教材溯源→1. (人教九上P87)如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长.

①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ABC中，$AC=6\mathrm{cm},AB=10\mathrm{cm}$，
∴$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\mathrm{cm}$（勾股定理）。
②∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴$ \overline{AD}=\overline{BD}$，
∴AD=BD（在同圆中,相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等）。
在Rt△ADB中，$BD=AD,AB=10\mathrm{cm}$，
∴$AD^2+BD^2=AB^2$，
∴$2AD^2=10^2$，
解得$AD=BD=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$（勾股定理）。
BC的长为$8\mathrm{cm}$，AD的长为$5\sqrt{2}\mathrm{cm}$，BD的长为$5\sqrt{2}\mathrm{cm}$。

迁移应用→2. 如图,已知△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC,交⊙O于点D,连接DB,DC.
【发现猜想】(1)如图1,当∠BAC=120°时,请直接写出线段AB,AC,AD之间满足的数量关系:;
【类比探究】(2)如图2,当∠BAC=90°时,试探究线段AB,AC,AD之间满足的数量关系,并证明你的结论;
【归纳总结】(3)如图3,当∠BAC=2α时,试猜想线段AB,AC,AD之间满足的数量关系(用含有α的锐角三角函数表示),并证明你的结论;
【拓展应用】(4)请用上面探究到的结论解决问题:如图4,在平面直角坐标系中,已知A,B两点的坐标分别为A(8,0),B(0,6),P为△AOB的外接圆上的一点,∠ABP=45°,则点P的坐标为.

(1) AB + AC = √3 AD
(2) AB + AC = √2 AD
证明：延长AB至E，使BE = AC，连接DE。
∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAD=45°，弧BD=弧DC，DB=DC。
∵A、B、C、D共圆，
∴∠DBE=∠ACD。
在△DBE和△DCA中，BE=AC，∠DBE=∠DCA，DB=DC，
∴△DBE≌△DCA(SAS)。
∴DE=DA，∠BDE=∠CDA，
∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=∠ADB+∠CDA=∠BDC=90°。
∴△ADE为等腰直角三角形，AE=√2 AD，又AE=AB+BE=AB+AC，
∴AB+AC=√2 AD。
(3) AB + AC = 2AD sinα
证明：延长AB至E，使BE=AC，连接DE。
∵AD平分∠BAC=2α，
∴∠BAD=∠CAD=α，弧BD=弧DC，DB=DC。
∵A、B、C、D共圆，
∴∠DBE=∠ACD。
在△DBE和△DCA中，BE=AC，∠DBE=∠DCA，DB=DC，
∴△DBE≌△DCA(SAS)。
∴DE=DA，∠BDE=∠CDA，
∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=∠ADB+∠CDA=∠BDC=2α。
过D作DF⊥AE于F，则AF=AE/2，∠ADF=α，AF=AD sinα，
∴AE=2AD sinα，即AB+AC=2AD sinα。
(4) (7,7)或(1,-1)