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10 [2026 杭州滨江期中]计算 
+ $\underbrace{2×2×···×2}_{m个2}$ 的结果为（
A.$3n + 2^m$
B.$n^3 + 2m$
C.$3^n + 2m$
D.$3n + m^2$
+ $\underbrace{2×2×···×2}_{m个2}$ 的结果为（A
）A.$3n + 2^m$
B.$n^3 + 2m$
C.$3^n + 2m$
D.$3n + m^2$
答案
10. A
解析
【分析】
解题时需分别处理两个运算部分：首先回忆乘法的意义，n个相同加数相加可以转化为乘法计算；再回忆乘方的定义，m个相同因数相乘可以转化为乘方表示；最后将两部分的化简结果相加，对应选项匹配即可得到答案。
【解析】
1. 计算n个3相加的和：根据乘法的意义，求几个相同加数的和可以用乘法简便运算，因此n个3相加的结果为$3 × n = 3n$；
2. 计算m个2相乘的积：根据乘方的定义，求几个相同因数的积可以用乘方表示，因此m个2相乘的结果为$2^m$；
3. 将两部分结果相加，得到总结果为$3n + 2^m$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘法的意义，乘方的定义
【点评】
本题重点考查对乘法和乘方概念的区分，要注意：相同加数求和用乘法，相同因数求积用乘方，清晰区分两种运算的适用场景和表示形式即可轻松解题。
【难度系数】
0.85
解题时需分别处理两个运算部分：首先回忆乘法的意义，n个相同加数相加可以转化为乘法计算；再回忆乘方的定义，m个相同因数相乘可以转化为乘方表示；最后将两部分的化简结果相加，对应选项匹配即可得到答案。
【解析】
1. 计算n个3相加的和：根据乘法的意义，求几个相同加数的和可以用乘法简便运算，因此n个3相加的结果为$3 × n = 3n$；
2. 计算m个2相乘的积：根据乘方的定义，求几个相同因数的积可以用乘方表示，因此m个2相乘的结果为$2^m$；
3. 将两部分结果相加，得到总结果为$3n + 2^m$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘法的意义，乘方的定义
【点评】
本题重点考查对乘法和乘方概念的区分，要注意：相同加数求和用乘法，相同因数求积用乘方，清晰区分两种运算的适用场景和表示形式即可轻松解题。
【难度系数】
0.85
11 [2026杭州段测]如图所示为一个有理数混合运算的程序流程图，当输入的数为－2，输出的结果是（
A.1
B.2
C.$\frac{7}{4}$
D.$\frac{9}{4}$
C
）A.1
B.2
C.$\frac{7}{4}$
D.$\frac{9}{4}$
答案
11. C
解析
【分析】
首先明确流程图的运算规则：输入x后，依次进行“平方→减8→乘$(\frac{1}{4}-\frac{1}{2})$”的运算，再判断运算结果是否大于1，若大于1则直接输出，若不大于1则将该结果作为新的x重新代入运算，直到结果满足大于1的条件再输出。解题时先代入初始值$x=-2$计算第一次结果，再根据判断结果决定是否需要循环代入计算即可。
【解析】
第一步：输入初始值$x=-2$，按运算顺序计算：
① 计算平方：$(-2)^2=4$
② 减8：$4-8=-4$
③ 计算括号内的值：$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{2}{4}=-\frac{1}{4}$
④ 相乘：$-4×(-\frac{1}{4})=1$
判断：1不大于1，不符合输出条件，将1作为新的x代入运算。
第二步：输入$x=1$，按运算顺序计算：
① 计算平方：$1^2=1$
② 减8：$1-8=-7$
③ 乘$-\frac{1}{4}$：$-7×(-\frac{1}{4})=\frac{7}{4}$
判断：$\frac{7}{4}＞1$，符合输出条件，输出结果为$\frac{7}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算，程序框图计算
【点评】
本题解题的关键是读懂流程图的运算逻辑，严格按照运算顺序计算，同时要注意判断结果是否满足输出要求，若不满足需要循环代入，不能仅计算第一次结果就直接输出。
【难度系数】
0.7
