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1.「2026江苏连云港赣榆期中」已知$\odot O$的半径为3 cm，圆心O到直线l的距离为2 cm，则l与$\odot O$的公共点个数为（
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
∵⊙O的半径为3 cm，圆心O到直线l的距离为2 cm，且2＜3，
∴直线l与⊙O相交，
∴直线l与⊙O有两个公共点.故选C.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确直线与圆的位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小，判断直线与圆的位置关系，再根据不同位置关系对应的公共点个数得到答案。具体步骤为：第一步先提取题中给出的半径$r$和距离$d$的数值，第二步比较$d$和$r$的大小，第三步对应位置关系得到公共点个数。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3\ \mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=2\ \mathrm{cm}$，
∵$2＜3$，即$d＜r$，
∴直线$l$与$\odot O$相交，
∵直线与圆相交时有2个公共点，
∴直线$l$与$\odot O$的公共点个数为2。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系；位置关系与公共点个数
【点评】
本题属于基础题，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，牢记距离与半径的大小对应关系、以及不同位置对应的公共点数量即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要明确直线与圆的位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小，判断直线与圆的位置关系，再根据不同位置关系对应的公共点个数得到答案。具体步骤为：第一步先提取题中给出的半径$r$和距离$d$的数值，第二步比较$d$和$r$的大小，第三步对应位置关系得到公共点个数。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3\ \mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=2\ \mathrm{cm}$，
∵$2＜3$，即$d＜r$，
∴直线$l$与$\odot O$相交，
∵直线与圆相交时有2个公共点，
∴直线$l$与$\odot O$的公共点个数为2。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系；位置关系与公共点个数
【点评】
本题属于基础题，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，牢记距离与半径的大小对应关系、以及不同位置对应的公共点数量即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2.「2026云南昆明官渡期中」已知直线$ l $与$ \odot O $相离，圆心$ O $到直线$ l $的距离为5 cm，则$ \odot O $的半径可能为（
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
A
）A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
答案
设⊙O的半径为r cm，
∵直线l与⊙O相离，且圆心O到直线l的距离为5 cm，
∴r＜5，结合选项可知选A.
∵直线l与⊙O相离，且圆心O到直线l的距离为5 cm，
∴r＜5，结合选项可知选A.
解析
【分析】
解题首先要回忆直线与圆的位置关系对应的判定规则：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相离时，满足d＞r。本题已知d=5cm，只需结合选项找出小于5cm的半径即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$ cm，
∵直线$l$与$\odot O$相离，圆心$O$到直线$l$的距离$d=5$ cm，
根据直线与圆相离的判定条件可得$d＞r$，即$r＜5$ cm，
结合选项，只有4cm符合要求，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是熟记直线与圆不同位置关系下圆心距和半径的大小关系，只要不混淆对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题首先要回忆直线与圆的位置关系对应的判定规则：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相离时，满足d＞r。本题已知d=5cm，只需结合选项找出小于5cm的半径即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$ cm，
∵直线$l$与$\odot O$相离，圆心$O$到直线$l$的距离$d=5$ cm，
根据直线与圆相离的判定条件可得$d＞r$，即$r＜5$ cm，
结合选项，只有4cm符合要求，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是熟记直线与圆不同位置关系下圆心距和半径的大小关系，只要不混淆对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3.「2026广东广州越秀期中」在平面直角坐标系中，点$P(3,-4)$，以$P$为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（
A.原点$O$在$\odot P$内
B.原点$O$在$\odot P$上
C.$\odot P$与$x$轴相切
D.$\odot P$与$y$轴相切
C
）A.原点$O$在$\odot P$内
B.原点$O$在$\odot P$上
C.$\odot P$与$x$轴相切
D.$\odot P$与$y$轴相切
答案
∵点P(3,-4)，
∴点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，到原点的距离为$\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵以P为圆心，4个单位长度为半径作圆，
∴原点O在⊙P外，⊙P与x轴相切，与y轴相交.故选C.
