登录
1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\dfrac{1}{3}$，则$\sin B=(\quad)$。
A.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
A.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
答案
D
解析
【分析】
本题为直角三角形中锐角三角函数求值问题，解题思路清晰：首先根据正切函数的定义，由已知的$\tan A$的值设出两条直角边的长度，再用勾股定理算出斜边长度，最后根据正弦函数的定义，找到$∠ B$的对边与斜边的比值，化简后即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由正切的定义可知$\tan A=\dfrac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{3}$，
设$BC=x$，则$AC=3x$（$x＞0$），
根据勾股定理，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(3x)^2+x^2}=\sqrt{10x^2}=\sqrt{10}x$，
由正弦的定义可知$\sin B=\dfrac{∠ B的对边}{斜边}=\dfrac{AC}{AB}$，
代入边长计算得：$\sin B=\dfrac{3x}{\sqrt{10}x}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题关键是熟练掌握各锐角三角函数的定义，能准确找到直角三角形中对应角的对边和邻边，结合勾股定理完成计算。
【难度系数】
0.8
本题为直角三角形中锐角三角函数求值问题，解题思路清晰：首先根据正切函数的定义，由已知的$\tan A$的值设出两条直角边的长度，再用勾股定理算出斜边长度，最后根据正弦函数的定义，找到$∠ B$的对边与斜边的比值，化简后即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由正切的定义可知$\tan A=\dfrac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{3}$，
设$BC=x$，则$AC=3x$（$x＞0$），
根据勾股定理，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(3x)^2+x^2}=\sqrt{10x^2}=\sqrt{10}x$，
由正弦的定义可知$\sin B=\dfrac{∠ B的对边}{斜边}=\dfrac{AC}{AB}$，
代入边长计算得：$\sin B=\dfrac{3x}{\sqrt{10}x}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，解题关键是熟练掌握各锐角三角函数的定义，能准确找到直角三角形中对应角的对边和邻边，结合勾股定理完成计算。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$∠ AOB$在格点图中，则$\sin∠ AOB$的值为().
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
B
解析
【分析】
要求∠AOB的正弦值，需将该角放入直角三角形中求解。我们可以先设每个小正方形边长为1，在∠AOB的两边上取合适的格点构造三角形，先利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用割补法算出三角形的面积，进而求出∠AOB的对边长度，最后根据正弦的定义计算sin∠AOB的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
在OA上取格点C(2,1)，在OB上取格点D(1,2)，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
用割补法计算△OCD的面积：
$S_{△ OCD}=2×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×1=\frac{3}{2}$，
过点C作CE⊥OD于点E，根据三角形面积公式：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OD× CE$，代入得$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× CE$，解得$CE=\frac{3}{\sqrt{5}}$，
在Rt△OCE中，$\sin∠ AOB=\frac{CE}{OC}=\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，格点面积计算
【点评】
本题是格点中求锐角三角函数值的典型题型，解题的核心是通过构造直角三角形，结合勾股定理和面积法得到对应边的比值，解题时注意灵活运用割补法求格点图形的面积。
【难度系数】
0.7
要求∠AOB的正弦值，需将该角放入直角三角形中求解。我们可以先设每个小正方形边长为1，在∠AOB的两边上取合适的格点构造三角形，先利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用割补法算出三角形的面积，进而求出∠AOB的对边长度，最后根据正弦的定义计算sin∠AOB的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
在OA上取格点C(2,1)，在OB上取格点D(1,2)，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
用割补法计算△OCD的面积：
$S_{△ OCD}=2×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×1=\frac{3}{2}$，
过点C作CE⊥OD于点E，根据三角形面积公式：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OD× CE$，代入得$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× CE$，解得$CE=\frac{3}{\sqrt{5}}$，
在Rt△OCE中，$\sin∠ AOB=\frac{CE}{OC}=\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，格点面积计算
【点评】
本题是格点中求锐角三角函数值的典型题型，解题的核心是通过构造直角三角形，结合勾股定理和面积法得到对应边的比值，解题时注意灵活运用割补法求格点图形的面积。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在菱形$ABCD$中，$DE ⊥ AB$，$\cos A = \dfrac{3}{5}$，$BE=2$，则$\cos∠ DBE$的值是（）.
