例1 如图1，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，且BC=2AB，反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图象与边BC，AB分别交于点M，N.连接OM，ON.
(1)若OA=6，AN=$\frac{1}{3}$AB，求反比例函数的表达式.

(2)小颖说：“若M是边BC的中点，则N是边AB的中点.”你认为小颖的说法正确吗？请说明理由.

1. （1）
已知$OA = 6$，四边形$ABCO$是矩形，则$AB = OC$，$BC = OA = 6$。
因为$BC = 2AB$，所以$AB=\frac{1}{2}BC = 3$。
又因为$AN=\frac{1}{3}AB$，所以$AN = 1$，则$N$点坐标为$(6,1)$。
因为点$N(6,1)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x\gt0)$的图象上，将$x = 6$，$y = 1$代入$y=\frac{k}{x}$中，根据$y=\frac{k}{x}$可得$k=xy$。
所以$k = 6×1=6$。
则反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}(x\gt0)$。
2. （2）
设$B(a,b)$，因为$BC = 2AB$，则$AB = \frac{1}{2}BC$，$OA=a$，$AB = b$，$BC=a$。
因为$M$是边$BC$的中点，则$M$点坐标为$(\frac{a}{2},b)$。
把$M(\frac{a}{2},b)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$k=\frac{1}{2}ab$。
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}=\frac{\frac{1}{2}ab}{x}$，当$x = a$时，$y=\frac{\frac{1}{2}ab}{a}=\frac{1}{2}b$。
因为$AB = b$，$AN=\frac{1}{2}b$，所以$N$是边$AB$的中点。
综上，（1）反比例函数表达式为$y = \frac{6}{x}(x\gt0)$；（2）小颖的说法正确。

变式 (3)如图2，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k≠0，x＞0)的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，连接OM，ON，MN.若正方形边长为4，M为AB中点，求k的值.

(4)在(3)的条件下，求证：△OCN≌△OAM.

(3)8；(4)见解析

(3)∵正方形OABC边长为4，A在x轴，C在y轴，
∴点A(4,0)，B(4,4)，C(0,4)。
∵M为AB中点，AB在x=4上，A(4,0)，B(4,4)，
∴M点坐标为(4,2)。
∵M在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴2=$\frac{k}{4}$，解得k=8。
(4)由(3)知k=8，反比例函数为y=$\frac{8}{x}$。
N在BC上，BC在y=4上，设N(m,4)，
∵N在y=$\frac{8}{x}$上，∴4=$\frac{8}{m}$，解得m=2，即N(2,4)。
OC=OA=4，∠OCN=∠OAM=90°，
CN=2，AM=2，∴CN=AM。
在△OCN和△OAM中，
$\left\{\begin{array}{l} OC=OA\\ ∠OCN=∠OAM\\ CN=AM\end{array}\right.$，
∴△OCN≌△OAM(SAS)。

变式 (5)如图3，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(6，4)，反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图象与边BC和边AB分别交于点D和点E，连接DE.当CD=BE时，求点D和点E的坐标.

(6)如图4，将(5)的条件“CD=BE”去掉，连接AC，请判断DE与AC的位置关系，并给出证明.

(5)D(12/5,4)，E(6,8/5)；(6)DE//AC

(5)∵矩形OABC中，B(6,4)，∴A(6,0)，C(0,4)，BC:y=4，AB:x=6。
设D(d,4)，E(6,e)，∵D、E在y=k/x上，∴k=4d=6e，即2d=3e。
CD=d，BE=4-e，由CD=BE得d=4-e。
联立2d=3e与d=4-e，解得d=12/5，e=8/5。
∴D(12/5,4)，E(6,8/5)。
(6)DE//AC。证明：设D(m,4)，则k=4m，E(6,4m/6)= (6,2m/3)。
AC斜率：(4-0)/(0-6)=-2/3。
DE斜率：(2m/3 - 4)/(6 - m)= (2m-12)/(3(6 - m))= -2(6 - m)/(3(6 - m))=-2/3。
∵AC与DE斜率相等，∴DE//AC。