1. (2025洛阳一模)如图,已知A,B,C,D是同一圆上的点,AC,BD相交于点E,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,则下列结论不正确的是(
A.∠A=∠D
B.AD//BC
C.AD=BC
D.AC=BD
C
)A.∠A=∠D
B.AD//BC
C.AD=BC
D.AC=BD
答案
C
解析
∵⌒AB=⌒CD，∴弦AB=CD，弧AC=弧AB+弧BC=弧CD+弧BC=弧BD，∴弦AC=BD（D正确）；∠DAC与∠BCA分别为⌒CD与⌒AB所对圆周角，∵⌒AB=⌒CD，∴∠DAC=∠BCA，∴AD//BC（B正确）；∠A（∠BAD）与∠D（∠CDA）所对弧分别为弧BCD与弧ABC，∵弧BCD=弧BC+弧CD=弧BC+弧AB=弧ABC，∴∠A=∠D（A正确）；AD与BC所对弧分别为弧BCD与弧BAD，无法由⌒AB=⌒CD推出弧AD=弧BC，故AD不一定等于BC（C不正确）。
2. (2023河南,6)如图,点A,B,C在⊙O上,若∠C=55°,则∠AOB的度数为(
A.95°
B.100°
C.105°
D.110°
D
)A.95°
B.100°
C.105°
D.110°
答案
D
解析
∵点A,B,C在⊙O上，∠C=55°，∠C是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
∴∠AOB=2∠C=2×55°=110°。
3. (2024河南,20(1))如图1,塑像AB在底座BC上,点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平视线DE时,由远及近看塑像,会在某处感觉看到的塑像最大,此时视角最大.数学家研究发现:当经过A,B两点的圆与水平视线DE相切时(如图2),在切点P处感觉看到的塑像最大,此时∠APB为最大视角.请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB.
答案
∠APB＞∠ADB
解析
连接AB，延长AD交圆于点F，连接BF。
∵∠APB与∠AFB均为弧AB所对的圆周角，∴∠APB=∠AFB。
在△BDF中，∠AFB是外角，∴∠AFB=∠ADB+∠DBF。
∵∠DBF＞0°，∴∠AFB＞∠ADB。
∴∠APB=∠AFB＞∠ADB，即∠APB＞∠ADB。
∵∠APB与∠AFB均为弧AB所对的圆周角，∴∠APB=∠AFB。
在△BDF中，∠AFB是外角，∴∠AFB=∠ADB+∠DBF。
∵∠DBF＞0°，∴∠AFB＞∠ADB。
∴∠APB=∠AFB＞∠ADB，即∠APB＞∠ADB。
4. (2021河南,14考法)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点O,A,B,C均在格点(两条网格线的交点叫格点)上,且点B在$\overset{\frown}{AC}$上,以点O为原点建立平面直角坐标系,则$\overset{\frown}{AC}$所在圆的圆心的坐标为(
A.(1,-1)
B.(2,-1)
C.(1,-2)
D.(2,-2)
思路点拨 弧上任意两条弦的垂直平分线的交点即为该弧所在圆的圆心.
A
)A.(1,-1)
B.(2,-1)
C.(1,-2)
D.(2,-2)
思路点拨 弧上任意两条弦的垂直平分线的交点即为该弧所在圆的圆心.
