6. (2025·青羊)如图,已知一次函数 $ y_1 = x + 4 $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{5}{x} $ 的图象交于 $ A(1,n) $,$ B(-5,m) $ 两点,则 $ y_1 ＞ y_2 $ 时 $ x $ 的取值范围是 ()

A. $ -5 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $
B. $ x ＜ -5 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
C. $ -5 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
D. $ -5 ＜ x ＜ 1 $

A

7. (2025·编写)如图,$ A $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上的一点,过点 $ A $ 作 $ AB \perp x $ 轴,垂足为 $ B $. $ C $ 为 $ y $ 轴上的一点,连接 $ AC,BC $. 若 $ \triangle ABC $ 的面积为 4,则 $ k $ 的值是 ()

A. 4
B. -4
C. 8
D. -8

D

8. (2025·武侯)已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象如图所示,现有下列说法：① 常数 $ k ＞ 0 $；② $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而减小；③ 若 $ A $ 为 $ x $ 轴上一点,$ B $ 为反比例函数图象上一点,则 $ S_{\triangle ABO} = \frac{k}{2} $；④ 若点 $ P(m,n) $ 在反比例函数的图象上,则点 $ P(-m,-n) $ 也在该反比例函数的图象上. 其中说法正确的是 ()

A. ①②③
B. ③④
C. ①④
D. ②③④

C

9. (2022·德阳)如图,一次函数 $ y = -\frac{3}{2}x + 1 $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象在第二象限交于点 $ A $,且点 $ A $ 的横坐标为 -2.
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 点 $ B $ 的坐标是 $ (-3,0) $,若点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,且 $ \triangle AOP $ 的面积与 $ \triangle AOB $ 的面积相等,求点 $ P $ 的坐标.

【解】(1)$\because$一次函数$y = -\frac{3}{2}x + 1$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象在第二象限交于点$A$，点$A$的横坐标为$-2$，当$x = -2$时，$y = -\frac{3}{2}×(-2) + 1 = 4$，
$\therefore A(-2,4)$，$\therefore 4 = \frac{k}{-2}$，$\therefore k = -8$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y = -\frac{8}{x}$。
(2)设$P(0,m)$，$\because \triangle AOP$的面积与$\triangle AOB$的面积相等，
$\therefore \frac{1}{2}×|m|×2 = \frac{1}{2}×3×4$，$\therefore m = \pm 6$，$\therefore P(0,6)$或$P(0,-6)$。