首先明确流程图的运算规则：输入x后，依次进行“平方→减8→乘$(\frac{1}{4}-\frac{1}{2})$”的运算，再判断运算结果是否大于1，若大于1则直接输出，若不大于1则将该结果作为新的x重新代入运算，直到结果满足大于1的条件再输出。解题时先代入初始值$x=-2$计算第一次结果，再根据判断结果决定是否需要循环代入计算即可。
【解析】
第一步：输入初始值$x=-2$，按运算顺序计算：
① 计算平方：$(-2)^2=4$
② 减8：$4-8=-4$
③ 计算括号内的值：$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{2}{4}=-\frac{1}{4}$
④ 相乘：$-4×(-\frac{1}{4})=1$
判断：1不大于1，不符合输出条件，将1作为新的x代入运算。
第二步：输入$x=1$，按运算顺序计算：
① 计算平方：$1^2=1$
② 减8：$1-8=-7$
③ 乘$-\frac{1}{4}$：$-7×(-\frac{1}{4})=\frac{7}{4}$
判断：$\frac{7}{4}＞1$，符合输出条件，输出结果为$\frac{7}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算，程序框图计算
【点评】
本题解题的关键是读懂流程图的运算逻辑，严格按照运算顺序计算，同时要注意判断结果是否满足输出要求，若不满足需要循环代入，不能仅计算第一次结果就直接输出。
【难度系数】
0.7
12 阅读下面的解题过程：
计算：$(-1)^3 ÷ ( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} - \frac{1}{4} ) × (-12)$。
解：原式$= (-1) ÷ [ \frac{1}{3} × (-12) - \frac{3}{2} × (-12) - \frac{1}{4} × (-12) ]$（第一步）
$= (-1) ÷ (-4 + 18 + 3)$（第二步）
$= (-1) ÷ 17$（第三步）
$= -\frac{1}{17}$（第四步）
（1）上面的解题过程中，最先出现错误的一步是第
（2）请你写出正确的解题过程。
计算：$(-1)^3 ÷ ( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} - \frac{1}{4} ) × (-12)$。
解：原式$= (-1) ÷ [ \frac{1}{3} × (-12) - \frac{3}{2} × (-12) - \frac{1}{4} × (-12) ]$（第一步）
$= (-1) ÷ (-4 + 18 + 3)$（第二步）
$= (-1) ÷ 17$（第三步）
$= -\frac{1}{17}$（第四步）
（1）上面的解题过程中，最先出现错误的一步是第
一
步，错误的原因是运算顺序错误
；（2）请你写出正确的解题过程。
答案
12. (1) 一 运算顺序错误 (2) 原式$=(-1)÷(\frac{4}{12}-\frac{18}{12}-\frac{3}{12})×(-12)=(-1)÷(-\frac{17}{12})×(-12)=(-1)×(-\frac{12}{17})×(-12)=-\frac{144}{17}$
解析
【分析】
对于（1），首先回忆有理数混合运算规则：乘除属于同级运算，需按照从左到右的顺序依次计算，有括号时优先计算括号内的内容。观察原解题过程的第一步，错误地先将后面的$(-12)$与括号内的数相乘，违背了运算顺序，因此最先出错的是第一步。对于（2），正确解题思路为：先计算乘方，再通分计算括号内的分数减法，最后按从左到右的顺序依次计算除法和乘法即可。
【解析】
（1）原解题第一步将后两位的乘法运算提前计算，不符合同级运算从左到右的运算顺序，因此最先出现错误的是第一步，错误原因是运算顺序错误。
（2）正确解题过程：
先计算乘方：$(-1)^3=-1$
再通分计算括号内的分数减法：
$\frac{1}{3}-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{18}{12}-\frac{3}{12}=-\frac{17}{12}$
按从左到右顺序计算乘除：
原式$=(-1)÷(-\frac{17}{12})×(-12)$
$=(-1)×(-\frac{12}{17})×(-12)$
$=\frac{12}{17}×(-12)$
$=-\frac{144}{17}$
【答案】
