登录
1.「2026北京西城月考」某种商品每件的进价为30元，经调查表明，在某段时间内，若以每件x元(30≤x≤40，且x为整数)的价格出售，可卖出(42−x)件，要使利润最大，每件的售价应为 (
A.34元
B.35元
C.36元
D.38元
C
)A.34元
B.35元
C.36元
D.38元
答案
设利润为w元,则w=(x-30)(42-x)=-(x-36)²+36,
∵30≤x≤40,-1＜0,
∴当x=36时,w取最大值,
∴每件的售价应为36元.故选C.
∵30≤x≤40,-1＜0,
∴当x=36时,w取最大值,
∴每件的售价应为36元.故选C.
解析
【分析】
解题时首先回忆销售问题的核心公式：总利润=单件利润×销售数量。第一步，先确定单件利润和销售数量的表达式：单件利润为售价减进价，即(x-30)元，销售数量题目直接给出为(42-x)件；第二步，根据公式列出利润w关于售价x的函数关系式，可得到一个二次函数；第三步，结合二次函数的最值性质求解：因为二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，再验证顶点的横坐标是否在题目给出的x的取值范围30≤x≤40内，若在范围内，该横坐标就是使利润最大的售价。
【解析】
设利润为w元，根据总利润的计算公式可得：
w=(x-30)(42-x)
展开并配方得：
w=-x²+72x-1260=-(x-36)²+36
∵二次项系数-1＜0，
∴抛物线开口向下，函数存在最大值
又
∵30≤x≤40，顶点横坐标x=36在该取值范围内
∴当x=36时，w取得最大值，即此时利润最大
因此每件的售价应为36元，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
销售利润计算；二次函数的实际应用；二次函数最值求解
【点评】
本题是销售类最值问题的常考题型，核心是先结合题意建立正确的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要格外注意自变量的取值范围需符合实际意义，避免忽略取值范围错误选取最值点。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆销售问题的核心公式：总利润=单件利润×销售数量。第一步，先确定单件利润和销售数量的表达式：单件利润为售价减进价，即(x-30)元，销售数量题目直接给出为(42-x)件；第二步，根据公式列出利润w关于售价x的函数关系式，可得到一个二次函数；第三步，结合二次函数的最值性质求解：因为二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，再验证顶点的横坐标是否在题目给出的x的取值范围30≤x≤40内，若在范围内，该横坐标就是使利润最大的售价。
【解析】
设利润为w元，根据总利润的计算公式可得：
w=(x-30)(42-x)
展开并配方得：
w=-x²+72x-1260=-(x-36)²+36
∵二次项系数-1＜0，
∴抛物线开口向下，函数存在最大值
又
∵30≤x≤40，顶点横坐标x=36在该取值范围内
∴当x=36时，w取得最大值，即此时利润最大
因此每件的售价应为36元，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
销售利润计算；二次函数的实际应用；二次函数最值求解
【点评】
本题是销售类最值问题的常考题型，核心是先结合题意建立正确的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要格外注意自变量的取值范围需符合实际意义，避免忽略取值范围错误选取最值点。
【难度系数】
0.7
2.「2026浙江杭州期中」某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个22元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量$y$(个)与销售单价$x$(元)有如下关系：$y=-2x+100(22≤x≤50)$，设这种健身球每天的销售利润为$w$元.
(1)如果销售单价定为30元，那么该种健身球每天的销售量是
(2)求$w$与$x$之间的函数表达式.
(3)当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(1)如果销售单价定为30元，那么该种健身球每天的销售量是
40
个.(2)求$w$与$x$之间的函数表达式.
(3)当该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
答案
(1)40.
(2)根据题意,得w=(x-22)(-2x+100)=-2x²+144x-2200,
∴w与x之间的函数关系式为w=-2x²+144x-2200(22≤x≤50).
(3)w=-2x²+144x-2200=-2(x-36)²+392,
∵-2＜0,
∴当x=36时,w取最大值,为392.
答:当该种健身球销售单价定为36元时,每天的销售利润最大,最大利润是392元.
(2)根据题意,得w=(x-22)(-2x+100)=-2x²+144x-2200,
∴w与x之间的函数关系式为w=-2x²+144x-2200(22≤x≤50).
(3)w=-2x²+144x-2200=-2(x-36)²+392,
∵-2＜0,
∴当x=36时,w取最大值,为392.
答:当该种健身球销售单价定为36元时,每天的销售利润最大,最大利润是392元.