答案
A
解析
设圆心坐标为$(x,y)$。由网格可知，点$A(-2,0)$、$C(4,0)$、$B(2,2)$（根据格点位置确定）。
1. 求弦AC的垂直平分线：
$A(-2,0)$，$C(4,0)$，中点为$(1,0)$，$AC$在x轴上，垂直平分线为$x=1$，故圆心横坐标$x=1$。
2. 求弦AB的垂直平分线：
$A(-2,0)$，$B(2,2)$，中点为$(0,1)$，$AB$斜率为$\frac{2-0}{2-(-2)}=\frac{1}{2}$，垂直平分线斜率为$-2$，方程为$y-1=-2(x-0)$，即$y=-2x+1$。
3. 求交点：
将$x=1$代入$y=-2x+1$，得$y=-1$。
故圆心坐标为$(1,-1)$。
1. 求弦AC的垂直平分线：
$A(-2,0)$，$C(4,0)$，中点为$(1,0)$，$AC$在x轴上，垂直平分线为$x=1$，故圆心横坐标$x=1$。
2. 求弦AB的垂直平分线：
$A(-2,0)$，$B(2,2)$，中点为$(0,1)$，$AB$斜率为$\frac{2-0}{2-(-2)}=\frac{1}{2}$，垂直平分线斜率为$-2$，方程为$y-1=-2(x-0)$，即$y=-2x+1$。
3. 求交点：
将$x=1$代入$y=-2x+1$，得$y=-1$。
故圆心坐标为$(1,-1)$。
5. (2025许昌二模)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心.若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为(
A.1.25m
B.1.3m
C.1.4m
D.1.45m
B
)A.1.25m
B.1.3m
C.1.4m
D.1.45m
答案
B
解析
设圆心为 $O$，拱门所在圆的半径为 $R$ m。
$D$ 为 $AB$ 的中点，$AB = 1$m，所以$BD = \frac{1}{2} × 1 = 0.5 \mathrm{m}$。
$CD$ 经过圆心 $O$，$CD = 2.5$m，
所以$OD = CD - R= (2.5 - R) \mathrm{m}$。
在直角三角形 $OBD$ 中，根据勾股定理，有：
$OB^2 = OD^2 + BD^2$，
即$R^2 = (2.5 - R)^2 + 0.5^2$，
$R^2 = 6.25 - 5R + R^2 + 0.25$，
$5R = 6.5$，
$R = 1.3 \mathrm{m}$。
故拱门所在圆的半径为 $1.3$m。
$D$ 为 $AB$ 的中点，$AB = 1$m，所以$BD = \frac{1}{2} × 1 = 0.5 \mathrm{m}$。
$CD$ 经过圆心 $O$，$CD = 2.5$m，
所以$OD = CD - R= (2.5 - R) \mathrm{m}$。
在直角三角形 $OBD$ 中，根据勾股定理，有：
$OB^2 = OD^2 + BD^2$，
即$R^2 = (2.5 - R)^2 + 0.5^2$，
$R^2 = 6.25 - 5R + R^2 + 0.25$，
$5R = 6.5$，
$R = 1.3 \mathrm{m}$。
故拱门所在圆的半径为 $1.3$m。
6. (2025甘肃)如图,四边形ABCD内接于⊙O,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,连接BD,若∠ABC=70°,则∠BDC的度数为(
A.20°
B.35°
C.55°
D.70°
C
)A.20°
B.35°
C.55°
D.70°
答案
C
解析
∵四边形ABCD内接于⊙O，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，∠ABC=70°，
∴∠BAC=∠BCA=(180°-70°)÷2=55°，
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BDC=∠BAC=55°（同弧所对的圆周角相等）。
∴∠BAC=∠BCA=(180°-70°)÷2=55°，
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BDC=∠BAC=55°（同弧所对的圆周角相等）。
7. (2025南阳三模)小明用破损的量角器按如图所示的方式测量∠B的度数,他让点B落在量角器的圆弧上,并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为A,C.若点A,C对应的刻度分别为55°,135°,则∠B的度数为(
A.120°
B.130°
C.140°
D.150°
C
)A.120°
B.130°
C.140°
D.150°
答案
C
解析
设量角器的圆心为O，由A、C对应的刻度55°、135°，得圆心角∠AOC=135°-55°=80°。点A、B、C在量角器的圆弧上，即A、B、C在⊙O上。弦AC所对的圆周角有两个，其中一个圆周角∠B'（优弧AC上）满足∠B'=1/2∠AOC=40°。∠B与∠B'是同弦AC异侧的圆周角，由圆内接四边形对角互补，得∠B=180°-∠B'=140°。
