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6. 根据下列表格中二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的自变量$x$与函数值$y$的对应值，判断方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)$的一个解$x$的范围是 （
A.$6＜x＜6.17$
B.$6.17＜x＜6.18$
C.$6.18＜x＜6.19$
D.$6.19＜x＜6.20$
C
）A.$6＜x＜6.17$
B.$6.17＜x＜6.18$
C.$6.18＜x＜6.19$
D.$6.19＜x＜6.20$
答案
6.C
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确该方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的自变量$x$的值。二次函数的图象是连续的曲线，当函数值从负变为正（或从正变为负）时，中间必然经过$y=0$的位置，对应的$x$就是方程的解，因此只需找到相邻两个$x$对应的$y$值一正一负的区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值。
观察表格数据：
当$x=6.18$时，$y=-0.01＜0$；
当$x=6.19$时，$y=0.02＞0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$6.18＜x＜6.19$的范围内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解在该区间内。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题解题核心是理解二次函数与对应一元二次方程的联系，利用函数值的正负变化确定方程解所在的区间，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
要判断方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确该方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的自变量$x$的值。二次函数的图象是连续的曲线，当函数值从负变为正（或从正变为负）时，中间必然经过$y=0$的位置，对应的$x$就是方程的解，因此只需找到相邻两个$x$对应的$y$值一正一负的区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值。
观察表格数据：
当$x=6.18$时，$y=-0.01＜0$；
当$x=6.19$时，$y=0.02＞0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$6.18＜x＜6.19$的范围内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解在该区间内。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题解题核心是理解二次函数与对应一元二次方程的联系，利用函数值的正负变化确定方程解所在的区间，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
7.如图,二次函数$y_1=ax^2+bx+3$的图象与x轴相交于点A(-3,0),B(-1,0),与y轴相交于点C.
(1)求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标.
(2)若一次函数$y_2=kx+3$的图象经过二次函数图象的顶点,请根据图象直接写出当$y_1＞y_2$时,x的取值范围.
(1)求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标.
(2)若一次函数$y_2=kx+3$的图象经过二次函数图象的顶点,请根据图象直接写出当$y_1＞y_2$时,x的取值范围.
答案
7.(1)$y_1=x^2+4x+3$,其图象的顶点坐标为$(-2,-1)$
(2)$x＜-2$或$x＞0$
(2)$x＜-2$或$x＞0$
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象经过x轴上A、B两点，且解析式常数项已知，可使用待定系数法，将A、B两点坐标代入解析式得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b即可确定函数表达式；再通过配方法即可求出图象的顶点坐标。
(2) 先将顶点坐标代入一次函数解析式求出k的值，再联立两个函数解析式求出交点坐标，结合二次函数开口向上的图象性质，即可判断出$y_1＞y_2$时x的取值范围。
【解析】
(1) 将$A(-3,0)$、$B(-1,0)$代入$y_1=ax^2+bx+3$，可得方程组：
$\begin{cases}9a-3b+3=0 \\ a-b+3=0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}3a-b=-1 ① \\ a-b=-3 ② \end{cases}$
用①$-$②得：$2a=2$，解得$a=1$，
将$a=1$代入②得：$1-b=-3$，解得$b=4$，
因此二次函数的表达式为$y_1=x^2+4x+3$。
对表达式配方可得：$y_1=x^2+4x+3=(x+2)^2-1$，
因此其图象的顶点坐标为$(-2,-1)$。
(2) 将顶点$(-2,-1)$代入$y_2=kx+3$，得：
$-2k+3=-1$，解得$k=2$，即$y_2=2x+3$。
联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=x^2+4x+3 \\ y=2x+3 \end{cases}$
整理得$x^2+2x=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=0$，即两个函数的交点为$(-2,-1)$和$(0,3)$。
因为二次函数$y_1$开口向上，结合图象可得，当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$x＜-2$或$x＞0$。
【答案】
(1)$y_1=x^2+4x+3$，其图象的顶点坐标为$(-2,-1)$
(2)$x＜-2$或$x＞0$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点坐标，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合图象求解不等式范围更直观，渗透了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.8
(1) 已知二次函数图象经过x轴上A、B两点，且解析式常数项已知，可使用待定系数法，将A、B两点坐标代入解析式得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b即可确定函数表达式；再通过配方法即可求出图象的顶点坐标。
(2) 先将顶点坐标代入一次函数解析式求出k的值，再联立两个函数解析式求出交点坐标，结合二次函数开口向上的图象性质，即可判断出$y_1＞y_2$时x的取值范围。
【解析】
(1) 将$A(-3,0)$、$B(-1,0)$代入$y_1=ax^2+bx+3$，可得方程组：
$\begin{cases}9a-3b+3=0 \\ a-b+3=0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}3a-b=-1 ① \\ a-b=-3 ② \end{cases}$
用①$-$②得：$2a=2$，解得$a=1$，
将$a=1$代入②得：$1-b=-3$，解得$b=4$，
因此二次函数的表达式为$y_1=x^2+4x+3$。
对表达式配方可得：$y_1=x^2+4x+3=(x+2)^2-1$，
因此其图象的顶点坐标为$(-2,-1)$。
(2) 将顶点$(-2,-1)$代入$y_2=kx+3$，得：
$-2k+3=-1$，解得$k=2$，即$y_2=2x+3$。
联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=x^2+4x+3 \\ y=2x+3 \end{cases}$
整理得$x^2+2x=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=0$，即两个函数的交点为$(-2,-1)$和$(0,3)$。
因为二次函数$y_1$开口向上，结合图象可得，当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$x＜-2$或$x＞0$。
【答案】
(1)$y_1=x^2+4x+3$，其图象的顶点坐标为$(-2,-1)$
(2)$x＜-2$或$x＞0$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点坐标，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合图象求解不等式范围更直观，渗透了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.8
8. 小慈为探索函数 $y=\sqrt{x^2 - 2x + 4}$ 的图形性质，通过以下过程画出图象.