解析
【分析】
要解这道题，需先明确两类位置关系的判定规则：①点与圆：设点到圆心的距离为d，圆半径为r，d＜r时点在圆内，d=r时点在圆上，d＞r时点在圆外；②直线与圆：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，d=r时直线与圆相切，d＜r时相交，d＞r时相离。接下来我们分别计算圆心P到原点O的距离、到x轴的距离、到y轴的距离，再将各距离与半径4比较，逐一判断选项即可。
【解析】
解：已知圆心P的坐标为$(3,-4)$，$\odot P$的半径$r=4$。
1. 判断原点与$\odot P$的位置关系：由勾股定理得点P到原点O的距离$OP=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$，因为$5＞4$，所以原点O在$\odot P$外，故A、B选项错误；
2. 判断$\odot P$与x轴的位置关系：平面直角坐标系中点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$|-4|=4$，距离等于半径，因此$\odot P$与x轴相切，故C选项正确；
3. 判断$\odot P$与y轴的位置关系：点到y轴的距离为横坐标的绝对值，即$|3|=3$，因为$3＜4$，所以$\odot P$与y轴相交，故D选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系判定，直线与圆的位置关系判定，点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题是位置关系判定的基础题型，解题核心是准确计算圆心到对应点、对应直线的距离，再结合判定规则对比半径即可得出结论，熟练掌握距离计算方法和位置关系判定规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解这道题，需先明确两类位置关系的判定规则：①点与圆：设点到圆心的距离为d，圆半径为r，d＜r时点在圆内，d=r时点在圆上，d＞r时点在圆外；②直线与圆：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，d=r时直线与圆相切，d＜r时相交，d＞r时相离。接下来我们分别计算圆心P到原点O的距离、到x轴的距离、到y轴的距离，再将各距离与半径4比较，逐一判断选项即可。
【解析】
解：已知圆心P的坐标为$(3,-4)$，$\odot P$的半径$r=4$。
1. 判断原点与$\odot P$的位置关系：由勾股定理得点P到原点O的距离$OP=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$，因为$5＞4$，所以原点O在$\odot P$外，故A、B选项错误；
2. 判断$\odot P$与x轴的位置关系：平面直角坐标系中点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$|-4|=4$，距离等于半径，因此$\odot P$与x轴相切，故C选项正确；
3. 判断$\odot P$与y轴的位置关系：点到y轴的距离为横坐标的绝对值，即$|3|=3$，因为$3＜4$，所以$\odot P$与y轴相交，故D选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系判定，直线与圆的位置关系判定，点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题是位置关系判定的基础题型，解题核心是准确计算圆心到对应点、对应直线的距离，再结合判定规则对比半径即可得出结论，熟练掌握距离计算方法和位置关系判定规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 学科特色 教材变式 「2026云南昭通昭阳期末」
如图，$∠ AOB = 30°$, $C$ 为 $OB$ 上一点，且 $OC = 3$, $CD ⊥ OA$ 于点 $D$, 以点 $C$ 为圆心,2为半径的圆与直线 $OA$ 的位置关系是
如图，$∠ AOB = 30°$, $C$ 为 $OB$ 上一点，且 $OC = 3$, $CD ⊥ OA$ 于点 $D$, 以点 $C$ 为圆心,2为半径的圆与直线 $OA$ 的位置关系是
相交
。答案
答案 相交
解析 在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$OC=3$，$∠ AOB=30°$，$\therefore CD=\dfrac{1}{2}OC=1.5$.$\because 1.5＜2$，$\therefore$ 圆与直线$OA$相交.
解析 在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$OC=3$，$∠ AOB=30°$，$\therefore CD=\dfrac{1}{2}OC=1.5$.$\because 1.5＜2$，$\therefore$ 圆与直线$OA$相交.