解析
【分析】
(1) 已知销售量$y$与销售单价$x$的函数关系，要求单价为30元时的销售量，直接将$x=30$代入$y=-2x+100$计算即可。
(2) 销售利润的计算公式为：总利润=单个商品利润×销售量，单个利润为$(x-22)$元，销售量为$y=-2x+100$，将两者相乘后整理即可得到$w$与$x$的函数表达式，注意标注$x$的取值范围。
(3) 得到的$w$是关于$x$的二次函数，且二次项系数为负，图象开口向下，在顶点处取得最大值。先将函数配方为顶点式，判断顶点横坐标是否在$x$的取值范围内，即可求出最大利润和对应的销售单价。
【解析】
(1) 把$x=30$代入$y=-2x+100$，得$y=-2×30+100=40$。
(2) 根据题意，单个健身球的利润为$(x-22)$元，每天的销售量为$(-2x+100)$个，因此：
$w=(x-22)(-2x+100)=-2x^2+144x-2200$
结合$x$的取值范围，可得$w$与$x$的函数关系式为$w=-2x^2+144x-2200(22≤ x≤50)$。
(3) 将函数解析式配方得：
$w=-2x^2+144x-2200=-2(x-36)^2+392$
$\because-2＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=36$时，$w$取最大值，且$x=36$在$22≤ x≤50$的范围内，此时最大值为392。
答：当该种健身球销售单价定为36元时，每天的销售利润最大，最大利润是392元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{w=-2x^2+144x-2200(22≤ x≤50)}$
(3) 销售单价定为$\boldsymbol{36}$元时，每天销售利润最大，最大利润是$\boldsymbol{392}$元。
【知识点】
一次函数求值、二次函数解析式求解、二次函数最值
【点评】
本题属于销售类函数的基础应用题，结合了生活实际考查利润计算公式、一次函数和二次函数的性质，解题时要注意结合自变量的取值范围验证最值点是否符合要求，是函数实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.75
(1) 已知销售量$y$与销售单价$x$的函数关系，要求单价为30元时的销售量，直接将$x=30$代入$y=-2x+100$计算即可。
(2) 销售利润的计算公式为：总利润=单个商品利润×销售量，单个利润为$(x-22)$元，销售量为$y=-2x+100$，将两者相乘后整理即可得到$w$与$x$的函数表达式，注意标注$x$的取值范围。
(3) 得到的$w$是关于$x$的二次函数，且二次项系数为负，图象开口向下，在顶点处取得最大值。先将函数配方为顶点式，判断顶点横坐标是否在$x$的取值范围内，即可求出最大利润和对应的销售单价。
【解析】
(1) 把$x=30$代入$y=-2x+100$，得$y=-2×30+100=40$。
(2) 根据题意，单个健身球的利润为$(x-22)$元，每天的销售量为$(-2x+100)$个，因此：
$w=(x-22)(-2x+100)=-2x^2+144x-2200$
结合$x$的取值范围，可得$w$与$x$的函数关系式为$w=-2x^2+144x-2200(22≤ x≤50)$。
(3) 将函数解析式配方得：
$w=-2x^2+144x-2200=-2(x-36)^2+392$
$\because-2＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=36$时，$w$取最大值，且$x=36$在$22≤ x≤50$的范围内，此时最大值为392。
答：当该种健身球销售单价定为36元时，每天的销售利润最大，最大利润是392元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{w=-2x^2+144x-2200(22≤ x≤50)}$
(3) 销售单价定为$\boldsymbol{36}$元时，每天销售利润最大，最大利润是$\boldsymbol{392}$元。
【知识点】
一次函数求值、二次函数解析式求解、二次函数最值
【点评】
本题属于销售类函数的基础应用题，结合了生活实际考查利润计算公式、一次函数和二次函数的性质，解题时要注意结合自变量的取值范围验证最值点是否符合要求，是函数实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.75
3.「2026广西南宁阶段练习」某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用.则当宾馆利润取得最大值时，每个房间每天的定价应为（
A.210元
B.220元
C.230元
D.240元
B
）A.210元
B.220元
C.230元
D.240元
答案
设每个房间的定价为每天x元,宾馆的利润为y元,由题意可得y=(x-40)$(20-\dfrac{x-200}{10})$,化简得y=$-\dfrac{1}{10}(x-220)^2+3240$,
∵$-\dfrac{1}{10}$＜0,
∴当x=220时,y有最大值,即当每个房间的定价为每天220元时,宾馆利润取得最大值.故选B.
