1. 如图，B是线段AC的中点，AD//BE，BD//CE. 求证：△ABD ≌ △BCE.

证明：
∵ B是线段AC的中点，
∴ AB = BC。
∵ AD // BE，
∴ ∠A = ∠EBC。
∵ BD // CE，
∴ ∠DBA = ∠C。
在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠EBC, \\AB = BC, \\∠ABD = ∠C,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △BCE（ASA）。

【分析】
要证明△ABD≌△BCE，首先明确全等三角形的判定条件，再从已知条件逐步推导所需的边角等量关系：首先由B是AC中点，可得到一组对应边相等AB=BC；再结合两组平行线的条件，根据两直线平行同位角相等，可分别得到两组对应角相等：AD//BE可得∠A=∠EBC，BD//CE可得∠ABD=∠C，刚好满足ASA的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ B是线段AC的中点，
∴ AB = BC。
∵ AD // BE，
∴ ∠A = ∠EBC。
∵ BD // CE，
∴ ∠DBA = ∠C。
在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠EBC, \\AB = BC, \\∠ABD = ∠C,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △BCE（ASA）。
【答案】
△ABD≌△BCE，证明过程如上。
【知识点】
线段中点的定义、平行线的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，解题核心是将题目给出的中点、平行条件转化为证明全等所需的边、角相等关系，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$AB = AD$，$BC = DC$，点$E$在$AC$上. 求证：
(1)$AC$平分$∠ BAD$；
(2)$BE = DE$.

证明：
(1) 在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD \\BC = DC \\AC = AC\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC$
即$AC$平分$∠ BAD$。
(2) 在$△ ABE$和$△ ADE$中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD \\∠ BAE = ∠ DAE \\AE = AE\end{array} $
$\therefore △ ABE ≌ △ ADE(\mathrm{SAS})$
$\therefore BE = DE$。

【分析】
要证明AC平分∠BAD，本质是证∠BAC=∠DAC，观察两个角分别属于△ABC和△ADC，已知AB=AD、BC=DC，且AC是两个三角形的公共边，因此可先通过SSS判定定理证明两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等得到角相等，即可完成第一问证明。要证明BE=DE，观察两条边分别属于△ABE和△ADE，已知AB=AD，结合第一问得到的∠BAE=∠DAE，且AE是两个三角形的公共边，因此可通过SAS判定定理证明△ABE≌△ADE，再利用全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
(1) 在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}AB = AD \\BC = DC \\AC = AC\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC$
即$AC$平分$∠ BAD$。
(2) 在$△ ABE$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB = AD \\∠ BAE = ∠ DAE \\AE = AE\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ADE(\mathrm{SAS})$
$\therefore BE = DE$。
【答案】
证明过程如上，(1)AC平分∠BAD得证；(2)BE=DE得证。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是根据待证的角相等、边相等定位对应全等三角形，结合已知条件和公共边等隐含条件完成全等证明，即可推导得到所需结论，能帮助学生熟练掌握全等判定定理的使用方法。
【难度系数】
0.8

3. 如图, 在 $Rt △ ABC$ 和 $Rt △ DEF$ 中, $∠ C = ∠ F=90°$, 点 $A,E,B,D$ 在同一条直线上, $BC,EF$ 交于点 $M,AC = DF,AB = DE,ME = MB$. 求证:
(1) $∠ CBA = ∠ FED$;
(2) $AM = DM$.

