4. (北师九上 P4 改编) 在菱形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$.

(1) 若 $\angle DAC = 20^{\circ}$,则 $\angle DAB=$_________$^{\circ}$, $\angle ADC=$_________$^{\circ}$;
(2) 若 $\angle DAB = 60^{\circ},BD = 6$,则 $AB=$, $AC=$;
(3) 在菱形 $ABCD$ 中,有个等腰三角形,个直角三角形;
(4) 如图 1,$F$ 是 $AB$ 的中点,若 $OF = 3$,则菱形 $ABCD$ 的周长为;
点拨
连接菱形一边的中点与对角线的交点可构成直角三角形斜边上的中线或三角形的中位线.

(5) 如图 2,$DE⊥ AB$ 于点 $E$,若 $AC = 8,BD = 4$,则菱形 $ABCD$ 的面积为, $DE=$.
点拨
菱形中已知对角线长,利用等面积法可求一边上的高.

(1) 40；140
(2) 6；6√3
(3) 4；4
(4) 24
(5) 16；8√5/5

3. 菱形的判定

21. 相等
22. 垂直
23. 都相等

5. 如图,已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$AC,BD$ 相交于点 $O$,若添加一个条件可以判定四边形 $ABCD$ 是菱形,则该条件可以是.

因为四边形$ABCD$是平行四边形，
若$AD=AB$，
则四边形$ABCD$为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
若$AC⊥ BD$，
则四边形$ABCD$为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
故答案为$AC⊥ BD$或$AD=AB$（答案不唯一）。

6. (北师九上 P5) 已知: 如图,在 $□ ABCD$ 中,对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$AC⊥ BD$.
求证: $□ ABCD$ 是菱形.

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵AC⊥BD，
∴BD垂直平分AC，
∴AB=BC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=BC，
∴□ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。

1. 两个矩形的位置如图所示,若 $\angle 1=\alpha$,则 $\angle 2$ 的度数为 ()

A.$\alpha - 90^{\circ}$

B.$\alpha - 45^{\circ}$
C.$180^{\circ}-\alpha$
D.$270^{\circ}-\alpha$

C

如图，设两矩形交于点O，下面矩形的上边为水平线l，右边为竖直线m，∠1=α为上面矩形一边OA与l的夹角。因矩形邻边垂直，上面矩形另一边OB⊥OA，故∠AOB=90°。OA与l夹角α，则OA与m夹角为α-90°（l⊥m）。OB与OA垂直，所以OB与m夹角∠2=90°-(α-90°)=180°-α。

2. (2024 河南,18 考法) 如图,在平面直角坐标系中,矩形 $OABC$ 的顶点 $O$ 与原点重合,顶点 $A$ 的坐标为 $(6,2)$,顶点 $C$ 的坐标为 $(-1,3)$,则点 $B$ 的坐标为.

(5,5)

在矩形OABC中，对边平行且相等。点O为原点(0,0)，A(6,2)，C(-1,3)。由于AB与OC平行且相等，点O到C的平移方式与点A到B的平移方式相同。O到C：横坐标-1，纵坐标+3，故A(6,2)平移后得B(6-1,2+3)=(5,5)。