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＜r时相交，d=r时相切，d＞r时相离。本题中CD⊥OA，因此CD就是圆心C到直线OA的距离，我们可以先利用含30°角的直角三角形的性质求出CD的长度，再和半径2比较，即可得出位置关系。
【解析】
解：
∵CD⊥OA，
∴∠ODC=90°，
在Rt△OCD中，∠AOB=30°，OC=3，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×3=1.5$
已知⊙C的半径r=2，
∵1.5＜2，即d＜r，
∴该圆与直线OA的位置关系是相交。
【答案】
相交
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是基础类考题，解题的关键是明确直线与圆位置关系的判定逻辑，结合特殊直角三角形的性质求出圆心到直线的距离，再与半径对比即可得到结论。
【难度系数】
0.8
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＜r时相交，d=r时相切，d＞r时相离。本题中CD⊥OA，因此CD就是圆心C到直线OA的距离，我们可以先利用含30°角的直角三角形的性质求出CD的长度，再和半径2比较，即可得出位置关系。
【解析】
解：
∵CD⊥OA，
∴∠ODC=90°，
在Rt△OCD中，∠AOB=30°，OC=3，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×3=1.5$
已知⊙C的半径r=2，
∵1.5＜2，即d＜r，
∴该圆与直线OA的位置关系是相交。
【答案】
相交
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是基础类考题，解题的关键是明确直线与圆位置关系的判定逻辑，结合特殊直角三角形的性质求出圆心到直线的距离，再与半径对比即可得到结论。
【难度系数】
0.8
5.「2025广东广州番禺期中」已知$\odot O$的圆心到直线$l$的距离是一元二次方程$x^2 - x -20=0$的一个根，若$\odot O$与直线$l$相离，则$\odot O$的半径可以是
3（答案不唯一）
。答案
答案 3（答案不唯一）
解析 $\because x^2-x-20=0$，$\therefore (x-5)(x+4)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-4$，
$\because \odot O$的圆心到直线$l$的距离是一元二次方程$x^2-x-20=0$的一个根，$\therefore$ 圆心到直线$l$的距离为5.
$\because \odot O$与直线$l$相离，$\therefore \odot O$的半径$r＜5$，
$\therefore \odot O$的半径可以是3(答案不唯一).
解析 $\because x^2-x-20=0$，$\therefore (x-5)(x+4)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-4$，
$\because \odot O$的圆心到直线$l$的距离是一元二次方程$x^2-x-20=0$的一个根，$\therefore$ 圆心到直线$l$的距离为5.
$\because \odot O$与直线$l$相离，$\therefore \odot O$的半径$r＜5$，
$\therefore \odot O$的半径可以是3(答案不唯一).
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，第一步先求解一元二次方程得到两个根，结合距离的非负性确定圆心到直线的距离d的具体值；再回忆直线与圆相离的判定规则：直线和圆相离时，圆心到直线的距离d大于圆的半径r，由此得到半径r的取值范围，在范围内任取一个正数即可得到答案。
【解析】
先解一元二次方程$x^2 - x -20=0$，因式分解得：
$(x-5)(x+4)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-4$。
因为圆心到直线$l$的距离为非负数，所以圆心到直线$l$的距离$d=5$。
已知$\odot O$与直线$l$相离，根据直线与圆相离的性质可得$r ＜ d$，即$r ＜ 5$，因此$\odot O$的半径可以取3（答案不唯一，任意小于5的正数均可）。
【答案】
3（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的解法；直线与圆的位置关系；距离的非负性
【点评】
本题属于基础综合题，同时考查一元二次方程求解和直线与圆位置关系的知识点，易错点是容易忽略距离的非负性错取负根，以及记反相离时半径和距离的大小关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手，第一步先求解一元二次方程得到两个根，结合距离的非负性确定圆心到直线的距离d的具体值；再回忆直线与圆相离的判定规则：直线和圆相离时，圆心到直线的距离d大于圆的半径r，由此得到半径r的取值范围，在范围内任取一个正数即可得到答案。
【解析】
先解一元二次方程$x^2 - x -20=0$，因式分解得：
$(x-5)(x+4)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-4$。
因为圆心到直线$l$的距离为非负数，所以圆心到直线$l$的距离$d=5$。
已知$\odot O$与直线$l$相离，根据直线与圆相离的性质可得$r ＜ d$，即$r ＜ 5$，因此$\odot O$的半径可以取3（答案不唯一，任意小于5的正数均可）。
【答案】
3（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的解法；直线与圆的位置关系；距离的非负性
【点评】
本题属于基础综合题，同时考查一元二次方程求解和直线与圆位置关系的知识点，易错点是容易忽略距离的非负性错取负根，以及记反相离时半径和距离的大小关系。
【难度系数】
0.8
6.「2026山东聊城东昌府期中，★☆」已知$\odot O$的半径为6 cm，点P在直线l上.若$OP=6$ cm，则直线l与$\odot O$的位置关系是 （
A.相离
B.相切
C.相交或相切
D.都有可能
C
）A.相离
B.相切
C.相交或相切
D.都有可能
答案
设点O到直线l的距离为d cm，
∵点P在直线l上，且OP=6 cm，
∴0≤d≤6，
∵⊙O的半径为6 cm，
∴当0≤d＜6时，直线l与⊙O相交；当d=6时，直线l与⊙O相切.