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$2$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$2$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用菱形四边相等的性质，将AD与AB用同一个量表示；再结合DE⊥AB得到Rt△ADE，根据cosA的定义建立边长的关系，求出菱形的边长；接着用勾股定理求出DE、BD的长度；最后在Rt△DEB中根据余弦的定义求出cos∠DBE的值即可。
【解析】
设菱形$ABCD$的边长为$a$，则$AD=AB=a$。
∵$BE=2$，
∴$AE=AB-BE=a-2$。
∵$DE⊥ AB$，
∴$△ ADE$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$\cos A=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{3}{5}$，代入得：
$\dfrac{a-2}{a}=\dfrac{3}{5}$
解得$a=5$，即$AD=AB=5$，$AE=5-2=3$。
由勾股定理得：$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，$DE=4$，$BE=2$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
根据余弦的定义，$\cos∠ DBE=\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{2}{2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将几何图形性质与锐角三角函数相结合，解题的关键是抓住直角三角形中三角函数的定义，结合已知条件建立等式求出未知边长，再计算目标三角函数值。
【难度系数】
0.7
解题时先利用菱形四边相等的性质，将AD与AB用同一个量表示；再结合DE⊥AB得到Rt△ADE，根据cosA的定义建立边长的关系，求出菱形的边长；接着用勾股定理求出DE、BD的长度；最后在Rt△DEB中根据余弦的定义求出cos∠DBE的值即可。
【解析】
设菱形$ABCD$的边长为$a$，则$AD=AB=a$。
∵$BE=2$，
∴$AE=AB-BE=a-2$。
∵$DE⊥ AB$，
∴$△ ADE$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$\cos A=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{3}{5}$，代入得：
$\dfrac{a-2}{a}=\dfrac{3}{5}$
解得$a=5$，即$AD=AB=5$，$AE=5-2=3$。
由勾股定理得：$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，$DE=4$，$BE=2$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
根据余弦的定义，$\cos∠ DBE=\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{2}{2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将几何图形性质与锐角三角函数相结合，解题的关键是抓住直角三角形中三角函数的定义，结合已知条件建立等式求出未知边长，再计算目标三角函数值。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=6,则BC=.
（第4题）（第5题）（第6题）
（第4题）（第5题）（第6题）
答案
$\boldsymbol{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}$
解析
【分析】
本题是斜三角形边长求解问题，已知两个特殊内角和一条边长，解题核心是通过作高将斜三角形转化为两个含特殊角的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值分别计算两条线段的长度，相加即可得到BC的长。具体思考步骤：1. 过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形；2. 在Rt△ABD中，利用∠B=45°和AB的长度求出BD、AD的长；3. 在Rt△ACD中，利用∠C=60°和已求出的AD的长算出CD的长；4. 线段BC的长度等于BD与CD之和，代入数值计算即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=45°$，$AB=6$：
$\sin B=\frac{AD}{AB}$，$\cos B=\frac{BD}{AB}$，
∴$AD=AB·\sin45°=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
$BD=AB·\cos45°=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ C=60°$，$AD=3\sqrt{2}$：
$\tan C=\frac{AD}{CD}$，
∴$CD=\frac{AD}{\tan60°}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}$。
∴$BC=BD+CD=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$。
【答案】
$\boldsymbol{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，解直角三角形，转化思想
【点评】
本题属于解斜三角形的常规题型，核心解题方法是通过作高将非直角三角形转化为直角三角形求解，需要熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值，灵活运用转化思想解决问题。
【难度系数】
0.7
本题是斜三角形边长求解问题，已知两个特殊内角和一条边长，解题核心是通过作高将斜三角形转化为两个含特殊角的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值分别计算两条线段的长度，相加即可得到BC的长。具体思考步骤：1. 过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形；2. 在Rt△ABD中，利用∠B=45°和AB的长度求出BD、AD的长；3. 在Rt△ACD中，利用∠C=60°和已求出的AD的长算出CD的长；4. 线段BC的长度等于BD与CD之和，代入数值计算即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=45°$，$AB=6$：
$\sin B=\frac{AD}{AB}$，$\cos B=\frac{BD}{AB}$，
∴$AD=AB·\sin45°=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
$BD=AB·\cos45°=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ C=60°$，$AD=3\sqrt{2}$：
$\tan C=\frac{AD}{CD}$，
∴$CD=\frac{AD}{\tan60°}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}$。
∴$BC=BD+CD=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$。
