1.「2026湖南长沙月考」如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=8$,$∠ BAC=120°$,则$BC$边上的高$AD$的长为 ()


A.2
B.3
C.4
D.5

1.C $\because AB=AC=8, ∠ BAC=120°$,
$\therefore ∠ B= ∠ C=\frac{1}{2}×( 180°-120°)=30°$.
$\because AD ⊥ BC,\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$.

2.「2026北京西城期中」如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$∠ B=30°$,点$P$是$BC$边上的动点,则$AP$的长可能是 ()

A.2.7
B.5.2
C.7.2
D.8.6

2.B $\because$ 垂线段最短,$\therefore AP$的最小值为3.
$\because ∠ B=30°,∠ C=90°,AC=3$,
$\therefore AB=2AC=6,\therefore AP$的最大值为6,
$\therefore AP$的长可能是5.2.故选B.

3. 学科特色
教材变式 如图所示的是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE分别垂直于横梁AC，若DE=1.8 m，∠A=30°，则斜梁AB的长为 m.

3.答案 7.2
解析 $\because DE ⊥ AC,∠ A=30°,DE=1.8\ \mathrm{m}$,
$\therefore AD=2DE=3.6\ \mathrm{m}$,
$\because$ 点D是AB的中点,$\therefore AB=2AD=2×3.6=7.2(\mathrm{m})$.

4.「2026江苏盐城期中」如图，在$△ ABC$中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC,AB于点E,F,过点A作$AD ⊥ BC$于点D,且D为线段CE的中点.
(1)求证:$BE=AC$.
(2)若$∠ BAC = 90°$, $∠ B = 30°$, $AC = 8$, 求BD的长.

4.解析 (1)证明:如图,连接AE,
$\because EF$垂直平分$AB,\therefore BE=AE$,
$\because AD ⊥ CE$,且D是EC的中点,
$\therefore AD$垂直平分$EC,\therefore AC=AE$,
$\therefore BE=AC$.
(2)$\because ∠ BAC=90°,∠ B=30°,AC=8$,
$\therefore BC=2AC=16,∠ C=90°-∠ B=60°$,
$\because AD ⊥ CE,\therefore ∠ ADC=90°$,
$\therefore ∠ DAC=90°-∠ C=30°$,
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=4,\therefore BD=BC-CD=12$.

5.「2025安徽中考改编，★☆」如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,边AC的中点为D,DE⊥AC,交BC于点E,连接AE.若DE=3,则BC的长是 ()


A.6
B.12
C.18
D.24

5.C $\because ∠ BAC=120°,AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$,
$\because AC$的中点为D,且$ED ⊥ AC$,
$\therefore AE=CE,∠ ADE=∠ CDE=90°$,
$\therefore AE=CE=2DE=6,∠ EAC=∠ C=30°$,
$\because ∠ BAC=120°,\therefore ∠ BAE=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ BAE$中,$∠ B=30°,AE=6$,
$\therefore BE=2AE=12,\therefore BC=BE+EC=12+6=18$.

6.聚焦 中考 跨学科主题学习「2026湖北咸宁期中，★☆」如图，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起。已知AB=AC，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得BC=8 dm，则点B到AD的距离为。

6.答案 4 dm
解析 如图,过点B作$BE ⊥ AD$,垂足为E,
$\because CA ⊥ AD,\therefore ∠ DAC=90°$,
$\because ∠ BAD=30°,\therefore ∠ BAC=60°$,
$\because AB=AC,\therefore △ ABC$为等边三角形,
$\therefore AB=BC=8\ \mathrm{dm},\because BE ⊥ AD,∠ BAD=30°,\therefore BE=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{dm}.\therefore$ 点B到AD的距离为4 dm.

7.「2025山东威海期中，★☆」如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,过点D分别向AC,AB作垂线,垂足分别为E,F.
(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF?并说明理由.
(2)在(1)的条件下,若∠BAC=120°,AE=8,求CE的长.

7.解析 (1)当点D在BC的中点上时,$DE=DF$,
理由:如图,连接AD,
$\because D$为BC中点,$AB=AC$,
$\therefore AD$为$∠ BAC$的平分线,
$\because DE ⊥ AC,DF ⊥ AB,\therefore DE=DF$.
(2)$\because ∠ BAC=120°,AB=AC,D$为BC的中点,
$\therefore ∠ C=\frac{180°-120°}{2}=30°, ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=60°,AD ⊥ BC,\therefore ∠ ADC=90°$,
$\because DE ⊥ AC,\therefore ∠ AED=90°,\therefore ∠ ADE=30°$,
$\therefore AD=2AE=16,\therefore AC=2AD=32,\therefore CE=AC-AE=32-8=24$.