∴直线l与⊙O的位置关系是相交或相切.故选C.
∵点P在直线l上，且OP=6 cm，
∴0≤d≤6，
∵⊙O的半径为6 cm，
∴当0≤d＜6时，直线l与⊙O相交；当d=6时，直线l与⊙O相切.
∴直线l与⊙O的位置关系是相交或相切.故选C.
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆位置关系的判定依据：通过比较圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小判断位置关系。本题已知圆半径$r=6cm$，$OP=6cm$，但要注意$OP$是圆心到直线上点$P$的连线长度，不是圆心到直线的距离。根据垂线段最短的性质，圆心到直线的垂线段长度$d$是点$O$到直线$l$的最短距离，因此$d≤ OP=6cm$，再结合$d≥0$得到$d$的取值范围，最后分类讨论$d$和$r$的大小关系即可得出结论。
【解析】
设点$O$到直线$l$的距离为$d\ \mathrm{cm}$，
∵点$P$在直线$l$上，且$OP=6\ \mathrm{cm}$，
根据垂线段最短可得$0≤ d≤6$，
∵$\odot O$的半径为$6\ \mathrm{cm}$，
∴当$0≤ d＜6$时，直线$l$与$\odot O$相交；当$d=6$时，直线$l$与$\odot O$相切。
∴直线$l$与$\odot O$的位置关系是相交或相切。故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定，垂线段的性质，点到直线的距离
【点评】
本题易错点是误将$OP$的长度直接当作圆心到直线的距离，错选相切选项。解题核心是明确圆心到直线的距离是垂线段长度，结合垂线段最短得到距离的取值范围后分类讨论即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆直线与圆位置关系的判定依据：通过比较圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小判断位置关系。本题已知圆半径$r=6cm$，$OP=6cm$，但要注意$OP$是圆心到直线上点$P$的连线长度，不是圆心到直线的距离。根据垂线段最短的性质，圆心到直线的垂线段长度$d$是点$O$到直线$l$的最短距离，因此$d≤ OP=6cm$，再结合$d≥0$得到$d$的取值范围，最后分类讨论$d$和$r$的大小关系即可得出结论。
【解析】
设点$O$到直线$l$的距离为$d\ \mathrm{cm}$，
∵点$P$在直线$l$上，且$OP=6\ \mathrm{cm}$，
根据垂线段最短可得$0≤ d≤6$，
∵$\odot O$的半径为$6\ \mathrm{cm}$，
∴当$0≤ d＜6$时，直线$l$与$\odot O$相交；当$d=6$时，直线$l$与$\odot O$相切。
∴直线$l$与$\odot O$的位置关系是相交或相切。故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定，垂线段的性质，点到直线的距离
【点评】
本题易错点是误将$OP$的长度直接当作圆心到直线的距离，错选相切选项。解题核心是明确圆心到直线的距离是垂线段长度，结合垂线段最短得到距离的取值范围后分类讨论即可。
【难度系数】
0.6
7.「★☆」以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线$y=-x+b$与$\odot O$相交，则$b$的取值范围是（
A.$0≤ b＜2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}≤ b≤ 2\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}＜b＜2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
D
）A.$0≤ b＜2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}≤ b≤ 2\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}＜b＜2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
答案
当直线$y=-x+b$与$\odot O$相切，且函数图象经过第一、二、四象限时，
，连接圆心O和切点C，则OC=2，对于$y=-x+b$，令$x=0$，则$y=b$，令$y=0$，则$x=b$，
∴直线$y=-x+b$与y轴的交点是$B(0,b)$，与x轴的交点是$A(b,0)$，
∴$OA=OB$，
∵$∠ AOB=90°$，
∴$∠ ABO=∠ BAO=45°$，
∴$OA=OB=\sqrt{2}OC=2\sqrt{2}$，
∴$b=2\sqrt{2}$；同理，当直线$y=-x+b$与$\odot O$相切，且函数图象经过第二、三、四象限时，$b=-2\sqrt{2}$，
∴若直线$y=-x+b$与$\odot O$相交，则$b$的取值范围是$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$.故选D.
