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1.「2026安徽安庆太湖期中」观察算式$(-4)×\frac{1}{7}×(-25)×28$，在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是（
A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律、结合律
D.分配律
C
）A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律、结合律
D.分配律
答案
原式$=[(-4)×(-25)]×(\frac{1}{7}×28)=100×4=400$,所以在解题过程中,能使运算变得简便的运算律是乘法交换律、结合律.故选C.
解析
【分析】
观察算式中的因数，可发现$-4$和$-25$相乘能得到整百数100，$\frac{1}{7}$和28相乘能得到整数4，两组计算都非常简便。要把可凑整的因数凑到一起计算，首先需要交换因数的位置，这一步用到乘法交换律；再将每组的两个因数结合起来优先计算，这一步用到乘法结合律，因此两种运算律都会用到。
【解析】
对原式进行简便运算：
首先利用乘法交换律调整因数位置，再利用乘法结合律分组优先计算：
$\begin{aligned}原式&=[(-4)×(-25)]×(\frac{1}{7}×28)\\&=100×4\\&=400\end{aligned}$
整个简便运算过程同时用到了乘法交换律和乘法结合律，故选C。
【答案】
C
【知识点】
乘法交换律，乘法结合律，有理数乘法简便运算
【点评】
本题考查有理数乘法运算律的实际应用，解题核心是先观察因数特征，找到可凑整的因数组合，再灵活选用运算律简化计算，能有效降低运算难度，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
观察算式中的因数，可发现$-4$和$-25$相乘能得到整百数100，$\frac{1}{7}$和28相乘能得到整数4，两组计算都非常简便。要把可凑整的因数凑到一起计算，首先需要交换因数的位置，这一步用到乘法交换律；再将每组的两个因数结合起来优先计算，这一步用到乘法结合律，因此两种运算律都会用到。
【解析】
对原式进行简便运算：
首先利用乘法交换律调整因数位置，再利用乘法结合律分组优先计算：
$\begin{aligned}原式&=[(-4)×(-25)]×(\frac{1}{7}×28)\\&=100×4\\&=400\end{aligned}$
整个简便运算过程同时用到了乘法交换律和乘法结合律，故选C。
【答案】
C
【知识点】
乘法交换律，乘法结合律，有理数乘法简便运算
【点评】
本题考查有理数乘法运算律的实际应用，解题核心是先观察因数特征，找到可凑整的因数组合，再灵活选用运算律简化计算，能有效降低运算难度，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
2. 学科特色 数形结合思想 观察下图，它的计算过程可以解释的运算律是（
A.加法交换律
B.分配律
C.乘法交换律
D.乘法结合律
B
）A.加法交换律
B.分配律
C.乘法交换律
D.乘法结合律
答案
由题图可得算式为6×3+4×3=3×(6+4),故它的计算过程可以解释的运算律是分配律.故选B.
