需要减去$(n+1) × 2n$的平方。
所以，第n个等式的右边部分应为$[(n+1) × 2n + 1]^{2} - [(n+1) × 2n]^{2}$，简化后即为$[(n + 1) \cdot 2n + 1]^{2} - (n + 1)\cdot 2n ^{2}$，
进一步观察可以发现，右边第一个平方项里面的$(n+1) × 2n$可以表示为$(n+1) \cdot 2 \cdot n$，
即第n个等式可以表示为：$(2n + 1)^{2} = [(n + 1) \cdot 2n + 1]^{2} - [(n + 1) \cdot 2n]^{2}$。
根据这个规律，我们可以轻松写出第5个等式：
当$n=5$时，代入上述公式，得到第5个等式为：$(2 × 5 + 1)^{2} = (6 × 10 + 1)^{2} - (6 × 10)^{2}$，即$11^{2} = 61^{2} - 60^{2}$。
【答案】：
第5个等式是$(2 × 5 + 1)^{2} = (6 × 10 + 1)^{2} - (6 × 10)^{2}$(或$11^{2} = 61^{2} - 60^{2}$)；
第n个等式是$(2n + 1)^{2} = \lbrack(n + 1) \cdot 2n + 1\rbrack^{2} - \lbrack(n + 1) \cdot 2n\rbrack^{2}$。
观察给出的等式，我们可以发现每个等式都遵循一定的规律。
首先，我们看等式左边的部分：
第1个等式：$(2 × 1 + 1)^{2}$
第2个等式：$(2 × 2 + 1)^{2}$
...
由此，我们可以推断出第n个等式的左边部分应为$(2n + 1)^{2}$。
接着，我们观察等式右边的部分：
第1个等式：$(2 × 2 + 1)^{2} - (2 × 2)^{2}$，其中$2 × 2 = 2 × 1 × 2$，系数2和2可以看作是$(1+1)× 1$和$ 2 × 1$；
第2个等式：$(3 × 4 + 1)^{2} - (3 × 4)^{2}$，其中$3 × 4 = 2 × 2 × 2+ 2 × 2$，系数3和4可以看作是$(2+1)× 2$中的2和$(2+1)× 2+2$中的第一个2（即考虑加1后的第一个数乘以2）；
第3个等式：$(4 × 6 + 1)^{2} - (4 × 6)^{2}$，其中$4 × 6 = 2 × 3 × 2+2 × 3 × 1$，系数4和6可以看作是$(3+1)× 1+1$和$(3+1)× 2+ 2 × 1+2$（即n+1后的数分别乘以2和考虑加1再乘2后减2再加2，这里主要关注乘以的系数规律）；
...
由此，我们可以推断出第n个等式的右边部分第一个数为$(n+1) × n$再加1后的平方，即$[(n+1) × n + 1]^{2}$，第二个数为$(n+1) × 2n$的平方，
即需要减去$(n+1) × 2n$的平方。
所以，第n个等式的右边部分应为$[(n+1) × 2n + 1]^{2} - [(n+1) × 2n]^{2}$，简化后即为$[(n + 1) \cdot 2n + 1]^{2} - (n + 1)\cdot 2n ^{2}$，
进一步观察可以发现，右边第一个平方项里面的$(n+1) × 2n$可以表示为$(n+1) \cdot 2 \cdot n$，
即第n个等式可以表示为：$(2n + 1)^{2} = [(n + 1) \cdot 2n + 1]^{2} - [(n + 1) \cdot 2n]^{2}$。
根据这个规律，我们可以轻松写出第5个等式：
当$n=5$时，代入上述公式，得到第5个等式为：$(2 × 5 + 1)^{2} = (6 × 10 + 1)^{2} - (6 × 10)^{2}$，即$11^{2} = 61^{2} - 60^{2}$。
【答案】：
第5个等式是$(2 × 5 + 1)^{2} = (6 × 10 + 1)^{2} - (6 × 10)^{2}$(或$11^{2} = 61^{2} - 60^{2}$)；
第n个等式是$(2n + 1)^{2} = \lbrack(n + 1) \cdot 2n + 1\rbrack^{2} - \lbrack(n + 1) \cdot 2n\rbrack^{2}$。