解析
【分析】
解题时先明确直线与圆相交的临界情况为相切，此时圆心到直线的距离等于圆的半径，求出相切时b的临界值后，即可得到相交时b的取值范围。首先找到直线与x轴、y轴的交点，可判断交点与原点构成等腰直角三角形，再结合切线垂直于过切点的半径的性质，计算出相切时b的正负临界值，注意相切不属于相交，因此最终取值范围为开区间。
【解析】
当直线$y=-x+b$与$\odot O$相切，且函数图象经过第一、二、四象限时，，连接圆心O和切点C，则OC=2，且$OC⊥ AB$。
对于$y=-x+b$，令$x=0$，则$y=b$，即直线与y轴的交点是$B(0,b)$；令$y=0$，则$x=b$，即直线与x轴的交点是$A(b,0)$。
$\therefore OA=OB$，又$∠ AOB=90°$，$\therefore △ AOB$是等腰直角三角形，$∠ ABO=45°$。
在$Rt△ OBC$中，$OC=2$，$∠ OBC=45°$，$\therefore OB=\frac{OC}{\sin45°}=2\sqrt{2}$，即此时$b=2\sqrt{2}$。
同理，当直线$y=-x+b$与$\odot O$相切，且函数图象经过第二、三、四象限时，可得$b=-2\sqrt{2}$。
直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，因此b的取值介于两个相切的临界值之间，即$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$。
【答案】
$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$，故选D。
【知识点】
直线与圆的位置关系；一次函数的图象；切线的性质
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的常规考题，解题关键是抓住相切这一临界状态求出参数的临界值，解题时要注意相交不包含相切的情况，避免误选带等号的区间选项，通过几何图形性质求解比代数法更直观简便。
【难度系数】
0.7
解题时先明确直线与圆相交的临界情况为相切，此时圆心到直线的距离等于圆的半径，求出相切时b的临界值后，即可得到相交时b的取值范围。首先找到直线与x轴、y轴的交点，可判断交点与原点构成等腰直角三角形，再结合切线垂直于过切点的半径的性质，计算出相切时b的正负临界值，注意相切不属于相交，因此最终取值范围为开区间。
【解析】
当直线$y=-x+b$与$\odot O$相切，且函数图象经过第一、二、四象限时，
，连接圆心O和切点C，则OC=2，且$OC⊥ AB$。对于$y=-x+b$，令$x=0$，则$y=b$，即直线与y轴的交点是$B(0,b)$；令$y=0$，则$x=b$，即直线与x轴的交点是$A(b,0)$。
$\therefore OA=OB$，又$∠ AOB=90°$，$\therefore △ AOB$是等腰直角三角形，$∠ ABO=45°$。
在$Rt△ OBC$中，$OC=2$，$∠ OBC=45°$，$\therefore OB=\frac{OC}{\sin45°}=2\sqrt{2}$，即此时$b=2\sqrt{2}$。
同理，当直线$y=-x+b$与$\odot O$相切，且函数图象经过第二、三、四象限时，可得$b=-2\sqrt{2}$。
直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，因此b的取值介于两个相切的临界值之间，即$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$。
【答案】
$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$，故选D。
【知识点】
直线与圆的位置关系；一次函数的图象；切线的性质
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的常规考题，解题关键是抓住相切这一临界状态求出参数的临界值，解题时要注意相交不包含相切的情况，避免误选带等号的区间选项，通过几何图形性质求解比代数法更直观简便。
【难度系数】
0.7
8.「2026安徽芜湖月考，★★☆」如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别相交于A(6,0)，B两点，∠BAO=30°，圆心P的坐标为(-2,0)，⊙P与y轴相切于原点O，若将⊙P沿x轴向右平移，当⊙P与直线AB的位置关系是相交时，横坐标为整数的点P的个数是 (
A.7
B.8
C.9
D.10
A
)A.7
B.8
C.9
D.10
答案
如图，当点P运动到$P_1,P_2$的位置时，$\odot P$与直线AB相切，当点P在$P_1,P_2$之间移动时，$\odot P$与直线AB相交.设$\odot P_1$与直线AB相切于点C，$\odot P_2$与直线AB相切于点D，连接$P_1C,P_2D$.
