一、填空题
1. [云南中考]如图，AB与CD交于点O，且AC//BD。若$\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}=\frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BD}=$。

1. $\frac{1}{2}$

2. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{3}{4}$，则$△ ABC$与$△ DEF$对应中线的比为.

2. $\frac{3}{4}$

3. [西藏中考]如图，D，E分别是$△ ABC$的边AB，AC上的点，且$DE// BC$.若$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，则$\frac{AE}{EC}$的值是.

3. 2

4. 如图，在$△ ABC$中，$M$，$N$分别是$AB$，$AC$上的点，$MN// BC$。若$S_{△ MBC}: S_{△ CMN}=3:1$，则$S_{△ AMN}: S_{四边形MNCB}$的值为。

4. $\frac{1}{8}$

5. 易错题 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”. 如图，线段CD是$△ ABC$的“和谐分割线”，$△ ACD$为等腰三角形，$△ CBD$和$△ ABC$相似，$∠ A=46°$，则$∠ ACB$的度数为.

5. $113°或92°$
易错分析
5. 易因对等腰三角形$ACD$的腰长情况考虑不全导致漏解.

二、解答题
6. [滨州中考]如图,在△ABC中,∠BAC=108°,AB=AC.以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点E,F;以点A为圆心,BE的长为半径画弧,交AC于点H;以点H为圆心,EF的长为半径画弧,两弧交于点G.连接AG并延长,交BC于点D.
(1) 求证:△ACD∽△BCA;
(2) 当AB=4时,求BC的长.

6. (1) 由作图得$∠ CAD = ∠ B,\because ∠ C = ∠ C,$
$\therefore △ ACD ∽ △ BCA$
(2) $\because AB=AC,\therefore ∠ B = ∠ C.$
$\because ∠ BAC = 108°,\therefore ∠ B = ∠ C = 36°. \therefore ∠ CAD = ∠ B=36°. \therefore ∠ BAD = ∠ BAC - ∠ CAD = 72°, ∠ BDA = ∠ C+∠ CAD = 72°. \therefore ∠ BAD = ∠ BDA. \therefore DB = AB = AC=4. \therefore DC = BC - 4. \because △ ACD ∽ △ BCA,\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}. \therefore BC · DC=AC^2. \therefore BC(BC-4)=16,$解得 $BC=2+2\sqrt{5}$ 或 $BC=2-2\sqrt{5}$(不合题意,舍去). $\therefore BC$ 的长是 $2+2\sqrt{5}$