登录
9. 小明同学参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.试分别求出五次成绩的平均数和方差.
答案
平均数为13，方差为4。
解析
由图可知五次测试成绩分别为：10，13，12，14，16。
平均数：$\bar{x} = \frac{10 + 13 + 12 + 14 + 16}{5} = \frac{65}{5} = 13$
方差：$s^2 = \frac{1}{5}[(10 - 13)^2 + (13 - 13)^2 + (12 - 13)^2 + (14 - 13)^2 + (16 - 13)^2]$
$= \frac{1}{5}[(-3)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 1^2 + 3^2]$
$= \frac{1}{5}[9 + 0 + 1 + 1 + 9] = \frac{1}{5} × 20 = 4$
平均数：$\bar{x} = \frac{10 + 13 + 12 + 14 + 16}{5} = \frac{65}{5} = 13$
方差：$s^2 = \frac{1}{5}[(10 - 13)^2 + (13 - 13)^2 + (12 - 13)^2 + (14 - 13)^2 + (16 - 13)^2]$
$= \frac{1}{5}[(-3)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 1^2 + 3^2]$
$= \frac{1}{5}[9 + 0 + 1 + 1 + 9] = \frac{1}{5} × 20 = 4$
10. 一组数据2,3,4,7,a,3,5,1的平均数是4,则这组数据的方差为
$\dfrac{17}{4}$
.答案
(直接填写计算得到的方差数值对应的选项格式，由于题目未给选项，按要求直接填数字对应的规范结果，这里按题目要求直接给出数值的盒装格式)
$\boxed{\dfrac{17}{4}}$（或$\boxed{4.25}$，根据题目选项形式选择，此处按分数形式给出）
$\boxed{\dfrac{17}{4}}$（或$\boxed{4.25}$，根据题目选项形式选择，此处按分数形式给出）
解析
1. 根据平均数的定义，平均数 = 数据总和 ÷ 数据个数。
数据为 $2, 3, 4, 7, a, 3, 5, 1$，平均数为 4，数据个数为 8。
则：$\frac{2 + 3 + 4 + 7 + a + 3 + 5 + 1}{8} = 4$。
计算总和：$2 + 3 + 4 + 7 + a + 3 + 5 + 1 = 25 + a$。
列方程：$\frac{25 + a}{8} = 4$，解得 $a = 7$。
2. 计算方差：
方差公式为 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$，其中 $\bar{x} = 4$。
数据为 $2, 3, 4, 7, 7, 3, 5, 1$，计算各数据与平均数的差的平方：
$(2-4)^2 = 4$，
$(3-4)^2 = 1$，
$(4-4)^2 = 0$，
$(7-4)^2 = 9$，
$(7-4)^2 = 9$，
$(3-4)^2 = 1$，
$(5-4)^2 = 1$，
$(1-4)^2 = 9$。
平方和：$4 + 1 + 0 + 9 + 9 + 1 + 1 + 9 = 34$。
方差：$\frac{34}{8} = \frac{17}{4} = 4.25$（或写成分数形式 $\frac{17}{4}$）。
数据为 $2, 3, 4, 7, a, 3, 5, 1$，平均数为 4，数据个数为 8。
则：$\frac{2 + 3 + 4 + 7 + a + 3 + 5 + 1}{8} = 4$。
计算总和：$2 + 3 + 4 + 7 + a + 3 + 5 + 1 = 25 + a$。
列方程：$\frac{25 + a}{8} = 4$，解得 $a = 7$。
2. 计算方差：
方差公式为 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$，其中 $\bar{x} = 4$。
数据为 $2, 3, 4, 7, 7, 3, 5, 1$，计算各数据与平均数的差的平方：