∵$A(6,0)$，
∴$OA=6$，
∵$P(-2,0)$，
∴$OP=2$，
∵$\odot P_1$与直线AB相切，
∴$∠ P_1CA=90°$，$CP_1=OP=2$，
∵$∠ BAO=30°$，
∴$AP_1=2CP_1=4$，
∴$OP_1=OA-AP_1=2$，同理$AP_2=4$，
∴$OP_2=OA+AP_2=10$，
∴$P_1(2,0)$，$P_2(10,0)$，
∴当$\odot P$与直线AB相交时，满足条件的点P的横坐标可以为3,4,5,6,7,8,9，共7个.故选A.
解析
【分析】
本题属于直线与圆位置关系的应用类题型，解题思路如下：
1. 首先确定⊙P的半径：由初始位置⊙P与y轴相切于原点，圆心P(-2,0)，可得半径r=2；
2. 明确位置关系的判定条件：直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；相交时距离小于半径，因此我们先找相切的两个临界位置，即可得到相交时圆心P的横坐标范围；
3. 利用∠BAO=30°和切线垂直于过切点的半径的性质，构造直角三角形，结合30°直角三角形的边长关系求出两个临界位置的P点坐标；
4. 最后统计横坐标范围内的整数个数即可得到答案。
【解析】
已知⊙P初始与y轴相切于原点O，圆心P坐标为(-2,0)，因此⊙P的半径$r=2$。
当⊙P沿x轴向右平移到与直线AB相切时，存在两个临界位置$P_1$、$P_2$：
设$\odot P_1$与直线AB相切于点C，$\odot P_2$与直线AB相切于点D，连接$P_1C$、$P_2D$，根据切线的性质可得$P_1C ⊥ AB$，$P_2D ⊥ AB$，且$P_1C=P_2D=r=2$。
已知$A(6,0)$，故$OA=6$，又$∠ BAO=30°$，在$Rt△ P_1CA$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此$AP_1=2P_1C=2×2=4$，可得$P_1$的横坐标为$OA-AP_1=6-4=2$，即$P_1(2,0)$；
同理，在$Rt△ P_2DA$中，$AP_2=2P_2D=4$，因此$P_2$的横坐标为$OA+AP_2=6+4=10$，即$P_2(10,0)$。
当⊙P与直线AB相交时，圆心P的横坐标需满足$2 ＜ x ＜ 10$，其中横坐标为整数的有3、4、5、6、7、8、9，共7个。
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系，切线的性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】本题考查直线与圆位置关系的实际应用，解题核心是先找到圆与直线相切的临界位置确定取值范围，再统计符合条件的整数点，需注意相切是临界状态，不属于相交，避免误算端点值。
【难度系数】0.6
本题属于直线与圆位置关系的应用类题型，解题思路如下：
1. 首先确定⊙P的半径：由初始位置⊙P与y轴相切于原点，圆心P(-2,0)，可得半径r=2；
2. 明确位置关系的判定条件：直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；相交时距离小于半径，因此我们先找相切的两个临界位置，即可得到相交时圆心P的横坐标范围；
3. 利用∠BAO=30°和切线垂直于过切点的半径的性质，构造直角三角形，结合30°直角三角形的边长关系求出两个临界位置的P点坐标；
4. 最后统计横坐标范围内的整数个数即可得到答案。
【解析】
已知⊙P初始与y轴相切于原点O，圆心P坐标为(-2,0)，因此⊙P的半径$r=2$。
当⊙P沿x轴向右平移到与直线AB相切时，存在两个临界位置$P_1$、$P_2$：
设$\odot P_1$与直线AB相切于点C，$\odot P_2$与直线AB相切于点D，连接$P_1C$、$P_2D$，根据切线的性质可得$P_1C ⊥ AB$，$P_2D ⊥ AB$，且$P_1C=P_2D=r=2$。
已知$A(6,0)$，故$OA=6$，又$∠ BAO=30°$，在$Rt△ P_1CA$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此$AP_1=2P_1C=2×2=4$，可得$P_1$的横坐标为$OA-AP_1=6-4=2$，即$P_1(2,0)$；
同理，在$Rt△ P_2DA$中，$AP_2=2P_2D=4$，因此$P_2$的横坐标为$OA+AP_2=6+4=10$，即$P_2(10,0)$。
当⊙P与直线AB相交时，圆心P的横坐标需满足$2 ＜ x ＜ 10$，其中横坐标为整数的有3、4、5、6、7、8、9，共7个。
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系，切线的性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】本题考查直线与圆位置关系的实际应用，解题核心是先找到圆与直线相切的临界位置确定取值范围，再统计符合条件的整数点，需注意相切是临界状态，不属于相交，避免误算端点值。
【难度系数】0.6
9.「★☆」如图，已知$\odot P$的半径为3，圆心P在抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 -1$上运动，当$\odot P$与y轴相切时，圆心P的坐标为
(3,2)或(-3,2)
。答案
答案 (3,2)或(-3,2)
解析
∵$\odot P$与y轴相切，$\odot P$的半径为3，
∴点P到y轴的距离等于3，
∴点P的横坐标为3或-3，
当$x=3$时，代入可得$y=\dfrac{1}{3}×3^2-1=2$，此时点P的坐标为$(3,2)$；
当$x=-3$时，代入可得$y=\dfrac{1}{3}×(-3)^2-1=2$，此时点P的坐标为$(-3,2)$.
