5. 设$xy=x-y≠0$，则$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$的值等于（）。

A.$\frac{1}{xy}$
B.$y-x$
C.$-1$
D.$1$

C

【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路如下：首先，所求代数式$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$是异分母分式的减法运算，第一步先对其通分化简，得到用$x-y$和$xy$表示的形式；再结合题目给出的已知条件$xy=x-y$，将$xy$整体代入化简后的式子，约分后即可求出结果，无需单独求解$x$、$y$的具体值。
【解析】
解：先对所求代数式通分计算：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}=\frac{y-x}{xy}$
已知$xy=x-y$，且$xy≠0$（因此$x-y≠0$，满足约分条件），将$xy=x-y$代入上式得：
$\frac{y-x}{xy}=\frac{y-x}{x-y}=\frac{-(x-y)}{x-y}=-1$
【答案】
C
【知识点】
异分母分式减法、分式化简求值、整体代入思想
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，解题核心是先对所求分式通分化简，再利用已知条件整体代入计算，避免了求解单个未知数的繁琐步骤，能很好地检验学生对分式加减运算规则的掌握程度。
【难度系数】
0.8

6. 先化简,再求值:
$( \dfrac{x+3}{x^2 - x} - \dfrac{x}{x^2 - 2x +1} ) ÷ \dfrac{2x -3}{x}$,其中$x$满足$x^2 -2x -1=0$.

解：
原式$=[\dfrac{x+3}{x(x-1)} - \dfrac{x}{(x-1)^2}] ÷ \dfrac{2x-3}{x}$
$=[\dfrac{(x+3)(x-1)}{x(x-1)^2} - \dfrac{x^2}{x(x-1)^2}] · \dfrac{x}{2x-3}$
$=\dfrac{x^2 +2x -3 -x^2}{x(x-1)^2} · \dfrac{x}{2x-3}$
$=\dfrac{2x-3}{x(x-1)^2} · \dfrac{x}{2x-3}$
$=\dfrac{1}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{1}{x^2 -2x +1}$
由$x^2 -2x -1=0$，得$x^2 -2x =1$，
代入得：原式$=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$。

【分析】本题属于分式化简求值题型，解题可按以下思路推进：首先对原式中各分式的分母进行因式分解，为后续通分、约分做准备；其次先计算括号内的分式减法，找到最简公分母将异分母分式转化为同分母分式后计算差，再将除法运算转化为乘法运算，逐步约分化为最简形式；最后结合已知条件$x^2 - 2x -1=0$，无需直接求解x的值，将最简式变形后采用整体代入的方法计算结果，既能简化计算，也符合当前学段的知识要求。
【解析】
原式$=[\dfrac{x+3}{x(x-1)} - \dfrac{x}{(x-1)^2}] ÷ \dfrac{2x-3}{x}$
对括号内分式通分，同时将除法转化为乘法：
$=[\dfrac{(x+3)(x-1)}{x(x-1)^2} - \dfrac{x^2}{x(x-1)^2}] · \dfrac{x}{2x-3}$
计算括号内的减法：
$=\dfrac{x^2 +2x -3 -x^2}{x(x-1)^2} · \dfrac{x}{2x-3}$
化简分子：
$=\dfrac{2x-3}{x(x-1)^2} · \dfrac{x}{2x-3}$
约分化简：
$=\dfrac{1}{(x-1)^2}$
展开分母得：
$=\dfrac{1}{x^2 -2x +1}$
由$x^2 -2x -1=0$，可得$x^2 -2x =1$，将其代入最简式：
原式$=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$
【答案】$\dfrac{1}{2}$
【知识点】分式的化简求值；因式分解；整体代入求值
【点评】本题重点考查分式混合运算的规则与整体代入的数学思想，解题时需先对分母因式分解再找最简公分母通分，计算过程中优先约分可简化运算，无需直接求解未知数x，运用整体代入的方法能有效降低计算量，同时要注意分式有意义的隐含条件，确保运算合法合规。
【难度系数】0.6

7. (2024 北京)已知 $ a - b - 1 = 0 $，求代数式 $ \frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2} $ 的值。

解：
由$a - b - 1 = 0$，得$a - b = 1$。
化简代数式：
分子：$3(a - 2b) + 3b = 3a - 6b + 3b = 3a - 3b = 3(a - b)$
分母：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
因此原式$=\frac{3(a - b)}{(a - b)^2} = \frac{3}{a - b}$
将$a - b = 1$代入，得原式$=\frac{3}{1}=3$。

【分析】
解题时首先从已知条件入手，可先得出$a-b$的值为1；观察待求的代数式是分式，所以需要先对分子、分母分别化简：分子先去括号、合并同类项，再提取公因式转化为含$a-b$的式子，分母利用完全平方公式因式分解也转化为含$a-b$的式子，约分后将$a-b=1$整体代入即可求出结果，不需要单独求解$a$、$b$的数值，计算更简便。
【解析】
解：由$a - b - 1 = 0$，可得$a - b = 1$。
先化简代数式：
化简分子：$3(a - 2b) + 3b = 3a - 6b + 3b = 3a - 3b = 3(a - b)$
化简分母：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
因此原式$=\frac{3(a - b)}{(a - b)^2} = \frac{3}{a - b}$
将$a - b = 1$代入上式，得原式$=\frac{3}{1}=3$。
【答案】
3
【知识点】
分式化简求值，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于基础的分式化简求值题，解题核心是先将待求式转化为含有已知条件中式子的形式，运用整体代入的思想计算，可有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8

8. 如图,若 $ a = 6b $, 则 $ \frac{1}{a - b}(a - \frac{2ab - b^2}{a}) $ 的值在().