(1)列表:请将以下表格中的空白处填写完整.
(2)将表中已知的点描在平面直角坐标系中,并用光滑的曲线画出函数图象.
▲(3)从图象可知,图象上纵坐标是横坐标3倍的点的横坐标 $x$ 应符合的条件是（
A. $0＜x＜0.5$
B. $0.5＜x＜1$
C. $1＜x＜1.5$
D. $1.5＜x＜2$
(1)列表:请将以下表格中的空白处填写完整.
(2)将表中已知的点描在平面直角坐标系中,并用光滑的曲线画出函数图象.
▲(3)从图象可知,图象上纵坐标是横坐标3倍的点的横坐标 $x$ 应符合的条件是（
B
）A. $0＜x＜0.5$
B. $0.5＜x＜1$
C. $1＜x＜1.5$
D. $1.5＜x＜2$
答案
8.(1)2 2
(2)略
(3)B
(2)略
(3)B
解析
【分析】
(1) 第(1)问求函数值，只需将给定的x值代入函数解析式，先计算根号内整式的值，再求算术平方根即可得到对应的y值。
(2) 第(2)问画函数图象，遵循函数图象绘制的基本步骤：先根据列表所得的坐标在平面直角坐标系中描点，再用光滑的曲线顺次连接各点即可。
(3) 第(3)问，首先根据“纵坐标是横坐标的3倍”列出等量关系y=3x，将其与原函数解析式联立得到含根号的方程，利用二次根式的非负性确定x的取值范围后，两边平方转化为一元二次方程，用求根公式求出正根，再估算无理数的大小即可判断根所在的区间，选出正确选项。
【解析】
(1) 对于函数$y=\sqrt{x^2 - 2x + 4}$：
当$x=0$时，$y=\sqrt{0^2-2×0+4}=\sqrt{4}=2$；
当$x=2$时，$y=\sqrt{2^2-2×2+4}=\sqrt{4}=2$；
故空白处依次填2、2。
(2) 先在平面直角坐标系中描出表中各对应坐标的点，再用光滑的曲线从左到右顺次连接各点，即可得到函数图象，此处作图略。
(3) 由题意得：纵坐标是横坐标的3倍，即$y=3x$，
联立方程得$\sqrt{x^2 - 2x + 4}=3x$，
根据二次根式的非负性可知$3x≥0$，即$x≥0$，
两边同时平方得：$x^2-2x+4=9x^2$，
整理化简得：$4x^2+x-2=0$，
由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a=4,b=1,c=-2$得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2+4×4×2}}{2×4}=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{8}$，
结合$x≥0$，取正根$x=\frac{\sqrt{33}-1}{8}$，
$\because 5＜\sqrt{33}＜6$，
$\therefore \frac{5-1}{8}＜\frac{\sqrt{33}-1}{8}＜\frac{6-1}{8}$，即$0.5＜x＜0.625$，
该区间属于$0.5＜x＜1$，故选B。
【答案】
(1) 2，2；(2) 略；(3) B
【知识点】
二次根式求值，一元二次方程解法，函数与方程关系
【点评】
本题结合新函数探究，考查了函数图象的画法、一元二次方程的求解及无理数估算，解题时要注意平方去根号时需保证两边非负，避免产生增根。
【难度系数】
0.65
(1) 第(1)问求函数值，只需将给定的x值代入函数解析式，先计算根号内整式的值，再求算术平方根即可得到对应的y值。
(2) 第(2)问画函数图象，遵循函数图象绘制的基本步骤：先根据列表所得的坐标在平面直角坐标系中描点，再用光滑的曲线顺次连接各点即可。
(3) 第(3)问，首先根据“纵坐标是横坐标的3倍”列出等量关系y=3x，将其与原函数解析式联立得到含根号的方程，利用二次根式的非负性确定x的取值范围后，两边平方转化为一元二次方程，用求根公式求出正根，再估算无理数的大小即可判断根所在的区间，选出正确选项。
【解析】
(1) 对于函数$y=\sqrt{x^2 - 2x + 4}$：
当$x=0$时，$y=\sqrt{0^2-2×0+4}=\sqrt{4}=2$；
当$x=2$时，$y=\sqrt{2^2-2×2+4}=\sqrt{4}=2$；
故空白处依次填2、2。
(2) 先在平面直角坐标系中描出表中各对应坐标的点，再用光滑的曲线从左到右顺次连接各点，即可得到函数图象，此处作图略。
(3) 由题意得：纵坐标是横坐标的3倍，即$y=3x$，
联立方程得$\sqrt{x^2 - 2x + 4}=3x$，
根据二次根式的非负性可知$3x≥0$，即$x≥0$，
两边同时平方得：$x^2-2x+4=9x^2$，
整理化简得：$4x^2+x-2=0$，
由一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a=4,b=1,c=-2$得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2+4×4×2}}{2×4}=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{8}$，
结合$x≥0$，取正根$x=\frac{\sqrt{33}-1}{8}$，
$\because 5＜\sqrt{33}＜6$，
$\therefore \frac{5-1}{8}＜\frac{\sqrt{33}-1}{8}＜\frac{6-1}{8}$，即$0.5＜x＜0.625$，
该区间属于$0.5＜x＜1$，故选B。
【答案】
(1) 2，2；(2) 略；(3) B
【知识点】
二次根式求值，一元二次方程解法，函数与方程关系
【点评】
本题结合新函数探究，考查了函数图象的画法、一元二次方程的求解及无理数估算，解题时要注意平方去根号时需保证两边非负，避免产生增根。
【难度系数】
0.65