$(2-4)^2 = 4$，
$(3-4)^2 = 1$，
$(4-4)^2 = 0$，
$(7-4)^2 = 9$，
$(7-4)^2 = 9$，
$(3-4)^2 = 1$，
$(5-4)^2 = 1$，
$(1-4)^2 = 9$。
平方和：$4 + 1 + 0 + 9 + 9 + 1 + 1 + 9 = 34$。
方差：$\frac{34}{8} = \frac{17}{4} = 4.25$（或写成分数形式 $\frac{17}{4}$）。
11. 已知一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的方差为2,则$x_{1}-2,x_{2}-2,x_{3}-2,x_{4}-2,x_{5}-2$的方差是
2
,$2x_{1},2x_{2},2x_{3},2x_{4},2x_{5}$的方差是8
,$3x_{1}+1,3x_{2}+1,3x_{3}+1,3x_{4}+1,3x_{5}+1$的方差是18
.答案
2,8,18
解析
设原数据平均数为$\overline{x}$，方差$s^2 = 2$。
1. 数据$x_{1}-2,\cdots,x_{5}-2$：平均数$\overline{x}'=\overline{x}-2$，方差$s_1^2=\frac{1}{5}\sum[(x_i - 2)-(\overline{x}-2)]^2=\frac{1}{5}\sum(x_i - \overline{x})^2 = 2$。
2. 数据$2x_{1},\cdots,2x_{5}$：平均数$\overline{x}''=2\overline{x}$，方差$s_2^2=\frac{1}{5}\sum(2x_i - 2\overline{x})^2=4×\frac{1}{5}\sum(x_i - \overline{x})^2 = 4×2=8$。
3. 数据$3x_{1}+1,\cdots,3x_{5}+1$：平均数$\overline{x}'''=3\overline{x}+1$，方差$s_3^2=\frac{1}{5}\sum[(3x_i + 1)-(3\overline{x}+1)]^2=9×\frac{1}{5}\sum(x_i - \overline{x})^2 = 9×2=18$。
1. 数据$x_{1}-2,\cdots,x_{5}-2$：平均数$\overline{x}'=\overline{x}-2$，方差$s_1^2=\frac{1}{5}\sum[(x_i - 2)-(\overline{x}-2)]^2=\frac{1}{5}\sum(x_i - \overline{x})^2 = 2$。
2. 数据$2x_{1},\cdots,2x_{5}$：平均数$\overline{x}''=2\overline{x}$，方差$s_2^2=\frac{1}{5}\sum(2x_i - 2\overline{x})^2=4×\frac{1}{5}\sum(x_i - \overline{x})^2 = 4×2=8$。
3. 数据$3x_{1}+1,\cdots,3x_{5}+1$：平均数$\overline{x}'''=3\overline{x}+1$，方差$s_3^2=\frac{1}{5}\sum[(3x_i + 1)-(3\overline{x}+1)]^2=9×\frac{1}{5}\sum(x_i - \overline{x})^2 = 9×2=18$。
12. 3月5日,基于DeepSeek的江苏首个区域卫生领域AI智慧服务“宁宁”正式上线!市民可通过“南京卫生12320”微信公众号获得24小时全天候、精准、快速的咨询服务.某公司为评估智慧客服“宁宁”和人工客服解决问题的效率,记录了一周内每天处理客户咨询的数量,数据如表:
| |周一|周二|周三|周四|周五|周六|周日|
|智慧客服“宁宁”|25|30|28|35|32|26|34|
|人工客服|9|17|10|20|10|19|13|
(1)分别计算这两组数据的平均数;
(2)设智慧客服“宁宁”的数据的方差为$s_{1}^{2}$,人工客服的数据的方差为$s_{2}^{2}$,比较两者方差的大小:$s_{1}^{2}$____$s_{2}^{2}$;(填“＞”“=”或“＜”)
(3)根据以上数据,对智慧客服“宁宁”和人工客服的工作数量进行评价.(至少两条)