解析
【分析】
解题时先结合图形的面积含义展开思考：长方形的面积=长×宽，首先分别计算两个独立长方形的面积之和，再计算拼接后大长方形的面积，两者面积相等可得到对应等式，最后将等式和所学运算律对比即可确定答案。具体步骤：第一步确定两个小长方形的长和宽，分别计算面积后求和；第二步确定拼接后大长方形的长和宽，计算其总面积；第三步根据总面积相等列出等式，匹配对应的运算律。
【解析】
观察图形可知，第一个长方形长为6、宽为3，面积为$6×3$；第二个长方形长为4、宽为3，面积为$4×3$，两个图形的总面积为$6×3 + 4×3$。
将两个长方形拼接后，得到的大长方形宽为3，长为$6+4$，因此大长方形的面积为$3×(6+4)$。
由于两种计算方式得到的是同一个总面积，因此有$6×3 + 4×3 = 3×(6+4)$，该式符合乘法分配律的形式，因此对应的运算律是分配律。
【答案】
B
【知识点】
1. 乘法分配律
2. 数形结合思想
3. 长方形面积计算
【点评】
本题借助长方形面积的不同计算方式，将抽象的运算律转化为直观的几何图形，能够帮助我们更清晰地理解运算律的内涵，解题的关键是准确用两种方法表示出图形的总面积。
【难度系数】
0.8
解题时先结合图形的面积含义展开思考：长方形的面积=长×宽，首先分别计算两个独立长方形的面积之和，再计算拼接后大长方形的面积，两者面积相等可得到对应等式，最后将等式和所学运算律对比即可确定答案。具体步骤：第一步确定两个小长方形的长和宽，分别计算面积后求和；第二步确定拼接后大长方形的长和宽，计算其总面积；第三步根据总面积相等列出等式，匹配对应的运算律。
【解析】
观察图形可知，第一个长方形长为6、宽为3，面积为$6×3$；第二个长方形长为4、宽为3，面积为$4×3$，两个图形的总面积为$6×3 + 4×3$。
将两个长方形拼接后，得到的大长方形宽为3，长为$6+4$，因此大长方形的面积为$3×(6+4)$。
由于两种计算方式得到的是同一个总面积，因此有$6×3 + 4×3 = 3×(6+4)$，该式符合乘法分配律的形式，因此对应的运算律是分配律。
【答案】
B
【知识点】
1. 乘法分配律
2. 数形结合思想
3. 长方形面积计算
【点评】
本题借助长方形面积的不同计算方式，将抽象的运算律转化为直观的几何图形，能够帮助我们更清晰地理解运算律的内涵，解题的关键是准确用两种方法表示出图形的总面积。
【难度系数】
0.8
3.简便运算:(1)$(-8)×(+3.14)×(-0.125)$.
(2)$(\frac{1}{2}+\frac{5}{6}-\frac{7}{12})×(-36)$.
(3)$(-4)×(+25\frac{3}{4})$.
(4)$(-7)×35+(-7)×65$.
(2)$(\frac{1}{2}+\frac{5}{6}-\frac{7}{12})×(-36)$.
(3)$(-4)×(+25\frac{3}{4})$.
(4)$(-7)×35+(-7)×65$.
答案
(1)原式$=(-8)×(-0.125)×3.14=3.14$.
(2)原式$=\frac{1}{2}×(-36)+\frac{5}{6}×(-36)-\frac{7}{12}×(-36)$
$=-18-30+21=-27$.
(3)原式$=(-4)×(25+\frac{3}{4})=(-4)×25+(-4)×\frac{3}{4}$
$=-100-3=-103$.
(4)原式$=-7×(35+65)=-7×100=-700$.
(2)原式$=\frac{1}{2}×(-36)+\frac{5}{6}×(-36)-\frac{7}{12}×(-36)$
$=-18-30+21=-27$.
(3)原式$=(-4)×(25+\frac{3}{4})=(-4)×25+(-4)×\frac{3}{4}$
$=-100-3=-103$.
(4)原式$=-7×(35+65)=-7×100=-700$.
