4. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $∠ A = 30°$, $AB = 4$, $CD ⊥ AB$ 于点 $D$, $E$ 是 $AB$ 的中点, 则 $DE$ 的长为 ()


A.1
B.2
C.3
D.4

4.A 【解析】因为$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,所以$∠ B=60°$,$BC=\frac{1}{2}AB$. 因为E是AB的中点，$AB=4$,所以$BC=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$,所以$△ BCE$为等边三角形. 又因为$CD⊥ AB$,所以$DE=BD=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×2=1$.

5. 如图，$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 120°$，$AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$，垂足为点$E$.

(1)求$∠ BAD$的度数；
(2)若$BD=2\ \mathrm{cm}$，试求$DC$的长度.

5.【解】(1) 因为 $AB = AC$, 所以 $∠ B = ∠ C =(180°-120°)÷2 = 30°$. 因为 $DE$ 垂直平分线段$AB$,所以$DB=DA$,所以$∠ BAD=∠ B=30°$.
(2) 因为 $∠ BAC = 120°$,$∠ BAD = 30°$, 所以 $∠ DAC = 90°$. 又因为 $∠ C = 30°$,$DB = DA$, 所以 $DC=2DA=2DB=4\ \mathrm{cm}$.

如图,点 O 是等边三角形 ABC 内一点,∠AOC=100°,∠AOB=α.以 OB 为边作等边三角形 BOD,连接 CD.

(1)求证:△ABO≌△CBD;
(2)当α=150°时,试判断△COD 的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,△COD 是等腰三角形?

(1)【证明】因为$△ ABC$ 和$△ OBD$ 都是等边三角形,所以 $BA = BC$, $BO = BD$, $∠ ABC = ∠ OBD = 60°$,所以$∠ ABC - ∠ OBC = ∠ OBD - ∠ OBC$,即$∠ ABO=∠ CBD$.
在$△ ABO$ 和$△ CBD$ 中,
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ ABO=∠ CBD, \\ BO=BD, \end{cases}$
所以$△ ABO≌△ CBD(\mathrm{SAS})$.
(2)【解】直角三角形.
理由: 因为 $△ ABO≌△ CBD$ (已证), 所以 $∠ BDC=∠ AOB=150°$. 又因为$∠ ODB=∠ OBD=60°$,所以$∠ CDO=150°-60°=90°$,所以$△ COD$ 是直角三角形.
(3)【解】①要使 $CO=CD$,需$∠ COD=∠ CDO$,
所以 $200°-α=α-60°$,所以 $α=130°$;
②要使 $OC=OD$,需$∠ OCD=∠ CDO$,所以$2(α-60°)=180°-(200°-α)$,所以 $α=100°$;
③要使 $OD=CD$,需$∠ OCD=∠ COD$,所以$2(200°-α)=180°-(α-60°)$,所以 $α=160°$.
综上,当$α$ 为 $100°$,$130°$,$160°$时,$△ COD$ 是等腰三角形.