二、轴对称与中心对称
注:折叠是轴对称变换,位于折痕两侧的图形关于折痕所在的直线成轴对称;折痕所在的直线为对称轴;折叠前后对应的图形全等;折叠前后对应点所连的线段被折痕所在的直线垂直平分.
1. 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转
2. 中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。
3. 轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
4. 如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则AB=
5. 如图，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点A'处，则△ADE≌
6. 如图，点O₁，O₂，O₃分别是线段AB，CD，EF的中点，则点A与点B关于点O₁成中心对称，点C与点D关于点O₂成中心对称，所以CO₂=
7. 对称轴
8. 如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则OA=
注:折叠是轴对称变换,位于折痕两侧的图形关于折痕所在的直线成轴对称;折痕所在的直线为对称轴;折叠前后对应的图形全等;折叠前后对应点所连的线段被折痕所在的直线垂直平分.
1. 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转
②180
度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做③对称中心
。2. 中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。
3. 轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
4. 如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则AB=
④相等
，BC=⑤A'B'
，∠A=⑥∠BDF
，△ABC≌⑦全等
。5. 如图，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点A'处，则△ADE≌
⑧△BDF
，AD=⑨△ABC
，∠AED=∠A'ED，直线DE⑩垂直平分
线段AA'。6. 如图，点O₁，O₂，O₃分别是线段AB，CD，EF的中点，则点A与点B关于点O₁成中心对称，点C与点D关于点O₂成中心对称，所以CO₂=
⑪DO₂
；点E与点F关于点O₃成中心对称，所以⑫EO₃=FO₃
。7. 对称轴
⑬平分
对应点的连线。8. 如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则OA=
⑭OA'
，OB=⑮OB'
，OC=⑯OC'
。答案
②180；③对称中心；④相等；⑤A'B'；⑥∠BDF；⑦全等；⑧△BDF；⑨△ABC；⑩垂直平分；⑪DO₂；⑫EO₃=FO₃；⑬平分；⑭OA'；⑮OB'；⑯OC'
解析
根据轴对称与中心对称的定义及性质填空。中心对称需旋转180°，对称点为对称中心；对应线段相等，对应角相等，图形全等；轴对称对应点连线被对称轴垂直平分，中心对称对应点连线被对称中心平分。
3. 如图,四边形 $ ABCD $ 与四边形 $ A_1B_1C_1D_1 $ 关于
某
点对称,则它们的对称中心是点O
;若 $ ∠BAD = 92° $, $ B_1C_1 = 3 $,则 $ ∠B_1A_1D_1 $ 的度数为92°
, $ BC $ 的长为3
.答案
本题可根据中心对称图形的性质来求解对称中心、角的度数以及线段长度。
1. 求对称中心
若两个图形关于某点对称，那么这个点就是对应点连线的中点。
在四边形$ABCD$与四边形$A_1B_1C_1D_1$中，点$A$与点$A_1$、点$B$与点$B_1$等是对应点，连接$AA_1$、$BB_1$等，它们的交点就是对称中心。
由图可知，连接$AA_1$、$BB_1$，其交点为点$O$，所以它们的对称中心是点$O$。
2. 求$∠B_1A_1D_1$的度数
因为四边形$ABCD$与四边形$A_1B_1C_1D_1$关于点$O$对称，所以这两个四边形全等。
全等图形的对应角相等，$∠BAD$与$∠B_1A_1D_1$是对应角，已知$∠BAD = 92°$，则$∠B_1A_1D_1 = 92°$。
3. 求$BC$的长
由于四边形$ABCD$与四边形$A_1B_1C_1D_1$关于点$O$对称，所以这两个四边形全等。
全等图形的对应边相等，$B_1C_1$与$BC$是对应边，已知$B_1C_1 = 3$，则$BC = 3$。
综上，答案依次为：$O$；$92°$；$3$。
1. 求对称中心
若两个图形关于某点对称，那么这个点就是对应点连线的中点。
在四边形$ABCD$与四边形$A_1B_1C_1D_1$中，点$A$与点$A_1$、点$B$与点$B_1$等是对应点，连接$AA_1$、$BB_1$等，它们的交点就是对称中心。
由图可知，连接$AA_1$、$BB_1$，其交点为点$O$，所以它们的对称中心是点$O$。
2. 求$∠B_1A_1D_1$的度数
因为四边形$ABCD$与四边形$A_1B_1C_1D_1$关于点$O$对称，所以这两个四边形全等。
全等图形的对应角相等，$∠BAD$与$∠B_1A_1D_1$是对应角，已知$∠BAD = 92°$，则$∠B_1A_1D_1 = 92°$。
3. 求$BC$的长
由于四边形$ABCD$与四边形$A_1B_1C_1D_1$关于点$O$对称，所以这两个四边形全等。
全等图形的对应边相等，$B_1C_1$与$BC$是对应边，已知$B_1C_1 = 3$，则$BC = 3$。
综上，答案依次为：$O$；$92°$；$3$。
4. 如图,在 $ Rt△ABC $ 中, $ ∠BAC = 90° $, $ AB = 2 $, $ E $ 是 $ BC $ 边上一点,连接 $ AE $,将 $ △ABE $ 沿 $ AE $ 折叠,得到 $ △ADE $,点 $ B $ 的对应点 $ D $ 在线段 $ CE $ 上.