综上可知，点P的坐标为$(3,2)$或$(-3,2)$.
解析
∵$\odot P$与y轴相切，$\odot P$的半径为3，
∴点P到y轴的距离等于3，
∴点P的横坐标为3或-3，
当$x=3$时，代入可得$y=\dfrac{1}{3}×3^2-1=2$，此时点P的坐标为$(3,2)$；
当$x=-3$时，代入可得$y=\dfrac{1}{3}×(-3)^2-1=2$，此时点P的坐标为$(-3,2)$.
综上可知，点P的坐标为$(3,2)$或$(-3,2)$.
解析
【分析】
解题时先结合圆与y轴相切的性质思考：圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径。本题中y轴是切线，所以圆心P到y轴的距离等于⊙P的半径3，而点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值，因此可先确定点P横坐标的可能取值；再结合圆心P在抛物线上，将横坐标代入抛物线解析式即可求出对应的纵坐标，注意横坐标有正负两种情况，不要漏解。
【解析】
∵$\odot P$与y轴相切，$\odot P$的半径为3，
∴圆心P到y轴的距离等于半径3，即点P的横坐标的绝对值为3，
∴点P的横坐标为3或-3。
当$x=3$时，代入抛物线解析式$y=\frac{1}{3}x^2 -1$，得$y=\frac{1}{3}×3^2 -1=3-1=2$，此时点P坐标为$(3,2)$；
当$x=-3$时，代入抛物线解析式$y=\frac{1}{3}x^2 -1$，得$y=\frac{1}{3}×(-3)^2 -1=3-1=2$，此时点P坐标为$(-3,2)$。
综上，圆心P的坐标为$(3,2)$或$(-3,2)$。
【答案】
$(3,2)$或$(-3,2)$
【知识点】
直线与圆相切的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用切线的性质确定圆心横坐标的取值，再结合二次函数解析式求纵坐标，解题时注意不要遗漏横坐标为负的情况。
【难度系数】
0.8
解题时先结合圆与y轴相切的性质思考：圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径。本题中y轴是切线，所以圆心P到y轴的距离等于⊙P的半径3，而点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值，因此可先确定点P横坐标的可能取值；再结合圆心P在抛物线上，将横坐标代入抛物线解析式即可求出对应的纵坐标，注意横坐标有正负两种情况，不要漏解。
【解析】
∵$\odot P$与y轴相切，$\odot P$的半径为3，
∴圆心P到y轴的距离等于半径3，即点P的横坐标的绝对值为3，
∴点P的横坐标为3或-3。
当$x=3$时，代入抛物线解析式$y=\frac{1}{3}x^2 -1$，得$y=\frac{1}{3}×3^2 -1=3-1=2$，此时点P坐标为$(3,2)$；
当$x=-3$时，代入抛物线解析式$y=\frac{1}{3}x^2 -1$，得$y=\frac{1}{3}×(-3)^2 -1=3-1=2$，此时点P坐标为$(-3,2)$。
综上，圆心P的坐标为$(3,2)$或$(-3,2)$。
【答案】
$(3,2)$或$(-3,2)$
【知识点】
直线与圆相切的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用切线的性质确定圆心横坐标的取值，再结合二次函数解析式求纵坐标，解题时注意不要遗漏横坐标为负的情况。
【难度系数】
0.8
10. 学科特色 易错题 「2026湖北武汉江夏期末，★☆」如图，已知Rt△ABC中，AC=6，BC=8，以C为圆心，r为半径作圆。若此圆与线段AB只有一个公共点，则r的取值范围为
r=4.8或6＜r≤8
。答案
答案 $r=4.8$或$6＜r≤8$
解析 过C作$CH⊥ AB$于H(图略)，
∵$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$，
∵$△ ABC$的面积$=\dfrac{1}{2}AB· CH=\dfrac{1}{2}AC· BC$，
∴$10CH=6×8$，
∴$CH=4.8$，当$\odot C$与AB相切时，圆与线段AB只有一个公共点，
∴$r=CH=4.8$；
当$\odot C$的半径大于AC的长且小于或等于BC的长时，圆与线段AB只有一个公共点，
∴$6＜r≤8$.
