将军怎样走才能使总路程最短
活动
日常生活中经常会遇到最短路径问题,从数学的角度看,这类问题抽象为几何问题后,常常是求线段和的最小值问题.在前面的学习中,我们知道,"两点之间,线段最短""连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短"等,下面我们从古诗词中设计出数学问题进行探究.
任务
唐诗《古从军行》中"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河",隐含了一个有趣的数学问题——"将军怎样走才能使总路程最短"? 如图,在平面直角坐标系中,将军从$A(4,0)$出发,先到山脉$m$的任意位置望烽火,再到河岸$n$的任意位置饮马后返回到$A$点,且直线$m$与直线$n$的夹角为$30°$,请你设计出将军的行走路线,并计算将军所走的最短总路程.

附:任务报告参考
任务:将军怎样走才能使总路程最短
年级班组 报告时间:

1.小组成员与分工
2.任务的意义

1. 开放性试题答案略
2. 开放性试题答案略
3. 开放性试题答案略
4. 开放性试题答案略
5. 开放性试题答案略
6. 开放性试题答案略
7. 开放性试题答案略

【分析】
本题是典型的双动点最短路径问题，要求从点A出发，依次到直线m、直线n上各一点后返回A的总路程最短，本质是求三条线段和的最小值。解题思路如下：第一步，利用轴对称的性质，分别作点A关于两条直线的对称点，将两条折线段AP、QA转化为与对称点相关的等长线段；第二步，根据“两点之间线段最短”，连接两个对称点，与两条直线的交点就是路径上的最优点位，此时三条线段的和恰好等于两个对称点之间的线段长度，为最小值；第三步，结合已知的两直线夹角和A点坐标，利用对称得到的边、角关系，计算最短总路程。
【解析】
行走路线设计：
1. 分别作点$A(4,0)$关于直线$m$的对称点$A_1$，关于直线$n$的对称点$A_2$；
2. 连接$A_1A_2$，交直线$m$于点$P$，交直线$n$于点$Q$；
3. 将军的行走路线为$\boldsymbol{A\to P\to Q\to A}$，此时总路程最短。
最短总路程计算：
设直线$m$与直线$n$的交点为$O$，
由轴对称的性质可得：$AP=A_1P$，$QA=QA_2$，$OA_1=OA=OA_2=4$（$A$坐标为$(4,0)$，故$OA=4$），
且$∠ A_1Om=∠ AOm$，$∠ A_2On=∠ AOn$。
已知直线$m$、$n$的夹角为$30°$，即$∠ mOn=30°$，
因此$∠ A_1OA_2=∠ A_1Om+∠ mOn+∠ A_2On=∠ AOm+30°+∠ AOn=2×30°=60°$。
在$△ A_1OA_2$中，$OA_1=OA_2=4$，$∠ A_1OA_2=60°$，故$△ A_1OA_2$为等边三角形，
因此$A_1A_2=OA_1=4$。
总路程$=AP+PQ+QA=A_1P+PQ+QA_2=A_1A_2=4$。
（注：任务报告中小组成员分工、任务意义等开放性内容根据实际情况填写即可）
【答案】
行走路线为：作点A关于直线m的对称点$A_1$、关于直线n的对称点$A_2$，连接$A_1A_2$分别交直线m于P、交直线n于Q，沿$A\to P\to Q\to A$行走总路程最短，最短总路程为4；任务报告其余开放性内容略。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题结合古诗词背景考查最短路径的实际应用，将生活中的行程问题转化为几何最值问题，需要熟练运用轴对称转化折线段的方法，结合特殊三角形的性质求解，兼具趣味性和实用性，能锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.6