(1) 一 运算顺序错误 (2) 原式$=(-1)÷(\frac{4}{12}-\frac{18}{12}-\frac{3}{12})×(-12)=(-1)÷(-\frac{17}{12})×(-12)=(-1)×(-\frac{12}{17})×(-12)=-\frac{144}{17}$
【知识点】
1. 有理数混合运算顺序 2. 有理数乘除运算 3. 分数通分计算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则，需牢记同级运算从左到右依次计算、有括号优先算括号内的要求，不能为了追求简便随意调换运算顺序，计算分数加减时要先通分再运算，乘除运算时注意符号的判断。
【难度系数】
0.7
对于（1），首先回忆有理数混合运算规则：乘除属于同级运算，需按照从左到右的顺序依次计算，有括号时优先计算括号内的内容。观察原解题过程的第一步，错误地先将后面的$(-12)$与括号内的数相乘，违背了运算顺序，因此最先出错的是第一步。对于（2），正确解题思路为：先计算乘方，再通分计算括号内的分数减法，最后按从左到右的顺序依次计算除法和乘法即可。
【解析】
（1）原解题第一步将后两位的乘法运算提前计算，不符合同级运算从左到右的运算顺序，因此最先出现错误的是第一步，错误原因是运算顺序错误。
（2）正确解题过程：
先计算乘方：$(-1)^3=-1$
再通分计算括号内的分数减法：
$\frac{1}{3}-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{18}{12}-\frac{3}{12}=-\frac{17}{12}$
按从左到右顺序计算乘除：
原式$=(-1)÷(-\frac{17}{12})×(-12)$
$=(-1)×(-\frac{12}{17})×(-12)$
$=\frac{12}{17}×(-12)$
$=-\frac{144}{17}$
【答案】
(1) 一 运算顺序错误 (2) 原式$=(-1)÷(\frac{4}{12}-\frac{18}{12}-\frac{3}{12})×(-12)=(-1)÷(-\frac{17}{12})×(-12)=(-1)×(-\frac{12}{17})×(-12)=-\frac{144}{17}$
【知识点】
1. 有理数混合运算顺序 2. 有理数乘除运算 3. 分数通分计算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则，需牢记同级运算从左到右依次计算、有括号优先算括号内的要求，不能为了追求简便随意调换运算顺序，计算分数加减时要先通分再运算，乘除运算时注意符号的判断。
【难度系数】
0.7
13 教材P66作业题T5变式 计算：
$[-2^{4}÷(-\dfrac{8}{3})^{2}+\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})-\dfrac{1}{4}]÷\dfrac{1}{12}$
$[-2^{4}÷(-\dfrac{8}{3})^{2}+\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})-\dfrac{1}{4}]÷\dfrac{1}{12}$
答案
13. $-41$
解析
【分析】
本题是有理数混合运算题，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序。观察到原式最后除以$\frac{1}{12}$可转化为乘12，优先用乘法分配律展开计算，能避免通分，简化运算。第一步先算括号内的乘方项，注意$-2^4$是$2^4$的相反数，$(-\frac{8}{3})^2$结果为正；第二步计算括号内的乘除运算，再将括号内各项分别乘12，最后做加减运算即可得到结果。
【解析】
解：原式$=[-2^4÷(-\dfrac{8}{3})^2+\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})-\dfrac{1}{4}]×12$
先计算乘方：$2^4=16$，$(-\dfrac{8}{3})^2=\dfrac{64}{9}$，代入得：
$=[-16÷\dfrac{64}{9}+\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})-\dfrac{1}{4}]×12$