解析
【分析】
这四道题均考查有理数乘法的简便运算，解题核心是灵活运用乘法运算律简化计算，避免繁琐硬算。①第(1)题观察到-8与-0.125相乘结果为1，可利用乘法交换律调整运算顺序，先算乘积为整的部分，再乘剩余的数；②第(2)题括号内各分数的分母均是36的因数，利用乘法分配律将-36分别乘括号内每一项，可省略通分步骤，直接计算整数乘法；③第(3)题将带分数拆成整数加分数的形式，再用乘法分配律乘-4，拆分后计算更简便；④第(4)题两个乘法项有相同公因数-7，可逆用乘法分配律提取公因数，先算括号内加法凑整，再计算乘积即可。
【解析】
(1) 利用乘法交换律调整运算顺序：
原式$=(-8)×(-0.125)×3.14=1×3.14=3.14$
(2) 利用乘法分配律展开计算：
原式$=\frac{1}{2}×(-36)+\frac{5}{6}×(-36)-\frac{7}{12}×(-36)$
$=-18-30+21=-27$
(3) 先拆分带分数，再用乘法分配律计算：
原式$=(-4)×(25+\frac{3}{4})=(-4)×25+(-4)×\frac{3}{4}$
$=-100-3=-103$
(4) 逆用乘法分配律提取公因数计算：
原式$=-7×(35+65)=-7×100=-700$
【答案】
(1)$3.14$；(2)$-27$；(3)$-103$；(4)$-700$
【知识点】
乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律
【点评】
本题是有理数简便运算的常规题型，解题关键是观察算式的数字特征，灵活选用乘法运算律凑整简化计算，需注意运算过程中的符号问题，熟练掌握运算律的正向、逆向使用方法可大幅提升计算效率与准确率。
【难度系数】
0.85
这四道题均考查有理数乘法的简便运算，解题核心是灵活运用乘法运算律简化计算，避免繁琐硬算。①第(1)题观察到-8与-0.125相乘结果为1，可利用乘法交换律调整运算顺序，先算乘积为整的部分，再乘剩余的数；②第(2)题括号内各分数的分母均是36的因数，利用乘法分配律将-36分别乘括号内每一项，可省略通分步骤，直接计算整数乘法；③第(3)题将带分数拆成整数加分数的形式，再用乘法分配律乘-4，拆分后计算更简便；④第(4)题两个乘法项有相同公因数-7，可逆用乘法分配律提取公因数，先算括号内加法凑整，再计算乘积即可。
【解析】
(1) 利用乘法交换律调整运算顺序：
原式$=(-8)×(-0.125)×3.14=1×3.14=3.14$
(2) 利用乘法分配律展开计算：
原式$=\frac{1}{2}×(-36)+\frac{5}{6}×(-36)-\frac{7}{12}×(-36)$
$=-18-30+21=-27$
(3) 先拆分带分数，再用乘法分配律计算：
原式$=(-4)×(25+\frac{3}{4})=(-4)×25+(-4)×\frac{3}{4}$
$=-100-3=-103$
(4) 逆用乘法分配律提取公因数计算：
原式$=-7×(35+65)=-7×100=-700$
【答案】
(1)$3.14$；(2)$-27$；(3)$-103$；(4)$-700$
【知识点】
乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律
【点评】
本题是有理数简便运算的常规题型，解题关键是观察算式的数字特征，灵活选用乘法运算律凑整简化计算，需注意运算过程中的符号问题，熟练掌握运算律的正向、逆向使用方法可大幅提升计算效率与准确率。
【难度系数】
0.85
4. 学科特色 教材变式 下列各式中,积为负数的是 (
A.$(-5)×(-2)×(-3)×(-7)$
B.$(-5)×(-2)×|-3|$
C.$(-5)×2×0×(-7)$
D.$(-5)×2×(-3)×(-7)$
D
)A.$(-5)×(-2)×(-3)×(-7)$
B.$(-5)×(-2)×|-3|$
C.$(-5)×2×0×(-7)$
D.$(-5)×2×(-3)×(-7)$
答案
A选项中有4个负因数,故积为正数;B选项中有2个负因数,故积为正数;C选项中有0,故积为0;D选项中有3个负因数,故积为负数.故选D.