∵$-\dfrac{1}{10}$＜0,
∴当x=220时,y有最大值,即当每个房间的定价为每天220元时,宾馆利润取得最大值.故选B.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数解决利润最大化的实际应用题，解题思路如下：首先明确利润核心计算公式：总利润=单个房间的利润×入住房间数量。第一步确定单个房间利润：单个房间利润=每天定价-每天支出的40元费用；第二步确定入住房间数：定价200元时住满20间，每涨10元空闲1间，因此定价为x元时，上涨金额为(x-200)元，空闲房间数为$\frac{x-200}{10}$，入住房间数=总房间数20减去空闲房间数；第三步将两个量相乘得到总利润关于定价的二次函数，最后结合二次函数开口向下的性质，顶点处对应利润最大值的定价。
【解析】
设每个房间的定价为每天x元，宾馆每天的总利润为y元。
根据题意，单个房间的利润为$(x-40)$元，
定价上涨后入住的房间数量为$20-\frac{x-200}{10}$间，
因此总利润为：
$y=(x-40)(20-\dfrac{x-200}{10})$
化简表达式：
$y=(x-40)(40-\dfrac{x}{10})=-\dfrac{1}{10}x^2+44x-1600=-\dfrac{1}{10}(x-220)^2+3240$
$\because$二次项系数$-\dfrac{1}{10}＜0$，$\therefore$该二次函数图象开口向下，顶点处y取得最大值，
即当$x=220$时，宾馆的利润最大。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售类最值应用题，解题的关键是理清定价、入住数量、单个利润之间的数量关系，正确列出利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，计算过程中需注意表达式化简的准确性。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数解决利润最大化的实际应用题，解题思路如下：首先明确利润核心计算公式：总利润=单个房间的利润×入住房间数量。第一步确定单个房间利润：单个房间利润=每天定价-每天支出的40元费用；第二步确定入住房间数：定价200元时住满20间，每涨10元空闲1间，因此定价为x元时，上涨金额为(x-200)元，空闲房间数为$\frac{x-200}{10}$，入住房间数=总房间数20减去空闲房间数；第三步将两个量相乘得到总利润关于定价的二次函数，最后结合二次函数开口向下的性质，顶点处对应利润最大值的定价。
【解析】
设每个房间的定价为每天x元，宾馆每天的总利润为y元。
根据题意，单个房间的利润为$(x-40)$元，
定价上涨后入住的房间数量为$20-\frac{x-200}{10}$间，
因此总利润为：
$y=(x-40)(20-\dfrac{x-200}{10})$
化简表达式：
$y=(x-40)(40-\dfrac{x}{10})=-\dfrac{1}{10}x^2+44x-1600=-\dfrac{1}{10}(x-220)^2+3240$
$\because$二次项系数$-\dfrac{1}{10}＜0$，$\therefore$该二次函数图象开口向下，顶点处y取得最大值，
即当$x=220$时，宾馆的利润最大。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售类最值应用题，解题的关键是理清定价、入住数量、单个利润之间的数量关系，正确列出利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，计算过程中需注意表达式化简的准确性。
【难度系数】
0.7
4.「2026安徽合肥月考」“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰.中国航天事业从无到有、从弱到强,实现历史性、高质量、跨越式发展.某网店为满足航空航天爱好者的需求,特推出了航空航天模型.已知该模型每件成本为20元,按每件24元的价格出售,每日可售出40件.经市场调查发现,这种模型每件每涨价1元,日销售量会减少2件,则每件模型应涨价
8
元,才能使日利润最大.答案
8
解析 设每件模型涨价a元,日利润为w元,则w=(a+24-20)(40-2a)=-2(a-8)²+288,
∵-2＜0,
∴当a=8时,w取最大值,即每件模型应涨价8元,才能使日利润最大.