(1) $ AD $ 的长为
(2) $ AE $ 与 $ BC $ 的位置关系是
(3) 若 $ ∠BAD = 60° $,则 $ ∠C $ 的度数为
(1) $ AD $ 的长为
2
;(2) $ AE $ 与 $ BC $ 的位置关系是
AE⊥BC
;(3) 若 $ ∠BAD = 60° $,则 $ ∠C $ 的度数为
30°
.答案
(1) 2
(2) AE⊥BC
(3) 30°
(2) AE⊥BC
(3) 30°
例1 如图,在等边三角形 $ ABC $ 中, $ P $ 为边 $ AB $ 上的一个动点(不与点 $ B $ 重合),线段 $ BC $ 与 $ DC $ 关于直线 $ CP $ 对称,直线 $ DA $ 与直线 $ CP $ 交于点 $ E $.
(1) 若 $ ∠ACP = 20° $,则 $ ∠ACD $ 的度数为
(2) $ ∠E $ 的度数为
(3) 若 $ AE = 1 $, $ CE = 4 $,求 $ AD $ 的长.
(1) 若 $ ∠ACP = 20° $,则 $ ∠ACD $ 的度数为
60°
;(2) $ ∠E $ 的度数为
60°
;(3) 若 $ AE = 1 $, $ CE = 4 $,求 $ AD $ 的长.
答案
60°；60°；√13
解析
(1) ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°。∵∠ACP=20°，∴∠PCB=∠ACB-∠ACP=60°-20°=40°。∵BC与DC关于CP对称，∴∠PCD=∠PCB=40°，∴∠ACD=∠ACP+∠PCD=20°+40°=60°。
(2) ∵BC与DC关于CP对称，∴DC=BC，∠PCD=∠PCB。∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴DC=AC。设∠ACP=α，则∠PCB=60°-α，∴∠PCD=60°-α，∴∠ACD=α+(60°-α)=60°。∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC=60°。∵A、E、C、D四点共圆（∠EAC=∠EDC=60°），∴∠E=∠ADC=60°。
(3) 在△AEC中，AE=1，CE=4，∠E=60°，由余弦定理得：AC²=AE²+CE²-2·AE·CE·cos∠E=1²+4²-2×1×4×cos60°=1+16-4=13。∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC=√13。
(2) ∵BC与DC关于CP对称，∴DC=BC，∠PCD=∠PCB。∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴DC=AC。设∠ACP=α，则∠PCB=60°-α，∴∠PCD=60°-α，∴∠ACD=α+(60°-α)=60°。∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC=60°。∵A、E、C、D四点共圆（∠EAC=∠EDC=60°），∴∠E=∠ADC=60°。
(3) 在△AEC中，AE=1，CE=4，∠E=60°，由余弦定理得：AC²=AE²+CE²-2·AE·CE·cos∠E=1²+4²-2×1×4×cos60°=1+16-4=13。∵△ACD是等边三角形，∴AD=AC=√13。