解析
【分析】
要判断多个有理数相乘的积的正负，需用到两个核心规则：一是若乘法算式中含有因数0，则积为0，0既不是正数也不是负数；二是若所有因数均不为0，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时，积为正数；负因数个数为奇数时，积为负数。解题时只需逐个分析每个选项的负因数个数、是否含0，即可判断积的正负，选出符合要求的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 算式$(-5)×(-2)×(-3)×(-7)$不含0因数，负因数共4个，4为偶数，因此积为正数，不符合题意；
B. 先化简绝对值得$|-3|=3$，算式变为$(-5)×(-2)×3$，负因数共2个，2为偶数，因此积为正数，不符合题意；
C. 算式$(-5)×2×0×(-7)$含有因数0，因此积为0，不是负数，不符合题意；
D. 算式$(-5)×2×(-3)×(-7)$不含0因数，负因数共3个，3为奇数，因此积为负数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法符号法则；绝对值的性质
【点评】
本题属于有理数乘法的基础考查题，只要熟练掌握多个有理数相乘的符号判断规则，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断多个有理数相乘的积的正负，需用到两个核心规则：一是若乘法算式中含有因数0，则积为0，0既不是正数也不是负数；二是若所有因数均不为0，积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为偶数时，积为正数；负因数个数为奇数时，积为负数。解题时只需逐个分析每个选项的负因数个数、是否含0，即可判断积的正负，选出符合要求的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 算式$(-5)×(-2)×(-3)×(-7)$不含0因数，负因数共4个，4为偶数，因此积为正数，不符合题意；
B. 先化简绝对值得$|-3|=3$，算式变为$(-5)×(-2)×3$，负因数共2个，2为偶数，因此积为正数，不符合题意；
C. 算式$(-5)×2×0×(-7)$含有因数0，因此积为0，不是负数，不符合题意；
D. 算式$(-5)×2×(-3)×(-7)$不含0因数，负因数共3个，3为奇数，因此积为负数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法符号法则；绝对值的性质
【点评】
本题属于有理数乘法的基础考查题，只要熟练掌握多个有理数相乘的符号判断规则，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
5.「2026安徽芜湖期中」如图所示的是5张写着不同数的卡片，从中抽取3张，使这3张卡片上数的积最小，则积的最小值是
-6 -5
+2 +4
-48
。-6 -5
+2 +4答案
-48
解析 要使3个数的积最小,那么积一定为负数,则这3张卡片上的数都为负数或有一个为负数,有两个为正数,因为$(-6)×(-5)×(-1)=-30,-6×2×4=-48,-5×2×4=-40,-1×2×4=-8$,所以积的最小值是-48.
解析 要使3个数的积最小,那么积一定为负数,则这3张卡片上的数都为负数或有一个为负数,有两个为正数,因为$(-6)×(-5)×(-1)=-30,-6×2×4=-48,-5×2×4=-40,-1×2×4=-8$,所以积的最小值是-48.
解析
【分析】
要找到3张卡片上数的积的最小值，首先明确：负数小于所有正数，因此乘积最小一定是负数。根据多个有理数相乘的符号规律：几个不为0的数相乘，负因数个数为奇数时，积为负，因此符合要求的选法分为两类：①选3个负数；②选1个负数和2个正数。接下来分别计算两类选法的所有可能乘积，再比较大小就能得到最小值。
【解析】
首先列出所有符合负因数个数为奇数的选法，分别计算乘积：
1. 选3个负数的情况：$(-6)×(-5)×(-1)=-30$
2. 选1个负数+2个正数的情况：
选$-6$时：$(-6)×2×4=-48$
选$-5$时：$(-5)×2×4=-40$
选$-1$时：$(-1)×2×4=-8$
将得到的负数比较大小：$-48 ＜ -40 ＜ -30 ＜ -8$，因此积的最小值是$-48$。
【答案】
$-48$
【知识点】
多个有理数相乘的符号判断、有理数乘法运算、有理数大小比较
【点评】
