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1 如图所示为一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成……则组成第n(n是正整数)个图案的基础图形的个数为
（
）
A.$3n - 1$
B.$3n + 1$
C.$4n - 1$
D.$4n$
（
）A.$3n - 1$
B.$3n + 1$
C.$4n - 1$
D.$4n$
答案
1. B
解析
【分析】
我们可以先统计前几个图案的基础图形个数，观察数量变化规律：第1个图案有4个基础图形，第2个比第1个多3个，第3个比第2个多3个，可知每增加1个图案，就新增3个基础图形。后续可以根据这个固定增量推导第n个图案的基础图形数量，也可以把n的特殊值代入选项验证，排除错误选项得到答案。
【解析】
解：观察图案可得：
第1个图案的基础图形个数：$4=3×1+1$
第2个图案的基础图形个数：$7=3×2+1$
第3个图案的基础图形个数：$10=3×3+1$
……
以此类推，第n个图案的基础图形个数为$3n+1$。
也可代入验证：将$n=1$代入选项，A得$3×1-1=2≠4$，C得$4×1-1=3≠4$，均排除；再将$n=2$代入剩余选项，B得$3×2+1=7$，符合题意，D得$4×2=8≠7$，排除，故选B。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是找到相邻图形基础图形数量的固定增量，结合首项推导通用表达式即可，也可通过代入特殊值的方法快速验证选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
我们可以先统计前几个图案的基础图形个数，观察数量变化规律：第1个图案有4个基础图形，第2个比第1个多3个，第3个比第2个多3个，可知每增加1个图案，就新增3个基础图形。后续可以根据这个固定增量推导第n个图案的基础图形数量，也可以把n的特殊值代入选项验证，排除错误选项得到答案。
【解析】
解：观察图案可得：
第1个图案的基础图形个数：$4=3×1+1$
第2个图案的基础图形个数：$7=3×2+1$
第3个图案的基础图形个数：$10=3×3+1$
……
以此类推，第n个图案的基础图形个数为$3n+1$。
也可代入验证：将$n=1$代入选项，A得$3×1-1=2≠4$，C得$4×1-1=3≠4$，均排除；再将$n=2$代入剩余选项，B得$3×2+1=7$，符合题意，D得$4×2=8≠7$，排除，故选B。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是找到相邻图形基础图形数量的固定增量，结合首项推导通用表达式即可，也可通过代入特殊值的方法快速验证选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2 新考向 探究题 如图①所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图②是其抽离出的平面图形，其中第1个图形中共有9个小正方形，第2个图形中共有14个小正方形，第3个图形中共有19个小正方形，…，则第50个图形中小正方形的个数为（
A.245
B.246
C.254
D.255
C
）A.245
B.246
C.254
D.255
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时先观察已知的前3个图形中小正方形的数量：第1个9个，第2个14个，第3个19个，可发现后一个图形比前一个图形多5个小正方形，属于固定增量的规律问题。我们可以先推导第n个图形的小正方形个数的通用表达式，再将n=50代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图形的小正方形数量：
第1个图形：$9 = 5×1 + 4$
第2个图形：$14 = 5×2 + 4$
第3个图形：$19 = 5×3 + 4$
……
由此可归纳得出，第n个图形中小正方形的个数为$5n + 4$。
当$n=50$时，小正方形的个数为：$5×50 + 4 = 250 + 4 = 254$。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是通过对比前几个图形的数量变化，找到固定增量，推导出通用的代数式，再代入对应数值求解，这类题是规律探究模块的常见考法。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题时先观察已知的前3个图形中小正方形的数量：第1个9个，第2个14个，第3个19个，可发现后一个图形比前一个图形多5个小正方形，属于固定增量的规律问题。我们可以先推导第n个图形的小正方形个数的通用表达式，再将n=50代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图形的小正方形数量：
第1个图形：$9 = 5×1 + 4$
第2个图形：$14 = 5×2 + 4$
第3个图形：$19 = 5×3 + 4$
……
由此可归纳得出，第n个图形中小正方形的个数为$5n + 4$。
当$n=50$时，小正方形的个数为：$5×50 + 4 = 250 + 4 = 254$。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是通过对比前几个图形的数量变化，找到固定增量，推导出通用的代数式，再代入对应数值求解，这类题是规律探究模块的常见考法。
【难度系数】
0.7
3 密码,是数学施展的“魔法”.它应用精妙的数学变换,将空中传输的通信内容转化为唯有掌握特定“密钥”才能解读的密文,从而守护信息的安全.一般来说,一个密码系统由明文、加密规则和密文三个基本要素构成,如图①所示.
