12. 新趋势 数学文化 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积$V$,求其直径$d的一个近似公式d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} V}$. 我们知道球的体积公式为$\frac{4}{3} \pi r^3$,那么利用“开立圆术”求直径相当于体积公式中的$\pi \approx$____.

3.375 解析:由题意,将 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ 代入 $d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9}V}$ 得 $d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} \times \frac{4}{3}\pi r^3}, d \approx \sqrt[3]{\frac{64}{27}\pi r^3}$, 即 $(2r)^3 \approx \frac{64}{27}\pi r^3, \pi \approx \frac{27}{8} = 3.375$.

13. (2024·庆阳期中)对于结论:当$a + b = 0$时,$a^3 + b^3 = 0$也成立. 若将$a看成a^3$的立方根,$b看成b^3$的立方根,由此得出这样的结论:“如果两数的立方根互为相反数,那么这两个数也互为相反数.”
(1)举一个具体的例子来判断上述结论是否成立;
(2)若$\sqrt[3]{8 - y}和\sqrt[3]{2 y - 5}$互为相反数,且$x + 5$的平方根是它本身,求$x + y$的立方根.

(1) 成立. 举例不唯一, 如: $\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{-8} = 0$, 则 8 与 -8 互为相反数.
(2) $\because \sqrt[3]{8 - y}$ 和 $\sqrt[3]{2y - 5}$ 互为相反数, $\therefore \sqrt[3]{8 - y} + \sqrt[3]{2y - 5} = 0, \therefore 8 - y + 2y - 5 = 0$, 解得 $y = -3$. $\because x + 5$ 的平方根是它本身, $\therefore x + 5 = 0, \therefore x = -5, \therefore x + y = -5 - 3 = -8, \therefore x + y$ 的立方根是 -2

14. 已知$\sqrt[3]{128 m}$是一个正整数,求满足条件的最小的正整数$m$的值.

$\because \sqrt[3]{128m} = \sqrt[3]{64 \times 2m} = \sqrt[3]{4^3 \times 2m}$, 且 $\sqrt[3]{128m}$ 是一个正整数, $\therefore 2m$ 是一个正整数的立方, 又所求的正整数 m 最小, $\therefore m = 4$.

15. 在小于1000的非零自然数中,既不是完全平方数(平方根是整数)也不是完全立方数(立方根是整数)的数有 ()

A. 959个
B. 960个
C. 962个
D. 963个

C 解析: $\because 31^2 = 961, 32^2 = 1024, \therefore 31^2 ＜ 1000 ＜ 32^2$. $\therefore$ 在小于 1000 的非零自然数中, 是完全平方数的有 $1^2, 2^2, \cdots, 31^2$, 共 31 个数. $\because 9^3 = 729, 10^3 = 1000, \therefore 9^3 ＜ 1000 = 10^3, \therefore$ 在小于 1000 的非零自然数中, 是完全立方数的有 $1^3, 2^3, \cdots, 9^3$, 共 9 个数. $\because 3^6 = 729, 4^6 = 4096, \therefore 3^6 ＜ 1000 ＜ 4^6, \therefore$ 在小于 1000 的非零自然数中, 既是完全平方数也是完全立方数的有 $1^6, 2^6, 3^6$, 共 3 个数. 因此, 在小于 1000 的非零自然数中, 既不是完全平方数也不是完全立方数的数有 $999 - (31 + 9 - 3) = 962$ (个). 故选 C.

16. (2024·厦门期中)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:求59319的立方根. 华罗庚脱口说出答案,众人十分惊奇,忙问计算的奥妙. 你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?
下面是小超的探究过程,请补充完整:
(1)求$\sqrt[3]{59319}$.
①由$10^3 = 1000, 100^3 = 1000000$,可以确定$\sqrt[3]{59319}$是____位数.
②由59319的个位上的数是9,可以确定$\sqrt[3]{59319}$的个位上的数是____.
③如果划去59319后面的三位319得到数59,而$3^3 = 27, 4^3 = 64$,可以确定$\sqrt[3]{59319}$的十位上的数是____.
由此求得$\sqrt[3]{59319} = $____.
(2)现在换一个数103823,你能按这种方法得出它的立方根吗?

(1) ① 两 ② 9 ③ 3 39
(2) $\because 10^3 = 1000, 100^3 = 1000000$, 而 $1000 ＜ 103823 ＜ 1000000$, $\therefore 10 ＜ \sqrt[3]{103823} ＜ 100, \therefore$ 结果为两位数. 只有 7 的立方的个位上的数是 3, 因此结果的个位上的数是 7. 如果划去 103823 后面的三位 823 得到数 103, 而 $4^3 = 64, 5^3 = 125$, 可以确定 $\sqrt[3]{103823}$ 的十位上的数为 4, $\therefore \sqrt[3]{103823} = 47$.
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