本题是有理数乘法的常见应用题型，解题的核心是先根据乘积最小的特征确定负因数的个数，再分类枚举所有符合要求的组合计算，注意不要遗漏可能的选数情况。
【难度系数】
0.7
要找到3张卡片上数的积的最小值，首先明确：负数小于所有正数，因此乘积最小一定是负数。根据多个有理数相乘的符号规律：几个不为0的数相乘，负因数个数为奇数时，积为负，因此符合要求的选法分为两类：①选3个负数；②选1个负数和2个正数。接下来分别计算两类选法的所有可能乘积，再比较大小就能得到最小值。
【解析】
首先列出所有符合负因数个数为奇数的选法，分别计算乘积：
1. 选3个负数的情况：$(-6)×(-5)×(-1)=-30$
2. 选1个负数+2个正数的情况：
选$-6$时：$(-6)×2×4=-48$
选$-5$时：$(-5)×2×4=-40$
选$-1$时：$(-1)×2×4=-8$
将得到的负数比较大小：$-48 ＜ -40 ＜ -30 ＜ -8$，因此积的最小值是$-48$。
【答案】
$-48$
【知识点】
多个有理数相乘的符号判断、有理数乘法运算、有理数大小比较
【点评】
本题是有理数乘法的常见应用题型，解题的核心是先根据乘积最小的特征确定负因数的个数，再分类枚举所有符合要求的组合计算，注意不要遗漏可能的选数情况。
【难度系数】
0.7
6.「2026河南郑州月考，★☆」若$(-9)×2025 = m$，则$(-9)×2026$可以表示为（
A.$m+9$
B.$m-9$
C.$m+1$
D.$-m+1$
B
）A.$m+9$
B.$m-9$
C.$m+1$
D.$-m+1$
答案
因为$(-9)×2025 = m$,所以$(-9)×2026 = (-9)×(2025+1)=(-9)×2025+(-9)×1=m+(-9)=m-9$,故选B.
解析
【分析】
解题时先观察所求算式和已知条件的关联：已知$(-9)×2025=m$，所求式子$(-9)×2026$中的因数2026可拆为$2025+1$，和已知条件里的2025直接相关。接下来利用乘法分配律展开所求算式，再将已知的$m$代入展开式计算，就能得到结果。
【解析】
已知$(-9)×2025 = m$，
把2026改写为$2025+1$，可得：
$\begin{aligned}(-9)×2026&= (-9)×(2025+1)\\&= (-9)×2025 + (-9)×1\\&= m + (-9)\\&= m-9\end{aligned}$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
乘法分配律、有理数乘法运算、代数式代入
【点评】
本题是有理数乘法运算律的基础应用类题目，解题核心是把所求式子的因数拆分为和已知条件相关的形式，结合运算律代入计算即可，熟练掌握乘法分配律就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时先观察所求算式和已知条件的关联：已知$(-9)×2025=m$，所求式子$(-9)×2026$中的因数2026可拆为$2025+1$，和已知条件里的2025直接相关。接下来利用乘法分配律展开所求算式，再将已知的$m$代入展开式计算，就能得到结果。
【解析】
已知$(-9)×2025 = m$，
把2026改写为$2025+1$，可得：
$\begin{aligned}(-9)×2026&= (-9)×(2025+1)\\&= (-9)×2025 + (-9)×1\\&= m + (-9)\\&= m-9\end{aligned}$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
乘法分配律、有理数乘法运算、代数式代入
【点评】
本题是有理数乘法运算律的基础应用类题目，解题核心是把所求式子的因数拆分为和已知条件相关的形式，结合运算律代入计算即可，熟练掌握乘法分配律就能快速解答。
【难度系数】
0.9
7.「2026安徽安庆桐城月考，★★」已知$M=(-1)×(-2)×(-3)×a$，$N=(-23)×(-34)×(-45)$。若$a$为负数，则$M$与$N$的差一定（
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.与$a$的取值有关
A
）A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.与$a$的取值有关
答案
因为$M=(-1)×(-2)×(-3)×a$,$a$为负数,所以$M$为4个负数的乘积,所以$M＞0$,因为$N=(-23)×(-34)×(-45)$,所以$N$为3个负数的乘积,所以$N＜0$,所以$M$与$N$的差一定大于0.故选A.