小明将明文藏在如图③所示的信息中:
他以密文的形式发给妈妈.设定加密规则如下:信息的每一行从左向右数,取第n行的第m个字,用“(n,m)”表示所取汉字的密文,例如密文(1,1)表示“妈”.
【爱的密码】
(1) 小明想将明文“想,您”加密,则密文是
(2) 小明将m用如图②所示的加密规则转换成了新密文(n,M).
① 请将“努,力”转换成新密文;
② 若妈妈收到新密文“(4,3),(6,5),(5,13)”,请帮她翻译.
【规则评价】
(3) 图④是小明设计的另一种对m加密的规则,请评价该加密规则,并说明理由.
(第3题④)
小明将明文藏在如图③所示的信息中:
他以密文的形式发给妈妈.设定加密规则如下:信息的每一行从左向右数,取第n行的第m个字,用“(n,m)”表示所取汉字的密文,例如密文(1,1)表示“妈”.
【爱的密码】
(1) 小明想将明文“想,您”加密,则密文是
(2,3),(2,4)
.(2) 小明将m用如图②所示的加密规则转换成了新密文(n,M).
① 请将“努,力”转换成新密文;
② 若妈妈收到新密文“(4,3),(6,5),(5,13)”,请帮她翻译.
【规则评价】
(3) 图④是小明设计的另一种对m加密的规则,请评价该加密规则,并说明理由.
(第3题④)
答案
3. (1) (2,3),(2,4)
(2) ① “努”的密文是(5,3),转换成新密文为(5,3×2+1),即(5,7),“力”的密文是(5,4),转换成新密文为(5,4×2+1),即(5,9). 所以将“努,力”转换成新密文为(5,7),(5,9)
② 由(4,3),可得3=2m+1,解得m=1,所以密文为(4,1). 所以第4行的第1个字为我. 由(6,5),可得5=2m+1,解得m=2,所以密文为(6,2). 所以第6行的第2个字为能. 由(5,13),可得13=2m+1,解得m=6,所以密文为(5,6). 所以第5行的第6个字为学. 所以若妈妈收到新密文“(4,3),(6,5),(5,13)”,则为我,能,学
(3) 该加密规则不合理 理由:若m为奇数,则M还是偶数;若m为偶数,则新密文M为偶数. 所以在进行新密文M解密时,对应的m的值可能不唯一. 所以该加密规则不合理.
(2) ① “努”的密文是(5,3),转换成新密文为(5,3×2+1),即(5,7),“力”的密文是(5,4),转换成新密文为(5,4×2+1),即(5,9). 所以将“努,力”转换成新密文为(5,7),(5,9)
② 由(4,3),可得3=2m+1,解得m=1,所以密文为(4,1). 所以第4行的第1个字为我. 由(6,5),可得5=2m+1,解得m=2,所以密文为(6,2). 所以第6行的第2个字为能. 由(5,13),可得13=2m+1,解得m=6,所以密文为(5,6). 所以第5行的第6个字为学. 所以若妈妈收到新密文“(4,3),(6,5),(5,13)”,则为我,能,学
(3) 该加密规则不合理 理由:若m为奇数,则M还是偶数;若m为偶数,则新密文M为偶数. 所以在进行新密文M解密时,对应的m的值可能不唯一. 所以该加密规则不合理.