A.第①段
B.第②段
C.第③段
D.第④段

D

【分析】
解题时首先要对所给分式进行化简，先处理括号内的分式减法运算，通过通分将括号内的式子合并，再结合因式分解和约分化简原式，之后将已知条件$a=6b$代入化简后的式子计算出数值，最后将计算结果和数轴上的各段区间对比，判断所在区间即可。
【解析】
先化简分式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{a-b}·(\frac{a^2}{a}-\frac{2ab - b^2}{a})\\&=\frac{1}{a-b}·\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a}\\&=\frac{1}{a-b}·\frac{(a - b)^2}{a}\\&=\frac{a - b}{a}\end{aligned}$
将$a=6b$代入上式，得：
$\frac{a - b}{a}=\frac{6b - b}{6b}=\frac{5b}{6b}=\frac{5}{6}$
观察数轴可知：$\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜1$，对应第④段。
【答案】
D
【知识点】
分式化简求值、完全平方公式、分式通分约分
【点评】
本题是典型的分式化简求值类题目，解题核心是先化简后代入求值，避免直接代入复杂的原式运算，减少计算错误，最后结合数轴区间判断位置，属于基础考查题型。
【难度系数】
0.75

9. (2025 文山期末)阅读下面的解题过程.
已知$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$,求$\frac{x^2}{x^4+1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$,知$x≠0$,
∴$\frac{x^2+1}{x}=3$,即$x+\frac{1}{x}=3$.
∴$\frac{x^4+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2x·\frac{1}{x}=3^2 -2=7$.
∴$\frac{x^2}{x^4+1}$的值为$\frac{1}{7}$.
说明:该题的解法叫作“倒数法”.
请你利用“倒数法”解下面题目:已知
$\frac{x}{x^2 -2x -2}=5$,求:
(1)$x-\frac{2}{x}$的值;
(2)$\frac{x^2}{x^4 -6x^2 +4}$的值.

解：
(1) 由$\frac{x}{x^2 - 2x - 2}=5$，知$x≠0$，
两边同时取倒数得：$\frac{x^2 - 2x - 2}{x}=\frac{1}{5}$，
即$x - 2 - \frac{2}{x}=\frac{1}{5}$，
移项得：$x - \frac{2}{x}=2 + \frac{1}{5}=\frac{11}{5}$。
(2) 先求$\frac{x^2}{x^4 - 6x^2 + 4}$的倒数：
$\frac{x^4 - 6x^2 + 4}{x^2}=x^2 - 6 + \frac{4}{x^2}$，
由完全平方公式变形得：$x^2 + \frac{4}{x^2}=(x - \frac{2}{x})^2 + 4$，
将$x - \frac{2}{x}=\frac{11}{5}$代入得：
$\frac{x^4 - 6x^2 + 4}{x^2}=(x - \frac{2}{x})^2 + 4 - 6=(\frac{11}{5})^2 - 2=\frac{121}{25} - \frac{50}{25}=\frac{71}{25}$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4 - 6x^2 + 4}=\frac{25}{71}$。

【分析】
本题采用“倒数法”解题，思路如下：
(1) 已知条件中分式的分子为单项式x，分母为二次多项式，首先由已知分式的值不为0可判断x≠0，对已知分式两边取倒数，将拆分后的分式化简，即可整理得到$x-\frac{2}{x}$的值；
(2) 所求分式的分子为二次单项式，分母为四次多项式，同样先取其倒数，拆分后可变形为含有$x^2+\frac{4}{x^2}$的形式，再利用完全平方公式将$x^2+\frac{4}{x^2}$转化为与第(1)问结果相关的式子，代入计算后再取倒数即可得到所求分式的值。
【解析】
(1) 由$\frac{x}{x^2 - 2x - 2}=5$，可知$x≠0$，
两边同时取倒数得：$\frac{x^2 - 2x - 2}{x}=\frac{1}{5}$，
拆分分式得：$x - 2 - \frac{2}{x}=\frac{1}{5}$，
移项计算得：$x - \frac{2}{x}=2 + \frac{1}{5}=\frac{11}{5}$。
(2) 先求$\frac{x^2}{x^4 - 6x^2 + 4}$的倒数：
$\frac{x^4 - 6x^2 + 4}{x^2}=x^2 - 6 + \frac{4}{x^2}$，
由完全平方公式变形可得：$x^2 + \frac{4}{x^2}=(x - \frac{2}{x})^2 + 2· x· \frac{2}{x}=(x - \frac{2}{x})^2 + 4$，
将$x - \frac{2}{x}=\frac{11}{5}$代入得：
$\frac{x^4 - 6x^2 + 4}{x^2}=(\frac{11}{5})^2 + 4 - 6=\frac{121}{25} - 2=\frac{121}{25} - \frac{50}{25}=\frac{71}{25}$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4 - 6x^2 + 4}=\frac{25}{71}$。
【答案】
(1) $\frac{11}{5}$；(2) $\frac{25}{71}$
【知识点】
分式化简求值；倒数法的应用；完全平方公式变形
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心是利用倒数法将分子为单项式、分母为多项式的分式拆分为可利用完全平方公式变形的形式，通过降次简化计算，掌握该方法能大幅提升同类型分式求值题的解题效率。
【难度系数】
0.7