【答案】
$\boldsymbol{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，解直角三角形，转化思想
【点评】
本题属于解斜三角形的常规题型，核心解题方法是通过作高将非直角三角形转化为直角三角形求解，需要熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值，灵活运用转化思想解决问题。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在等腰直角三角形ABC中，$∠ C = 90°$，$AC = 6$，D是边AC上一点.若$\tan∠ DBA = \dfrac{1}{5}$，则$AD =$.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
已知∠DBA的正切值，需先构造包含该角的直角三角形，因此过D作DE⊥AB于点E。结合等腰直角三角形ABC的性质，可知∠A=45°，进而得到△ADE也是等腰直角三角形，AD与DE存在固定倍数关系；再根据正切定义得到DE与BE的比例关系，最后结合AB的总长度列方程即可求出AD的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，
∴BC=AC=6，∠A=45°，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
在Rt△ADE中，∠A=45°，
∴AE=DE，设$DE=x$，则$AE=x$，$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{2}x$。
在Rt△BDE中，$\tan∠ DBA=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{5}$，
∴$BE=5DE=5x$。
∵$AB=AE+BE$，
∴$x+5x=6\sqrt{2}$，
解得$x=\sqrt{2}$，
∴$AD=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形，将锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是合理作辅助线，找到线段之间的比例关系和等量关系。
【难度系数】
0.7
已知∠DBA的正切值，需先构造包含该角的直角三角形，因此过D作DE⊥AB于点E。结合等腰直角三角形ABC的性质，可知∠A=45°，进而得到△ADE也是等腰直角三角形，AD与DE存在固定倍数关系；再根据正切定义得到DE与BE的比例关系，最后结合AB的总长度列方程即可求出AD的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，
∴BC=AC=6，∠A=45°，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
在Rt△ADE中，∠A=45°，
∴AE=DE，设$DE=x$，则$AE=x$，$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{2}x$。
在Rt△BDE中，$\tan∠ DBA=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{5}$，
∴$BE=5DE=5x$。
∵$AB=AE+BE$，
∴$x+5x=6\sqrt{2}$，
解得$x=\sqrt{2}$，
∴$AD=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形，将锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是合理作辅助线，找到线段之间的比例关系和等量关系。
【难度系数】
0.7
6. 如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知$BC=2\ \mathrm{m}$，$CD=5.4\ \mathrm{m}$，$∠ DCF=30°$，则车位所占的宽度EF为.(结果精确到0.1 m，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$)
答案
$\boldsymbol{4.4\ \mathrm{m}}$
解析
【分析】
要求车位宽度EF，可将EF拆分为DE与DF两段分别求解。首先根据矩形性质得到AD=BC=2m、∠ADC=90°，再利用同角的余角相等推出∠ADE=∠DCF=30°，最后分别在Rt△CDF和Rt△ADE中利用锐角三角函数求出DF和DE的长度，相加即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2m，∠ADC=90°，
∴∠ADE + ∠CDF = 180° - ∠ADC = 90°，
∵EF⊥CF，
∴∠DCF + ∠CDF = 90°，
∴∠ADE = ∠DCF = 30°。
在Rt△CDF中，∠DCF=30°，CD=5.4m，
∴DF = CD·sin30° = 5.4×$\frac{1}{2}$ = 2.7m。
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=2m，
∴DE = AD·cos30° = 2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$ ≈1.732m。
∴EF = DE + DF ≈2.7 + 1.732 ≈4.4m。
【答案】
$\boldsymbol{4.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
锐角三角函数应用，矩形的性质，直角三角形性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的应用，解题关键是通过角的互余关系得到等角，再将所求线段拆分到两个直角三角形中分别计算，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
要求车位宽度EF，可将EF拆分为DE与DF两段分别求解。首先根据矩形性质得到AD=BC=2m、∠ADC=90°，再利用同角的余角相等推出∠ADE=∠DCF=30°，最后分别在Rt△CDF和Rt△ADE中利用锐角三角函数求出DF和DE的长度，相加即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2m，∠ADC=90°，
∴∠ADE + ∠CDF = 180° - ∠ADC = 90°，
∵EF⊥CF，
∴∠DCF + ∠CDF = 90°，
∴∠ADE = ∠DCF = 30°。
在Rt△CDF中，∠DCF=30°，CD=5.4m，
∴DF = CD·sin30° = 5.4×$\frac{1}{2}$ = 2.7m。
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=2m，
∴DE = AD·cos30° = 2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$ ≈1.732m。
∴EF = DE + DF ≈2.7 + 1.732 ≈4.4m。
【答案】
$\boldsymbol{4.4\ \mathrm{m}}$
【知识点】
锐角三角函数应用，矩形的性质，直角三角形性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的应用，解题关键是通过角的互余关系得到等角，再将所求线段拆分到两个直角三角形中分别计算，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