解析 设每件模型涨价a元,日利润为w元,则w=(a+24-20)(40-2a)=-2(a-8)²+288,
∵-2＜0,
∴当a=8时,w取最大值,即每件模型应涨价8元,才能使日利润最大.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数解决销售利润最值的问题，解题思路如下：首先明确销售问题的核心等量关系：日总利润=单件利润×日销售量。第一步，设未知数，设每件涨价a元，日利润为w元；第二步，分别表示出涨价后的单件利润和日销售量：单件利润=原售价-成本+涨价金额，日销售量=原销量-因涨价减少的销量；第三步，根据等量关系列出w关于a的函数解析式，发现是二次函数，且二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，最后计算顶点的横坐标即可得到最优涨价金额。
【解析】
设每件模型涨价a元，日利润为w元。
由题意得，涨价后每件利润为：$24 - 20 + a = (a + 4)$元
涨价后日销售量为：$(40 - 2a)$件
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$w = (a + 4)(40 - 2a)$
展开并配方：
$w = -2a^2 + 32a + 160$
$= -2(a^2 - 16a) + 160$
$= -2(a^2 -16a + 64 - 64) + 160$
$= -2(a - 8)^2 + 288$
∵二次项系数$-2 ＜ 0$，
∴抛物线开口向下，当$a = 8$时，w取得最大值。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的实际应用；销售利润问题；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值的典型题型，解题关键是正确梳理数量关系，列出二次函数解析式，再结合二次函数的图象性质求解最值，解题时要注意自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数解决销售利润最值的问题，解题思路如下：首先明确销售问题的核心等量关系：日总利润=单件利润×日销售量。第一步，设未知数，设每件涨价a元，日利润为w元；第二步，分别表示出涨价后的单件利润和日销售量：单件利润=原售价-成本+涨价金额，日销售量=原销量-因涨价减少的销量；第三步，根据等量关系列出w关于a的函数解析式，发现是二次函数，且二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，最后计算顶点的横坐标即可得到最优涨价金额。
【解析】
设每件模型涨价a元，日利润为w元。
由题意得，涨价后每件利润为：$24 - 20 + a = (a + 4)$元
涨价后日销售量为：$(40 - 2a)$件
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$w = (a + 4)(40 - 2a)$
展开并配方：
$w = -2a^2 + 32a + 160$
$= -2(a^2 - 16a) + 160$
$= -2(a^2 -16a + 64 - 64) + 160$
$= -2(a - 8)^2 + 288$
∵二次项系数$-2 ＜ 0$，
∴抛物线开口向下，当$a = 8$时，w取得最大值。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的实际应用；销售利润问题；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值的典型题型，解题关键是正确梳理数量关系，列出二次函数解析式，再结合二次函数的图象性质求解最值，解题时要注意自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.7
5.「2024四川内江中考」端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元,某商家用5000元购进的肉粽盒数与用3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现肉粽每盒售价为52元时,可售出180盒,每盒售价每提高1元,便少售出10盒.
(1)求肉粽、豆沙粽每盒的进价.
(2)设肉粽每盒售价为x元(52≤x≤70),y表示该商家销售肉粽的利润(单位:元),求y关于x的函数表达式并求出y的最大值.
(1)求肉粽、豆沙粽每盒的进价.
(2)设肉粽每盒售价为x元(52≤x≤70),y表示该商家销售肉粽的利润(单位:元),求y关于x的函数表达式并求出y的最大值.
答案
(1)设肉粽每盒进价为a元,则豆沙粽每盒进价为(a-20)元,由题意得$\dfrac{5000}{a}=\dfrac{3000}{a-20}$,解得a=50,
经检验,a=50是原分式方程的解,且符合实际意义,
此时a-20=30,
∴肉粽每盒进价为50元,豆沙粽每盒进价为30元.
(2)由题意得,当x=52时,每天可售出180盒,
当肉粽每盒售价为x元(52≤x≤70)时,每天可售出[180-10(x-52)]盒,
∴y=(x-50)[180-10(x-52)]=(x-50)(-10x+700)
=-10x²+1200x-35000=-10(x-60)²+1000,
∵-10＜0,52≤x≤70,
∴当x=60时,y取最大值,为1000,
故y关于x的函数表达式为y=-10x²+1200x-35000(52≤x≤70),且y的最大值为1000.
经检验,a=50是原分式方程的解,且符合实际意义,
此时a-20=30,
∴肉粽每盒进价为50元,豆沙粽每盒进价为30元.
(2)由题意得,当x=52时,每天可售出180盒,
当肉粽每盒售价为x元(52≤x≤70)时,每天可售出[180-10(x-52)]盒,
∴y=(x-50)[180-10(x-52)]=(x-50)(-10x+700)
=-10x²+1200x-35000=-10(x-60)²+1000,
∵-10＜0,52≤x≤70,
∴当x=60时,y取最大值,为1000,
故y关于x的函数表达式为y=-10x²+1200x-35000(52≤x≤70),且y的最大值为1000.