解析
【分析】
解题时要先运用有理数乘法的符号判定规则，分别确定M、N的正负性，再根据有理数减法的运算性质判断二者差的符号即可得出结论。具体思路：第一步先数M中负因数的个数，结合a为负数的条件判断M的正负；第二步数N中负因数的个数判断N的正负；第三步将M-N转化为M+(-N)，根据正负性判断最终结果的符号。
【解析】
首先判断M的符号：已知$M=(-1)×(-2)×(-3)×a$，且a为负数，可知相乘的因数中负因数共有4个，根据“几个不为0的有理数相乘，负因数个数为偶数时，积为正数”，可得$M＞0$；
再判断N的符号：$N=(-23)×(-34)×(-45)$，相乘的负因数共有3个，根据“几个不为0的有理数相乘，负因数个数为奇数时，积为负数”，可得$N＜0$；
最后判断$M-N$的符号：$M-N = M + (-N)$，因为$N＜0$，所以$-N＞0$，正数M加正数$(-N)$的结果一定是正数，即$M-N＞0$。
【答案】A
【知识点】
1.有理数乘法符号法则
2.有理数减法运算
【点评】
本题重点考查有理数乘法的符号判定及减法的运算性质，解题的核心是先准确判断M、N的正负，再结合减法法则推导差的符号，掌握基础运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时要先运用有理数乘法的符号判定规则，分别确定M、N的正负性，再根据有理数减法的运算性质判断二者差的符号即可得出结论。具体思路：第一步先数M中负因数的个数，结合a为负数的条件判断M的正负；第二步数N中负因数的个数判断N的正负；第三步将M-N转化为M+(-N)，根据正负性判断最终结果的符号。
【解析】
首先判断M的符号：已知$M=(-1)×(-2)×(-3)×a$，且a为负数，可知相乘的因数中负因数共有4个，根据“几个不为0的有理数相乘，负因数个数为偶数时，积为正数”，可得$M＞0$；
再判断N的符号：$N=(-23)×(-34)×(-45)$，相乘的负因数共有3个，根据“几个不为0的有理数相乘，负因数个数为奇数时，积为负数”，可得$N＜0$；
最后判断$M-N$的符号：$M-N = M + (-N)$，因为$N＜0$，所以$-N＞0$，正数M加正数$(-N)$的结果一定是正数，即$M-N＞0$。
【答案】A
【知识点】
1.有理数乘法符号法则
2.有理数减法运算
【点评】
本题重点考查有理数乘法的符号判定及减法的运算性质，解题的核心是先准确判断M、N的正负，再结合减法法则推导差的符号，掌握基础运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.「2026浙江绍兴上虞期末，★☆」分配律用式子可表示为$a(b+c)=ab+ac$.下列四个算式:①$-12×(1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})$;②$15×\dfrac{1}{3}-32×\dfrac{1}{8}+14×(-\dfrac{1}{7})$;③$18×(-\dfrac{1}{8})-18×\dfrac{1}{3}+18×0.125$;④$24×\dfrac{3}{5}-24+12×\dfrac{4}{5}$.适合用分配律来简化计算的是________.(填序号)
答案
①③④
解析 算式①中,用-12乘括号内的每一项,可简化计算;算式②不能用分配律简化计算;算式③④,逆用分配律可简化计算.故答案为①③④.
解析 算式①中,用-12乘括号内的每一项,可简化计算;算式②不能用分配律简化计算;算式③④,逆用分配律可简化计算.故答案为①③④.