解析
【分析】
解题核心是先明确基础加密规则：密文(n,m)代表第n行从左向右数第m个汉字，再结合各小问要求逐步推导：
(1) 先定位“想”“您”两个汉字对应的行数和列数，直接对应写出密文即可；
(2) 已知新加密规则为行数n不变，新列数M=2m+1（m为原列数）：① 先找到“努”“力”对应的原(n,m)，代入公式计算新列数即可得到新密文；② 已知新密文的M，通过解一元一次方程M=2m+1求出原列数m，再查找对应位置的汉字即可解密；
(3) 合理的加密规则需要满足“解密时明文唯一”，若一个密文对应多个可能的明文，则规则不合理，据此分析给定规则即可。
【解析】
(1) 经查找，“想”对应第2行第3个汉字，“您”对应第2行第4个汉字，因此密文为(2,3),(2,4)。
(2) ① 经查找，“努”的原密文为(5,3)，代入新规则得M=3×2+1=7，即新密文为(5,7)；“力”的原密文为(5,4)，代入得M=4×2+1=9，即新密文为(5,9)，因此“努，力”的新密文为(5,7),(5,9)。
② 对三个新密文分别逆推求原列数m：
对(4,3)：列方程3=2m+1，解得m=1，对应第4行第1个汉字为“我”；
对(6,5)：列方程5=2m+1，解得m=2，对应第6行第2个汉字为“能”；
对(5,13)：列方程13=2m+1，解得m=6，对应第5行第6个汉字为“学”；
因此解密结果为“我，能，学”。
(3) 该加密规则不合理。理由：无论m为奇数还是偶数，加密得到的新密文M均为偶数，解密时一个M值会对应多个可能的m值，无法唯一确定原明文，因此规则不合理。
【答案】
3. (1) (2,3),(2,4)
(2) ① (5,7),(5,9)
② 我,能,学
(3) 该加密规则不合理 理由:若m为奇数,则M还是偶数;若m为偶数,则新密文M为偶数. 所以在进行新密文M解密时,对应的m的值可能不唯一. 所以该加密规则不合理.
【知识点】
有序数对应用，一元一次方程求解，一一对应关系
【点评】
本题以趣味密码为情境载体，将数学知识和生活应用结合，既考察了有序数对的读写和使用，也考察了一元一次方程的逆用，同时锻炼了逻辑推理能力，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
解题核心是先明确基础加密规则：密文(n,m)代表第n行从左向右数第m个汉字，再结合各小问要求逐步推导：
(1) 先定位“想”“您”两个汉字对应的行数和列数，直接对应写出密文即可；
(2) 已知新加密规则为行数n不变，新列数M=2m+1（m为原列数）：① 先找到“努”“力”对应的原(n,m)，代入公式计算新列数即可得到新密文；② 已知新密文的M，通过解一元一次方程M=2m+1求出原列数m，再查找对应位置的汉字即可解密；
(3) 合理的加密规则需要满足“解密时明文唯一”，若一个密文对应多个可能的明文，则规则不合理，据此分析给定规则即可。
【解析】
(1) 经查找，“想”对应第2行第3个汉字，“您”对应第2行第4个汉字，因此密文为(2,3),(2,4)。
(2) ① 经查找，“努”的原密文为(5,3)，代入新规则得M=3×2+1=7，即新密文为(5,7)；“力”的原密文为(5,4)，代入得M=4×2+1=9，即新密文为(5,9)，因此“努，力”的新密文为(5,7),(5,9)。
② 对三个新密文分别逆推求原列数m：
对(4,3)：列方程3=2m+1，解得m=1，对应第4行第1个汉字为“我”；
对(6,5)：列方程5=2m+1，解得m=2，对应第6行第2个汉字为“能”；
对(5,13)：列方程13=2m+1，解得m=6，对应第5行第6个汉字为“学”；
因此解密结果为“我，能，学”。
(3) 该加密规则不合理。理由：无论m为奇数还是偶数，加密得到的新密文M均为偶数，解密时一个M值会对应多个可能的m值，无法唯一确定原明文，因此规则不合理。
【答案】
3. (1) (2,3),(2,4)
(2) ① (5,7),(5,9)
② 我,能,学
(3) 该加密规则不合理 理由:若m为奇数,则M还是偶数;若m为偶数,则新密文M为偶数. 所以在进行新密文M解密时,对应的m的值可能不唯一. 所以该加密规则不合理.
【知识点】
有序数对应用，一元一次方程求解，一一对应关系
【点评】
本题以趣味密码为情境载体，将数学知识和生活应用结合，既考察了有序数对的读写和使用，也考察了一元一次方程的逆用，同时锻炼了逻辑推理能力，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