计算括号内的乘除运算：$-16÷\dfrac{64}{9}=-16×\dfrac{9}{64}=-\dfrac{9}{4}$，$\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})=-\dfrac{11}{12}$，代入得：
$=[-\dfrac{9}{4}-\dfrac{11}{12}-\dfrac{1}{4}]×12$
根据乘法分配律展开计算：
$=-\dfrac{9}{4}×12-\dfrac{11}{12}×12-\dfrac{1}{4}×12$
$=-27-11-3$
$=-41$
【答案】
$-41$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，乘法分配律
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算规则，解题时要注意区分$-2^4$和$(-2)^4$的符号差异，合理运用乘法分配律可简化计算过程，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
本题是有理数混合运算题，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序。观察到原式最后除以$\frac{1}{12}$可转化为乘12，优先用乘法分配律展开计算，能避免通分，简化运算。第一步先算括号内的乘方项，注意$-2^4$是$2^4$的相反数，$(-\frac{8}{3})^2$结果为正；第二步计算括号内的乘除运算，再将括号内各项分别乘12，最后做加减运算即可得到结果。
【解析】
解：原式$=[-2^4÷(-\dfrac{8}{3})^2+\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})-\dfrac{1}{4}]×12$
先计算乘方：$2^4=16$，$(-\dfrac{8}{3})^2=\dfrac{64}{9}$，代入得：
$=[-16÷\dfrac{64}{9}+\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})-\dfrac{1}{4}]×12$
计算括号内的乘除运算：$-16÷\dfrac{64}{9}=-16×\dfrac{9}{64}=-\dfrac{9}{4}$，$\dfrac{11}{2}×(-\dfrac{1}{6})=-\dfrac{11}{12}$，代入得：
$=[-\dfrac{9}{4}-\dfrac{11}{12}-\dfrac{1}{4}]×12$
根据乘法分配律展开计算：
$=-\dfrac{9}{4}×12-\dfrac{11}{12}×12-\dfrac{1}{4}×12$
$=-27-11-3$
$=-41$
【答案】
$-41$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，乘法分配律
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算规则，解题时要注意区分$-2^4$和$(-2)^4$的符号差异，合理运用乘法分配律可简化计算过程，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
14 新情境 游戏活动 教材 P66 作业题 T6 变式 “24点”游戏规则如下:在一副扑克牌(去掉大、小王)中取出四张,根据牌面上的数进行混合运算(每张牌限用一次),使结果为24或-24,其中红色牌代表负数,黑色牌代表正数,A,J,Q,K分别代表1,11,12,13.例如黑A、黑2、黑3和红2,可进行如下运算:$2^3 × (-2-1)=-24$或$2^3 × [1-(-2)]=24$.
(1)现有四张牌为黑3、黑4、黑10和红6,运用上述规则写出三个不同的算式,使其结果为24或-24,则算式为①
(2)若四张牌为黑Q、黑3、黑4和红3,则应如何运算(写出一个算式即可)?
(3)若四张牌为黑A、红2、黑2和黑3,则应如何运算(写出一个算式即可)?
(1)现有四张牌为黑3、黑4、黑10和红6,运用上述规则写出三个不同的算式,使其结果为24或-24,则算式为①
$3×(-6+4+10)=24$
;② $(-6÷3)×10-4=-24$
;③ $(-6)×3-10+4=-24$
.(2)若四张牌为黑Q、黑3、黑4和红3,则应如何运算(写出一个算式即可)?
(3)若四张牌为黑A、红2、黑2和黑3,则应如何运算(写出一个算式即可)?