| |周一|周二|周三|周四|周五|周六|周日|
|智慧客服“宁宁”|25|30|28|35|32|26|34|
|人工客服|9|17|10|20|10|19|13|
(1)分别计算这两组数据的平均数;
(2)设智慧客服“宁宁”的数据的方差为$s_{1}^{2}$,人工客服的数据的方差为$s_{2}^{2}$,比较两者方差的大小:$s_{1}^{2}$____$s_{2}^{2}$;(填“＞”“=”或“＜”)
(3)根据以上数据,对智慧客服“宁宁”和人工客服的工作数量进行评价.(至少两条)
(1)智慧客服“宁宁”平均数为$30$，人工客服平均数为$14$；(2)＜；(3)①智慧客服“宁宁”平均每天处理客户咨询数量比人工客服多，说明智慧客服“宁宁”工作效率更高；②智慧客服“宁宁”数据的方差小于人工客服数据的方差，说明智慧客服“宁宁”处理客户咨询数量的稳定性更好。
答案
(1)智慧客服“宁宁”平均数：
$\bar{x}_{1}=\frac{25 + 30+28 + 35+32+26+34}{7}=\frac{210}{7}=30$；
人工客服平均数：
$\bar{x}_{2}=\frac{9+17+10+20+10+19+13}{7}=\frac{98}{7}=14$。
(2)先求$s_{1}^{2}$：
$s_{1}^{2}=\frac{1}{7}[(25 - 30)^{2}+(30 - 30)^{2}+(28 - 30)^{2}+(35 - 30)^{2}+(32 - 30)^{2}+(26 - 30)^{2}+(34 - 30)^{2}]$
$=\frac{1}{7}(25 + 0+4 + 25+4+16+16)=\frac{90}{7}\approx12.86$；
再求$s_{2}^{2}$：
$s_{2}^{2}=\frac{1}{7}[(9 - 14)^{2}+(17 - 14)^{2}+(10 - 14)^{2}+(20 - 14)^{2}+(10 - 14)^{2}+(19 - 14)^{2}+(13 - 14)^{2}]$
$=\frac{1}{7}(25 + 9+16+36+16+25+1)=\frac{128}{7}\approx18.29$。
所以$s_{1}^{2}\lt s_{2}^{2}$。
(3)①智慧客服“宁宁”平均每天处理客户咨询数量比人工客服多，说明智慧客服“宁宁”工作效率更高；
②智慧客服“宁宁”数据的方差小于人工客服数据的方差，说明智慧客服“宁宁”处理客户咨询数量的稳定性更好。
综上，答案依次为：(1)智慧客服“宁宁”平均数为$30$，人工客服平均数为$14$；(2)$＜$；(3)见上述评价。
$\bar{x}_{1}=\frac{25 + 30+28 + 35+32+26+34}{7}=\frac{210}{7}=30$；
人工客服平均数：
$\bar{x}_{2}=\frac{9+17+10+20+10+19+13}{7}=\frac{98}{7}=14$。
(2)先求$s_{1}^{2}$：
$s_{1}^{2}=\frac{1}{7}[(25 - 30)^{2}+(30 - 30)^{2}+(28 - 30)^{2}+(35 - 30)^{2}+(32 - 30)^{2}+(26 - 30)^{2}+(34 - 30)^{2}]$
$=\frac{1}{7}(25 + 0+4 + 25+4+16+16)=\frac{90}{7}\approx12.86$；
再求$s_{2}^{2}$：
$s_{2}^{2}=\frac{1}{7}[(9 - 14)^{2}+(17 - 14)^{2}+(10 - 14)^{2}+(20 - 14)^{2}+(10 - 14)^{2}+(19 - 14)^{2}+(13 - 14)^{2}]$
$=\frac{1}{7}(25 + 9+16+36+16+25+1)=\frac{128}{7}\approx18.29$。
所以$s_{1}^{2}\lt s_{2}^{2}$。
(3)①智慧客服“宁宁”平均每天处理客户咨询数量比人工客服多，说明智慧客服“宁宁”工作效率更高；
②智慧客服“宁宁”数据的方差小于人工客服数据的方差，说明智慧客服“宁宁”处理客户咨询数量的稳定性更好。
综上，答案依次为：(1)智慧客服“宁宁”平均数为$30$，人工客服平均数为$14$；(2)$＜$；(3)见上述评价。
