1. 若定义,表示3xyz表示−2$a^b$$c^d$，则运算的结果为 ()

A.$-12m^{3}n^{4}$
B.$-6m^{2}n^{5}$
C.$12m^{4}n^{3}$
D.$12m^{3}n^{4}$

1. A

2. 对任意有理数$x$，$y$，定义一种新运算：$x\otimes y = ax + by + 1$，其中$a$，$b$是常数. 若$2\otimes (-1) = -3$，$3\otimes 3 = 4$，则$a$，$b$的值分别为 ()

A.$1$，$2$
B.$-1$，$2$
C.$-1$，$-2$
D.$1$，$-2$

2. B

3. 定义一种新运算：$a\odot b = ab + 2a$，则不等式组$\begin{cases}(-2)\odot x ＜ 2, \\ x\odot \frac{1}{2} ≤ 5\end{cases}$的负整数解有 ( )

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

3. B 解析：由题意，得$\{\begin{array}{l} -2x - 4 ＜ 2,\\ \frac{1}{2}x + 2x ≤ 5,\end{array} $解得$-3 ＜ x ≤ 2$，则负整数解为$x = -2$，$-1$，有2个。

4. ·定义：当三角形中一个内角$α$是另一个内角的$3$倍时，我们称该三角形为“亮点三角形”，其中$α$称为“亮点角”. 若一个“亮点三角形”的一个内角为$36°$，则“亮点角”的度数为.

4. $36°$或$108°$ 解析：设该三角形三个内角的度数分别为$x°$，$y°$，$z°$且$x = 3y$。分类讨论如下：①当$x = 36$时，$y = 12$，符合题意；②当$y = 36$时，$x = 108$，符合题意；③当$z = 36$时，$x + y = 180 - z = 144$，所以$3y + y = 144$，所以$y = 36$，所以$x = 108$，符合题意。综上所述，“亮点角”的度数为$36°$或$108°$。

5. （2025·江苏镇江期末）对于未知数为$x$，$y$的二元一次方程组，如果方程组的解$x$，$y$满足$\vert x - y\vert = 1$，我们就说$x$与$y$具有“邻好关系”.
（1）方程组$\begin{cases} x + 2y = 7, \\ x - y = 1 \end{cases}$的解$x$与$y$是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
（2）若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases} 2x - y = 6, \\ 4x + y = 6m \end{cases}$的解$x$与$y$具有“邻好关系”，求$m$的值；
（3）已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases} x + ay = 7, \\ 2y - x = 5, \end{cases}$其中$a$与$x$，$y$都是正整数，则该方程组的解$x$与$y$是否具有“邻好关系”？若具有，请求出$a$的值及方程组的解；若不具有，请说明理由.

5. （1）方程组$\{\begin{array}{l} x + 2y = 7,\\ x - y = 1\end{array} $的解$x$与$y$具有“邻好关系”。理由如下：解方程组$\{\begin{array}{l} x + 2y = 7,\\ x - y = 1,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = 2.\end{array} $因为$|x - y| = 1$，所以方程组$\{\begin{array}{l} x + 2y = 7,\\ x - y = 1\end{array} $的解$x$与$y$具有“邻好关系”。
（2）解方程组$\{\begin{array}{l} 2x - y = 6,\\ 4x + y = 6m,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} x = m + 1,\\ y = 2m - 4.\end{array} $因为该方程组的解$x$与$y$具有“邻好关系”，所以$|x - y| = 1$，即$|m + 1 - (2m - 4)| = 1$，解得$m = 4$或6。
（3）解方程组$\{\begin{array}{l} x + ay = 7,\\ 2y - x = 5,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} x = \frac{14 - 5a}{a + 2},\\ y = \frac{12}{a + 2}.\end{array} $因为$a$与$x$，$y$都是正整数，所以$\{\begin{array}{l} a = 1,\\ x = 3,\\ y = 4\end{array} $或$\{\begin{array}{l} a = 2,\\ x = 1,\\ y = 3.\end{array} $因为$|3 - 4| = 1$，$|1 - 3| ≠ 1$，所以当$a = 1$时，方程组$\{\begin{array}{l} x + ay = 7,\\ 2y - x = 5\end{array} $的解$x$与$y$具有“邻好关系”，且方程组的解为$\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = 4.\end{array} $

6. 新素养 抽象能力 对任意一个三位数$n$，如果$n$满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”. 将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与$111$的商记为$F(n)$. 例如：$n = 123$，对调百位与十位上的数字得到$213$，对调百位与个位上的数字得到$321$，对调十位与个位上的数字得到$132$，这三个新三位数的和为$213 + 321 + 132 = 666$，所以$F(123) = 666÷ 111 = 6$.
（1）计算：$F(243)$，$F(617)$；
（2）若$s$，$t$都是“相异数”，其中$s = 100x + 32$，$t = 150 + y(1≤ x≤ 9,1≤ y≤ 9$，且$x$，$y$都是正整数），规定：$k = \frac{F(s)}{F(t)}$. 当$F(s) + F(t) = 18$时，求$k$的最大值.

6. （1）由题意，得$F(243) = (423 + 342 + 234) ÷ 111 = 9$，$F(617) = (167 + 716 + 671) ÷ 111 = 14$。
（2）由题意，得$F(s) = (302 + 10x + 230 + x + 100x + 23) ÷ 111 = x + 5$，$F(t) = (510 + y + 100y + 51 + 105 + 10y) ÷ 111 = y + 6$，所以当$F(s) + F(t) = 18$时，$x + 5 + y + 6 = 18$，所以$x + y = 7$。因为$s$，$t$都是“相异数”，所以$x ≠ 2$，$x ≠ 3$且$y ≠ 1$，$y ≠ 5$。因为$1 ≤ x ≤ 9$，$1 ≤ y ≤ 9$，且$x$，$y$都是正整数，所以$\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = 6\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x = 4,\\ y = 3\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x = 5,\\ y = 2.\end{array} $因为$k = \frac{F(s)}{F(t)}$，所以分类讨论如下：①当$\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = 6\end{array} $时，$F(s) = 6$，$F(t) = 12$，所以$k = \frac{1}{2}$；②当$\{\begin{array}{l} x = 4,\\ y = 3\end{array} $时，$F(s) = 9$，$F(t) = 9$，所以$k = 1$；③当$\{\begin{array}{l} x = 5,\\ y = 2\end{array} $时，$F(s) = 10$，$F(t) = 8$，所以$k = \frac{5}{4}$。因为$\frac{1}{2} ＜ 1 ＜ \frac{5}{4}$，所以$k$的最大值为$\frac{5}{4}$。