答案
14. 答案不唯一,如(1) ① $3×(-6+4+10)=24$ ② $(-6÷3)×10-4=-24$ ③ $(-6)×3-10+4=-24$ (2) $(-3)^3+12÷4=-24$ (3) $3×2^{1-(-2)}=24$
解析
【分析】
解这类“24点”问题的思路为：第一步先明确每张牌对应的数值与符号，黑色牌代表正数，红色牌代表负数，字母牌按规则转换为对应数值；第二步结合有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内内容），采用凑数法，比如凑出乘积为±24的组合、用加减或乘方组合得到目标值，注意每张牌仅可使用一次，多尝试不同运算组合即可得到符合要求的算式。
【解析】
首先转换各牌的对应数值：
(1) 黑3=+3，黑4=+4，黑10=+10，红6=-6，可构造如下算式：
① 先计算括号内的和：$-6+4+10=8$，再计算乘法：$3×8=24$，可得算式$3×(-6+4+10)=24$；
② 先计算除法：$(-6)÷3=-2$，再计算乘法：$-2×10=-20$，最后计算减法：$-20-4=-24$，可得算式$(-6÷3)×10-4=-24$；
③ 先计算乘法：$(-6)×3=-18$，再依次计算加减：$-18-10+4=-24$，可得算式$(-6)×3-10+4=-24$。
(2) 黑Q=+12，黑3=+3，黑4=+4，红3=-3，先计算乘方：$(-3)^3=-27$，再计算除法：$12÷4=3$，最后计算加法：$-27+3=-24$，可得算式$(-3)^3+12÷4=-24$。
(3) 黑A=+1，红2=-2，黑2=+2，黑3=+3，先计算指数部分：$1-(-2)=3$，再计算乘方：$2^3=8$，最后计算乘法：$3×8=24$，可得算式$3×2^{1-(-2)}=24$。
（以上算式均不唯一，符合规则即可）
【答案】
(1) ① $3×(-6+4+10)=24$ ② $(-6÷3)×10-4=-24$ ③ $(-6)×3-10+4=-24$（答案不唯一）
(2) $(-3)^3+12÷4=-24$（答案不唯一）
(3) $3×2^{1-(-2)}=24$（答案不唯一）
【知识点】
有理数混合运算，有理数符号运算，乘方运算
【点评】
本题以趣味游戏为载体，考查对有理数混合运算法则的灵活运用能力，题目开放性较强，需要在遵守运算规则的前提下发散思维，多尝试不同的运算组合，能有效提升运算熟练度和思维灵活性。
【难度系数】
0.7
解这类“24点”问题的思路为：第一步先明确每张牌对应的数值与符号，黑色牌代表正数，红色牌代表负数，字母牌按规则转换为对应数值；第二步结合有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内内容），采用凑数法，比如凑出乘积为±24的组合、用加减或乘方组合得到目标值，注意每张牌仅可使用一次，多尝试不同运算组合即可得到符合要求的算式。
【解析】
首先转换各牌的对应数值：
(1) 黑3=+3，黑4=+4，黑10=+10，红6=-6，可构造如下算式：
① 先计算括号内的和：$-6+4+10=8$，再计算乘法：$3×8=24$，可得算式$3×(-6+4+10)=24$；
② 先计算除法：$(-6)÷3=-2$，再计算乘法：$-2×10=-20$，最后计算减法：$-20-4=-24$，可得算式$(-6÷3)×10-4=-24$；
③ 先计算乘法：$(-6)×3=-18$，再依次计算加减：$-18-10+4=-24$，可得算式$(-6)×3-10+4=-24$。
(2) 黑Q=+12，黑3=+3，黑4=+4，红3=-3，先计算乘方：$(-3)^3=-27$，再计算除法：$12÷4=3$，最后计算加法：$-27+3=-24$，可得算式$(-3)^3+12÷4=-24$。
(3) 黑A=+1，红2=-2，黑2=+2，黑3=+3，先计算指数部分：$1-(-2)=3$，再计算乘方：$2^3=8$，最后计算乘法：$3×8=24$，可得算式$3×2^{1-(-2)}=24$。
（以上算式均不唯一，符合规则即可）
【答案】
(1) ① $3×(-6+4+10)=24$ ② $(-6÷3)×10-4=-24$ ③ $(-6)×3-10+4=-24$（答案不唯一）
(2) $(-3)^3+12÷4=-24$（答案不唯一）
(3) $3×2^{1-(-2)}=24$（答案不唯一）
【知识点】
有理数混合运算，有理数符号运算，乘方运算
【点评】
本题以趣味游戏为载体，考查对有理数混合运算法则的灵活运用能力，题目开放性较强，需要在遵守运算规则的前提下发散思维，多尝试不同的运算组合，能有效提升运算熟练度和思维灵活性。
【难度系数】
0.7
