1[中]如图，AD是$△ ABC$的中线，点E在BC的延长线上，$CE=AB$，连接AE，$∠ BAC=∠ BCA$，试说明：$AE=2AD$。

【解】如图,延长 AD 至 M,使 DM = AD,连接 CM.
因为 AD 是△ABC 的中线,所以 BD=CD.
在△ABD 和 △MCD 中,
$\begin{cases}BD=CD,\\∠ADB=∠MDC,\\AD=MD,\end{cases}$
所以△ABD≌△MCD(SAS),所以 AB = MC,
∠B=∠MCD.
因为 AB=CE,所以 CM=CE.
因为 ∠BAC = ∠BCA,所以 ∠B + ∠BAC = ∠MCD+∠ACB,即∠ACE=∠ACM.
在△ACE 和△ACM 中,
$\begin{cases}AC=AC,\\∠ACE=∠ACM,\\CE=CM,\end{cases}$
所以△ACE≌△ACM(SAS),所以 AE=AM.
因为 AM=2AD,所以 AE=2AD.

2[2025江苏南京质检,较难](1)如图(1),在$△ ABC$中,$AB=9$,$AC=5$,求$BC$边上的中线$AD$的取值范围.
(2)如图(2),$AD$是$△ ABC$的中线,$AB=AE$,$AC=AF$,$∠ BAE=∠ FAC=90°$,试探究线段$AD$与$EF$的数量和位置关系,并加以证明.

(1) 如图(1),延长 AD 到 E,使得 DE = AD,连接 BE,则 AE = 2AD.
∵ D 是 BC 的中点,
∴ BD = CD. 在△ACD 和△EBD 中,
$\begin{cases}CD=BD,\\∠ADC=∠EDB,\\AD=DE,\end{cases}$
∴ △ACD≌△EBD(SAS),
∴ AC = BE. 在△ABE 中,由三角形的三边关系可得 AB-BE＜AE＜AB+BE,即 AB-BE＜2AD＜AB+BE.
∵ AB = 9,AC = BE = 5,
∴ 9-5＜2AD＜9+5,
∴ 2＜AD＜7,
∴ BC 边上的中线 AD 的取值范围为 2＜AD＜7.

(2) EF = 2AD 且 EF ⊥ AD. 证明如下: 如图(2),延长 AD 到 G,使得 DG = AD,连接 BG,延长 DA 交 EF 于点 H. 同(1)可证 △ACD≌ △GBD,
∴ AC = BG, ∠DAC = ∠DGB,
∴ ∠BAC = ∠BAD+∠DAC = ∠BAD + ∠DGB,
∴ ∠ABG + ∠BAD + ∠DGB = ∠ABG + ∠BAC = 180°.
∵ ∠BAE = ∠FAC = 90°,
∴ ∠EAF + ∠BAC = 180°,
∴ ∠EAF=∠ABG.
∵ AC=AF,AC=BG,
∴ BG = AF. 在△ABG 和△EAF 中,
$\begin{cases}AB=AE,\\∠ABG=∠EAF,\\BG=AF,\end{cases}$
∴ △ABG≌△EAF(SAS),
∴ EF = AG, ∠HEA=∠BAG.
∵ AG = 2AD,
∴ EF = 2AD.
∵ ∠BAE = 90°,
∴ ∠EAH + ∠BAG = 90°.
∵ ∠HEA=∠BAG,
∴ ∠HEA + ∠EAH = 90°,
∴ ∠AHE = 90°,
∴ AD ⊥ EF. 综上所述,EF = 2AD 且 EF ⊥ AD.

3[中]如图,已知四边形ABCD中,AD//BC,若∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE恰好平分∠ABC,求证:AB=BC+AD.

补短法:如图(1),延长 BC 至点 F,使 BF=AB,连接 EF. 因为 AD//BC,所以 ∠CBA+∠BAD= 180°. 因为 BE 平分 ∠CBA,AE 平分∠BAD,所以 ∠ABE = ∠EBF, ∠BAE = ∠DAE,所以 ∠EBA+∠BAE = 90°,所以 ∠BEA = 180°-(∠EBA+∠BAE)= 90°.
在△ABE 和△FBE 中,
$\begin{cases}AB=FB,\\∠ABE=∠FBE,\\BE=BE,\end{cases}$
所以△ABE≌△FBE(SAS),所以 ∠BEA = ∠BEF = 90°,AE = FE,所以 A, E, F 三点共线. 因为 AD//BC,所以 ∠EAD = ∠F.
在△ADE 和△FCE 中,
$\begin{cases}∠EAD=∠F,\\AE=FE,\\∠AED=∠FEC,\end{cases}$
所以△ADE≌△FCE(ASA),所以 AD = CF,所以 AB = BC+CF = BC+AD.

截长法:如图(2),在 AB 上截取 AF=AD,连接 EF. 因为 AD//BC,所以 ∠ABC+∠DAB = 180°. 又因为 BE 平分 ∠ABC,AE 平分 ∠DAB,所以 ∠ABE = ∠EBC, ∠DAE = ∠FAE,所以 ∠ABE+∠EAB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠DAB) = 90°, 所以∠AEB=90°,即∠2+∠4=90°.
在△ADE 和△AFE 中,
$\begin{cases}AD=AF,\\∠DAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
所以△ADE≌△AFE(SAS),所以 ∠1 = ∠2.
又因为 ∠2 + ∠4 = 90°, 所以 ∠1 + ∠3 = 90°,所以 ∠3 = ∠4.
在△BCE 和△BFE 中,
$\begin{cases}∠CBE=∠FBE,\\BE=BE,\\∠3=∠4,\end{cases}$
所以△BCE≌△BFE(ASA),
所以 BC = BF,
所以 AB = BF+AF = BC+AD.

4[2026江苏南通质检,中]如图,在$△ ABC$中,$AC=2AB$,$AD$平分$∠ BAC$,延长$CB$到点$E$,使$BE=BD$,连接$AE$.
(1)依题意补全图形；
(2)试判断$AE$与$CD$的数量关系,并进行证明.

(1) 补全图形如图(1).

(2) AE = CD. 证明如下:
如图(2),在 AC 上截取 AG=AB,连接 DG.
∵ AC=2AB,
∴ GC=AB.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAD = ∠GAD.
在△ABD 和△AGD 中,
$\begin{cases}AB=AG,\\∠BAD=∠GAD,\\AD=AD,\end{cases}$
∴ △ABD≌△AGD(SAS),
∴ BD = DG, ∠ABD = ∠AGD,
∴ ∠ABE = ∠CGD.
∵ BE=BD,
∴ BE=DG.
在△ABE 和△CGD 中,
$\begin{cases}AB=CG,\\∠ABE=∠CGD,\\BE=DG,\end{cases}$
∴ △ABE≌△CGD(SAS),
∴ AE=CD.