6. 图 1 是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图 2,再分别连接图 2 中间小三角形三边的中点,得到图 3,依次类推.


(1) 当$n= 4$时,$S= $____.
(2) 请按此规律写出用$n表示S$的公式.

(1)13　(2)S=4n−3

7. 如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点(算第一层),第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,依次类推.
(1) 试写出第$n$层所对应的点数.
(2) 试写出$n$层六边形点阵的总点数.
(3) 如果一个六边形点阵共有 169 个点,那么它一共有几层?

(1)第n层上的点数为6(n−1)(n≥2)
　(2)n层六边形点阵的总点数为3n(n−1)+1
　(3)令3n(n−1)+1=169,得n=8.所以它一共有8层.

8. 有一列数,第一个数$x_{1}= 1$,第二个数$x_{2}= 4$,第三个数记为$x_{3}$,以后依次记为$x_{4}$,$x_{5}$,…$$,$x_{n}$,从第二个数开始,每个数是它相邻两个数的和的一半(如$x_{2}= \frac {x_{1}+x_{3}}{2}$).
(1) 求第三、四、五个数,并写出计算过程.
(2) 探索这一列数的规律,猜想第$k个数x_{k}$等于什么($k$是大于 2 的整数),并由此算出$x_{2025}$等于多少?

(1)因为x2=$\frac{x+x3}{2}$,所以x3=2x2−x1=2×4−1=7.同理:x4=10,x5=13.
　(2)猜想得:x=3k−2.所以x2025=3×2025−2=6073.