解析
【分析】
解题时首先要明确乘法分配律包括正用（$a(b+c)=ab+ac$）和逆用（$ab+ac=a(b+c)$）两种形式：正用的特征是存在一个数乘几个数的和（或差），逆用的特征是几个乘法算式相加减且存在相同的公因数。接下来逐一分析4个算式的结构，判断是否符合上述两种特征，即可选出适合用分配律简化计算的算式。
【解析】
我们逐个分析每个算式：
①算式为$-12×(1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})$，属于乘法分配律的正用形式，用$-12$分别乘括号内的每一项，计算结果均为整数，无需先通分计算括号内的和，可大幅简化计算，适合用分配律；
②算式$15×\dfrac{1}{3}-32×\dfrac{1}{8}+14×(-\dfrac{1}{7})$中，三个乘法项没有共同的公因数，且每一项单独计算本身就很简便，无法用分配律简化，不适合；
③算式$18×(-\dfrac{1}{8})-18×\dfrac{1}{3}+18×0.125$中，$0.125=\dfrac{1}{8}$，三个乘法项都有共同因数18，属于乘法分配律的逆用形式，提取18后剩余的$-\dfrac{1}{8}$和$+\dfrac{1}{8}$可直接抵消，简化计算，适合用分配律；
④算式$24×\dfrac{3}{5}-24+12×\dfrac{4}{5}$可变形为$24×\dfrac{3}{5}+24×(-1)+24×\dfrac{2}{5}$，三个乘法项有共同因数24，逆用分配律提取24后剩余部分的和为0，计算非常简便，适合用分配律。
综上，适合用分配律简化计算的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
乘法分配律；有理数简便运算
【点评】
本题考查乘法分配律的灵活运用，解题的关键是观察算式结构，判断是否符合分配律正用或逆用的形式，逆用分配律时要注意找准相同的公因数，必要时可先对算式做简单变形再判断。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确乘法分配律包括正用（$a(b+c)=ab+ac$）和逆用（$ab+ac=a(b+c)$）两种形式：正用的特征是存在一个数乘几个数的和（或差），逆用的特征是几个乘法算式相加减且存在相同的公因数。接下来逐一分析4个算式的结构，判断是否符合上述两种特征，即可选出适合用分配律简化计算的算式。
【解析】
我们逐个分析每个算式：
①算式为$-12×(1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})$，属于乘法分配律的正用形式，用$-12$分别乘括号内的每一项，计算结果均为整数，无需先通分计算括号内的和，可大幅简化计算，适合用分配律；
②算式$15×\dfrac{1}{3}-32×\dfrac{1}{8}+14×(-\dfrac{1}{7})$中，三个乘法项没有共同的公因数，且每一项单独计算本身就很简便，无法用分配律简化，不适合；
③算式$18×(-\dfrac{1}{8})-18×\dfrac{1}{3}+18×0.125$中，$0.125=\dfrac{1}{8}$，三个乘法项都有共同因数18，属于乘法分配律的逆用形式，提取18后剩余的$-\dfrac{1}{8}$和$+\dfrac{1}{8}$可直接抵消，简化计算，适合用分配律；
④算式$24×\dfrac{3}{5}-24+12×\dfrac{4}{5}$可变形为$24×\dfrac{3}{5}+24×(-1)+24×\dfrac{2}{5}$，三个乘法项有共同因数24，逆用分配律提取24后剩余部分的和为0，计算非常简便，适合用分配律。
综上，适合用分配律简化计算的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
乘法分配律；有理数简便运算
【点评】
本题考查乘法分配律的灵活运用，解题的关键是观察算式结构，判断是否符合分配律正用或逆用的形式，逆用分配律时要注意找准相同的公因数，必要时可先对算式做简单变形再判断。
【难度系数】
0.7
9.「2026 安徽淮南期末改编，★☆」如果四个不同的整数m,n,p,q满足(5−m)(5−n)(5−p)(5−q)=4，且m＞n＞p＞q，那么整数m,q的积与n,p的积的差为多少？
答案
因为$m,n,p,q$是四个不同的整数,所以$5-m$,$5-n$,$5-p$,$5-q$都是整数且都不相同,因为$(5-m)(5-n)(5-p)(5-q)=4$,所以四个因数为$-2,-1,1,2$,由此得出$m,n,p,q$的取值为7,6,4,3,因为$m＞n＞p＞q$,所以$m=7,n=6,p=4,q=3$,因为$7×3-6×4=-3$,所以整数$m,q$的积与$n,p$的积的差为-3.