证明：
(1) 在$Rt△ ABC$和$Rt△ DEF$中，
$\begin{cases}AC = DF \\AB = DE\end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC ≌ Rt△ DEF(\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ CBA = ∠ FED$。
(2) $\because AB = DE$，
$\therefore AB - EB = DE - EB$，即$AE = DB$。
$\because ∠ AEM + ∠ FED = 180°$，$∠ DBM + ∠ CBA = 180°$，且$∠ FED = ∠ CBA$，
$\therefore ∠ AEM = ∠ DBM$。
在$△ AEM$和$△ DBM$中，
$\begin{cases}AE = DB \\∠ AEM = ∠ DBM \\ME = MB\end{cases}$
$\therefore △ AEM ≌ △ DBM(\mathrm{SAS})$
$\therefore AM = DM$。

【分析】
(1) 要证明∠CBA=∠FED，观察两角分别属于Rt△ABC和Rt△DEF，已知两个直角三角形的斜边AB=DE，一组直角边AC=DF，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此先证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 要证明AM=DM，可证明两条线段所在的△AEM和△DBM全等。首先由AB=DE，同时减去公共线段EB可得AE=DB；由(1)得到的∠CBA=∠FED，结合等角的补角相等可推出∠AEM=∠DBM，再结合已知ME=MB，符合三角形全等的SAS判定条件，证得两三角形全等后，利用全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：
(1) 在$Rt△ ABC$和$Rt△ DEF$中，
$\begin{cases}AC = DF \\AB = DE\end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC ≌ Rt△ DEF(\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ CBA = ∠ FED$。
(2) $\because AB = DE$，
$\therefore AB - EB = DE - EB$，即$AE = DB$。
$\because ∠ AEM + ∠ FED = 180°$，$∠ DBM + ∠ CBA = 180°$，且$∠ FED = ∠ CBA$，
$\therefore ∠ AEM = ∠ DBM$。
在$△ AEM$和$△ DBM$中，
$\begin{cases}AE = DB \\∠ AEM = ∠ DBM \\ME = MB\end{cases}$
$\therefore △ AEM ≌ △ DBM(\mathrm{SAS})$
$\therefore AM = DM$。
【答案】
(1) $∠ CBA = ∠ FED$；
(2) $AM = DM$。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）
2. 全等三角形的性质
3. 三角形全等判定（SAS）
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的典型应用，解题时先从待证结论出发，逆向寻找证明所需的条件，结合题目给出的已知和几何图形中的隐含条件（如公共线段、邻补角）即可完成证明，注重对全等判定基础的掌握。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$∠ A = ∠ B$，$AE = BE$，点D在边AC上，$∠ 1 = ∠ 2$，AE和BD相交于点O. 求证：$△ AEC ≌ △ BED$.

证明：
∵ AE和BD相交于点O，
∴ ∠AOD = ∠BOE。
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴ ∠2 = ∠BEO。
又∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 = ∠BEO，
∴ ∠1 + ∠AED = ∠BEO + ∠AED，
即 ∠AEC = ∠BED。
在△AEC和△BED中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠B, \\AE = BE, \\∠AEC = ∠BED,\end{array} $
∴ △AEC ≌ △BED（ASA）。

【分析】
要证明△AEC≌△BED，首先梳理已知条件：题目已给出∠A=∠B、AE=BE，结合全等三角形判定定理，还需要补充一组对应边或对应角相等的条件。我们可以从已知的∠1=∠2入手，先利用对顶角相等的性质，结合∠A=∠B推导出∠2=∠BEO，再通过等量代换和角的和差关系得到∠AEC=∠BED，即可凑齐ASA全等判定的全部条件，完成证明。
【解析】
证明：
∵ AE和BD相交于点O，
∴ ∠AOD = ∠BOE（对顶角相等）。
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∠AOD=∠BOE，
∴ ∠2 = ∠BEO。
又
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 = ∠BEO，
∴ ∠1 + ∠AED = ∠BEO + ∠AED，
即 ∠AEC = ∠BED。
在△AEC和△BED中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠B, \\AE = BE, \\∠AEC = ∠BED,\end{array} $
∴ △AEC ≌ △BED（ASA）。
【答案】
△AEC ≌ △BED
【知识点】
全等三角形ASA判定、对顶角性质、角的等量代换
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是通过已知角的关系推导待证全等三角形的对应角相等，只要熟练掌握全等判定定理和角的基本性质，就能快速找到解题思路。
【难度系数】
0.8