解析
【分析】
(1) 第一问可通过“两种粽子购进盒数相同”建立等量关系求解。先设肉粽每盒进价为a元，根据肉粽进价比豆沙粽多20元，可得豆沙粽每盒进价为(a-20)元，再用“总进价÷单盒进价”分别表示两种粽子的购进盒数，令二者相等列分式方程，求解后检验是否符合实际意义即可。
(2) 第二问需依据“总利润=单盒利润×销售量”推导函数表达式，再求最值。单盒利润为售价x减去肉粽进价50元；销售量可根据售价变化规律计算：售价为x元时，比52元高了(x-52)元，每高1元少售10盒，因此销售量为180减去少售的数量，二者相乘得到y关于x的二次函数，再结合二次函数开口方向和自变量取值范围，即可求出利润最大值。
【解析】
(1) 设肉粽每盒进价为a元，则豆沙粽每盒进价为(a-20)元。
由题意得：$\dfrac{5000}{a}=\dfrac{3000}{a-20}$
交叉相乘化简得：$5(a-20)=3a$，解得$a=50$。
经检验，$a=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
此时豆沙粽每盒进价为$a-20=50-20=30$（元）。
(2) 当肉粽每盒售价为x元（$52≤ x≤70$）时，单盒利润为$(x-50)$元。
售价较52元提高了$(x-52)$元，实际销售量为$180-10(x-52)=700-10x$盒。
根据总利润公式可得：
$y=(x-50)(700-10x)$
展开化简得：$y=-10x^2+1200x-35000$
配方得：$y=-10(x-60)^2+1000$
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，且$x=60$在$52≤ x≤70$范围内，
$\therefore$当$x=60$时，y取得最大值，最大值为1000元。
【答案】
(1) 肉粽每盒进价为50元，豆沙粽每盒进价为30元；
(2) y关于x的函数表达式为$y=-10x^2+1200x-35000（52≤ x≤70）$，y的最大值为1000元。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数的最值
【点评】
本题结合传统节日销售场景命题，贴近生活实际，主要考查分式方程和二次函数在销售利润问题中的应用。解题关键是找准等量关系正确列方程和函数表达式，同时注意分式方程必须检验增根，求二次函数最值时要结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可通过“两种粽子购进盒数相同”建立等量关系求解。先设肉粽每盒进价为a元，根据肉粽进价比豆沙粽多20元，可得豆沙粽每盒进价为(a-20)元，再用“总进价÷单盒进价”分别表示两种粽子的购进盒数，令二者相等列分式方程，求解后检验是否符合实际意义即可。
(2) 第二问需依据“总利润=单盒利润×销售量”推导函数表达式，再求最值。单盒利润为售价x减去肉粽进价50元；销售量可根据售价变化规律计算：售价为x元时，比52元高了(x-52)元，每高1元少售10盒，因此销售量为180减去少售的数量，二者相乘得到y关于x的二次函数，再结合二次函数开口方向和自变量取值范围，即可求出利润最大值。
【解析】
(1) 设肉粽每盒进价为a元，则豆沙粽每盒进价为(a-20)元。
由题意得：$\dfrac{5000}{a}=\dfrac{3000}{a-20}$
交叉相乘化简得：$5(a-20)=3a$，解得$a=50$。
经检验，$a=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
此时豆沙粽每盒进价为$a-20=50-20=30$（元）。
(2) 当肉粽每盒售价为x元（$52≤ x≤70$）时，单盒利润为$(x-50)$元。
售价较52元提高了$(x-52)$元，实际销售量为$180-10(x-52)=700-10x$盒。
根据总利润公式可得：
$y=(x-50)(700-10x)$
展开化简得：$y=-10x^2+1200x-35000$
配方得：$y=-10(x-60)^2+1000$
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，且$x=60$在$52≤ x≤70$范围内，
$\therefore$当$x=60$时，y取得最大值，最大值为1000元。
【答案】
(1) 肉粽每盒进价为50元，豆沙粽每盒进价为30元；
(2) y关于x的函数表达式为$y=-10x^2+1200x-35000（52≤ x≤70）$，y的最大值为1000元。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数的最值
【点评】
本题结合传统节日销售场景命题，贴近生活实际，主要考查分式方程和二次函数在销售利润问题中的应用。解题关键是找准等量关系正确列方程和函数表达式，同时注意分式方程必须检验增根，求二次函数最值时要结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.7