∴$r$的取值范围为$r=4.8$或$6＜r≤8$.
解析 过C作$CH⊥ AB$于H(图略)，
∵$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$，
∵$△ ABC$的面积$=\dfrac{1}{2}AB· CH=\dfrac{1}{2}AC· BC$，
∴$10CH=6×8$，
∴$CH=4.8$，当$\odot C$与AB相切时，圆与线段AB只有一个公共点，
∴$r=CH=4.8$；
当$\odot C$的半径大于AC的长且小于或等于BC的长时，圆与线段AB只有一个公共点，
∴$6＜r≤8$.
∴$r$的取值范围为$r=4.8$或$6＜r≤8$.
解析
【分析】
解决本题需分两类情况讨论⊙C与线段AB只有一个公共点的情形：第一类是圆与AB所在直线相切，此时切点在线段AB上，仅存在1个公共点；第二类是圆与线段AB相交但仅交于1点，即点A在圆内、点B在圆上或圆外。解题时先通过勾股定理计算斜边AB的长度，再用面积法求出斜边上的高（即圆与AB相切时的半径），最后结合线段端点到圆心C的距离分析半径的取值范围即可。
【解析】
过点C作$CH⊥AB$于点H。
∵在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
∴由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵$△ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB·CH$，也可表示为$\frac{1}{2}AC·BC$，
∴$\frac{1}{2}×10×CH=\frac{1}{2}×6×8$，解得$CH=4.8$。
分两种情况讨论：
1. 当⊙C与AB相切时，圆与线段AB只有1个公共点（切点），此时半径$r=CH=4.8$；
2. 当⊙C的半径满足$6＜r≤8$时，点A在圆内，点B在圆上或圆外，此时圆与线段AB仅存在1个交点。
综上，r的取值范围是$r=4.8$或$6＜r≤8$。
【答案】
$r=4.8$或$6＜r≤8$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题为易错题，解题时需注意区分“圆与直线仅有一个公共点”和“圆与线段仅有一个公共点”的差异，不要遗漏半径在6到8之间的情况，同时要注意端点取值的合理性，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题需分两类情况讨论⊙C与线段AB只有一个公共点的情形：第一类是圆与AB所在直线相切，此时切点在线段AB上，仅存在1个公共点；第二类是圆与线段AB相交但仅交于1点，即点A在圆内、点B在圆上或圆外。解题时先通过勾股定理计算斜边AB的长度，再用面积法求出斜边上的高（即圆与AB相切时的半径），最后结合线段端点到圆心C的距离分析半径的取值范围即可。
【解析】
过点C作$CH⊥AB$于点H。
∵在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
∴由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵$△ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB·CH$，也可表示为$\frac{1}{2}AC·BC$，
∴$\frac{1}{2}×10×CH=\frac{1}{2}×6×8$，解得$CH=4.8$。
分两种情况讨论：
1. 当⊙C与AB相切时，圆与线段AB只有1个公共点（切点），此时半径$r=CH=4.8$；
2. 当⊙C的半径满足$6＜r≤8$时，点A在圆内，点B在圆上或圆外，此时圆与线段AB仅存在1个交点。
综上，r的取值范围是$r=4.8$或$6＜r≤8$。
【答案】
$r=4.8$或$6＜r≤8$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题为易错题，解题时需注意区分“圆与直线仅有一个公共点”和“圆与线段仅有一个公共点”的差异，不要遗漏半径在6到8之间的情况，同时要注意端点取值的合理性，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
