1. 一题多变（教材数学理解改编）下列命题：①带根号的数都是无理数；②直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和；③角的两边分别平行的两个角一定相等；④如果点$A(x,y)$在第二象限，那么$xy ＜ 0$. 其中是真命题的有.(填序号)

1. ②④

变式 改为与代数推理结合证明命题
观察下列式子：$1^2 - (-2)^2 = -3$，$2^2 - (-1)^2 = 3$，
$3^2 - 0^2 = 9$，$4^2 - 1^2 = 15$，…，小明猜想“差为3的两个整数的平方差一定能被3整除”，请将小明的猜想改写为“如果…，那么…”的形式，并证明小明的猜想是否正确。

解:小明的猜想改写为“如果两个整数的差为3,那么这两个整数的平方差一定能被3整除”.
小明的猜想正确,证明如下:
设差为3的两个整数分别为$n,n-3$,
则$n^2-(n-3)^2=[n+(n-3)][n-(n-3)]=(n+n-3)(n-n+3)=3(2n-3)$,
因为$n$是整数,所以$2n-3$也是整数,
所以差为3的两个整数的平方差一定能被3整除.

2. (2025 河南郑州经开实验中学期末)如图,有以下五个条件:①$∠ B+∠ BCD=180°$;②$∠ B+∠ BAD=180°$;③$∠ 3=∠ 4$;④$∠ B=∠ 5$. ⑤$∠ 1=∠ 2$,其中能判定$AB// CD$的个数是 ()

A.2
B.3
C.4
D.5

2. B

3. 趋势情境（跨学科）一个木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力$ G $的方向竖直向下，支持力$ F $的方向与斜面垂直，摩擦力$ f $的方向与斜面平行，若斜面的坡角$ α $的度数为$ 40° $，则支持力$ F $与重力$ G $方向的夹角$ β $的度数为。

3. $140°$

4. (2025陕西西安高新一中实验中学阶段练)如图，在△ABC中，点D,F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，连接AD，∠1=∠B，∠2+∠3=180°。
(1)求证：EH//AD；
(2)若∠DGC=58°，且∠H−∠4=10°，求∠H的度数。

4. (1)证明:因为$∠1=∠B$,
所以$AB//GD$(同位角相等,两直线平行),
所以$∠2=∠BAD$(两直线平行,内错角相等),
因为$∠2+∠3=180°$,
所以$∠BAD+∠3=180°$,
所以$EH//AD$;
(2)解:因为$EH//AD$(由(1)知),
所以$∠2=∠H$(两直线平行,同位角相等).
因为$∠2=∠BAD$,
所以$∠H=∠BAD$(等量代换),
所以$∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=∠DGC=58°$.
因为$∠H-∠4=10°$,
所以$2∠4+10°=58°$,
所以$∠4=24°$,
所以$∠H=58°-∠4=34°$.

5. 一题多解法 如图，AB//CD，点M，N分别是AB，CD上的点，点G在AB，CD之间，连接MG，NG.
(1) 如图①，已知∠MGN = 80°，求∠AMG + ∠CNG的度数；
(2) 如图②，点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，若∠BMG = 40°，求∠MGN+∠MPN的度数.

5. 一题多解法
(1)如解图①,过点G作$EG//AB$,因为$AB//CD$,
所以$AB//CD//EG$,
所以$∠1+∠AMG=180°,∠2+∠GNC=180°$,
所以$∠MGN=∠1+∠2=180°-∠AMG+180°-∠GNC=80°$,
所以$∠AMG+∠GNC=180°+180°-80°=280°$;

第5题解图①
(2)解法一:如解图②,过点G作$GF//AB$,过点P作$PQ//AB$,
设$∠GND=α$.
因为$GF//AB,AB//CD$,
所以$GF//CD$,
所以$∠FGN=∠GND=α$.
因为$GF//AB,∠BMG=40°$,
所以$∠MGF=∠BMG=40°$.
因为MG平分$∠BMP$,
所以$∠GMP=∠BMG=40°$,
所以$∠BMP=80°$.
因为$PQ//AB$,
所以$∠MPQ=∠BMP=80°$.
因为ND平分$∠GNP$,
所以$∠DNP=∠GND=α$.
因为$AB//CD,PQ//AB$,
所以$PQ//CD$,
所以$∠QPN=∠DNP=α$,
所以$∠MGN=40°+α,∠MPN=80°-α$,
所以$∠MGN+∠MPN=40°+α+80°-α=120°$;

第5题解图②
解法二:如解图③,延长MG,交CD于点O.设MP与ND交于点E.
因为MG平分$∠BMP,∠BMG=40°$,
所以$∠BMP=80°$.
因为$AB//CD$,
所以$∠GON=∠BMG=40°,∠MED=180°-∠BMP=100°$,
所以$∠NEP=∠MED=100°$.
令$∠PND=α$,
所以$∠MPN=180°-∠NEP-∠ENP=80°-α$,
因为ND平分$∠GNP$,
所以$∠GNO=α$,
所以$∠MGN=∠GON+∠GNO=40°+α$,
所以$∠MPN+∠MGN=80°-α+40°+α=120°$.

第5题解图③