解析
【分析】
解题时先运用整体思想，把(5-m)、(5-n)、(5-p)、(5-q)看作四个新的整数。首先根据已知条件可知这四个整数互不相同且乘积为4，接下来分析4的整数分解可能：因为4的绝对值很小，若四个整数绝对值都≥3，乘积绝对值远大于4；且乘积为正说明负因数个数为偶数，排除4个正整数或4个负整数的情况（最小的4个不同正整数乘积为1×2×3×4=24＞4），因此只能是两个负整数、两个正整数，且绝对值都不超过2，即可确定四个因数为-2、-1、1、2。再结合m＞n＞p＞q的大小关系，求出m、n、p、q的取值，最后代入计算乘积的差即可。
【解析】
解：
∵m、n、p、q是四个不同的整数，
∴5-m、5-n、5-p、5-q也为互不相同的整数。
∵(5−m)(5−n)(5−p)(5−q)=4，
4可分解为四个互不相同整数的乘积：$\boldsymbol{4=(-2)×(-1)×1×2}$，
∴5-m、5-n、5-p、5-q的取值就是-2、-1、1、2。
又
∵m＞n＞p＞q，被减数相同的情况下减数越大差越小，
∴$5-m＜5-n＜5-p＜5-q$，
对应得：$5-m=-2$，$5-n=-1$，$5-p=1$，$5-q=2$，
分别解得：$m=7$，$n=6$，$p=4$，$q=3$。
代入计算乘积差：$mq-np=7×3 - 6×4=21-24=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
有理数乘法运算，整数因数分解，代数式求值
【点评】
本题的突破口是将括号内的式子看作整体，通过对乘积4进行合理的整数分解确定四个因数的取值，结合大小关系推导对应字母的值，重点考察有理数乘法的灵活运用和整体思想的应用，解题时要注意整数取值的互异性要求。
【难度系数】
0.7
解题时先运用整体思想，把(5-m)、(5-n)、(5-p)、(5-q)看作四个新的整数。首先根据已知条件可知这四个整数互不相同且乘积为4，接下来分析4的整数分解可能：因为4的绝对值很小，若四个整数绝对值都≥3，乘积绝对值远大于4；且乘积为正说明负因数个数为偶数，排除4个正整数或4个负整数的情况（最小的4个不同正整数乘积为1×2×3×4=24＞4），因此只能是两个负整数、两个正整数，且绝对值都不超过2，即可确定四个因数为-2、-1、1、2。再结合m＞n＞p＞q的大小关系，求出m、n、p、q的取值，最后代入计算乘积的差即可。
【解析】
解：
∵m、n、p、q是四个不同的整数，
∴5-m、5-n、5-p、5-q也为互不相同的整数。
∵(5−m)(5−n)(5−p)(5−q)=4，
4可分解为四个互不相同整数的乘积：$\boldsymbol{4=(-2)×(-1)×1×2}$，
∴5-m、5-n、5-p、5-q的取值就是-2、-1、1、2。
又
∵m＞n＞p＞q，被减数相同的情况下减数越大差越小，
∴$5-m＜5-n＜5-p＜5-q$，
对应得：$5-m=-2$，$5-n=-1$，$5-p=1$，$5-q=2$，
分别解得：$m=7$，$n=6$，$p=4$，$q=3$。
代入计算乘积差：$mq-np=7×3 - 6×4=21-24=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
有理数乘法运算，整数因数分解，代数式求值
【点评】
本题的突破口是将括号内的式子看作整体，通过对乘积4进行合理的整数分解确定四个因数的取值，结合大小关系推导对应字母的值，重点考察有理数乘法的灵活运用和整体思想的应用，解题时要注意整数取值的互异性要求。
【难度系数】
0.7
