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一、填空题
1. 已知$∠ A=24°34'$，则$∠ A$的余角度数为
1. 已知$∠ A=24°34'$，则$∠ A$的余角度数为
65°26'
。答案
1. 65°26'
解析
【分析】
首先明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，因此求∠A的余角只需用90°减去∠A的度数即可。计算时要注意度、分的换算进率为60，需先把90°转化为89°60'，再分别对度和分做减法运算，避免出现计算错误。
【解析】
根据余角的定义，互为余角的两个角之和为90°，因此∠A的余角 = 90° - ∠A。
已知∠A=24°34'，结合1°=60'，将90°改写为89°60'后代入计算：
90° - 24°34' = 89°60' - 24°34' = (89° - 24°) + (60' - 34') = 65°26'。
【答案】
65°26'
【知识点】
余角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础类计算题，解题的关键是熟练掌握余角的定义，同时注意度分秒为60进制，做减法运算时不够减需要向上一级单位借1当60再计算。
【难度系数】
0.9
首先明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，因此求∠A的余角只需用90°减去∠A的度数即可。计算时要注意度、分的换算进率为60，需先把90°转化为89°60'，再分别对度和分做减法运算，避免出现计算错误。
【解析】
根据余角的定义，互为余角的两个角之和为90°，因此∠A的余角 = 90° - ∠A。
已知∠A=24°34'，结合1°=60'，将90°改写为89°60'后代入计算：
90° - 24°34' = 89°60' - 24°34' = (89° - 24°) + (60' - 34') = 65°26'。
【答案】
65°26'
【知识点】
余角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础类计算题，解题的关键是熟练掌握余角的定义，同时注意度分秒为60进制，做减法运算时不够减需要向上一级单位借1当60再计算。
【难度系数】
0.9
2. 已知一个角的度数是$67°52'$,则它的补角的度数是
112°8'
.答案
2. 112°8'
解析
【分析】
首先回忆补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。因此求已知角的补角，只需用180°减去该角的度数即可。另外要注意度和分的进制是60进制，做减法时如果分的部分不够减，需要从度的位置借1°转化为60'后再计算。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两角之和为180°，因此该角的补角度数为：
$180° - 67°52'$
将$180°$改写为$179°60'$（因为$1°=60'$），再分别对度、分做减法：
$179°60' - 67°52' = (179°-67°)+(60'-52')=112°+8'=112°8'$
【答案】
$112°8'$
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握补角的基本性质，同时要注意度分秒为60进制，做减法借位时要正确换算，避免因进制混淆出错。
【难度系数】
0.8
首先回忆补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。因此求已知角的补角，只需用180°减去该角的度数即可。另外要注意度和分的进制是60进制，做减法时如果分的部分不够减，需要从度的位置借1°转化为60'后再计算。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两角之和为180°，因此该角的补角度数为：
$180° - 67°52'$
将$180°$改写为$179°60'$（因为$1°=60'$），再分别对度、分做减法：
$179°60' - 67°52' = (179°-67°)+(60'-52')=112°+8'=112°8'$
【答案】
$112°8'$
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握补角的基本性质，同时要注意度分秒为60进制，做减法借位时要正确换算，避免因进制混淆出错。
【难度系数】
0.8
3. 已知∠α的余角的度数是$58°26'$,则∠α的度数是
31°34'
.答案
3. 31°34'
解析
【分析】
解答本题首先要明确余角的定义：互为余角的两个角的和等于90°，因此求∠α的度数，只需用90°减去∠α的余角的度数即可。计算时要注意度、分是60进制，不够减时需要借位，把1°转化为60′再进行计算。
【解析】
根据余角的定义，互为余角的两个角的和为90°，可得：
$∠α = 90° - 58°26'$
因为$1°=60'$，所以将$90°$转化为$89°60'$再计算：
$∠α = 89°60' - 58°26' = (89°-58°)+(60'-26') = 31°34'$
【答案】
$31°34'$
【知识点】
余角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握余角的基本性质，计算时需注意度分秒的60进制规则，借位时不要误按10进制计算，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确余角的定义：互为余角的两个角的和等于90°，因此求∠α的度数，只需用90°减去∠α的余角的度数即可。计算时要注意度、分是60进制，不够减时需要借位，把1°转化为60′再进行计算。
【解析】
根据余角的定义，互为余角的两个角的和为90°，可得：
$∠α = 90° - 58°26'$
因为$1°=60'$，所以将$90°$转化为$89°60'$再计算：
$∠α = 89°60' - 58°26' = (89°-58°)+(60'-26') = 31°34'$
【答案】
$31°34'$
【知识点】
余角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握余角的基本性质，计算时需注意度分秒的60进制规则，借位时不要误按10进制计算，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
4. 一个角的补角的度数是$92°$,则这个角的余角的度数是
2°
.答案
4. 2°
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先回忆补角、余角的定义：互为补角的两个角度数之和为180°，互为余角的两个角度数之和为90°。第一步先根据已知的补角度数求出这个角本身的度数，第二步再用90°减去这个角的度数，即可得到它的余角度数。
【解析】
解：设这个角的度数为x。
根据补角的定义，得：
$x + 92° = 180°$
解得 $x = 180° - 92° = 88°$
再根据余角的定义，这个角的余角为：
$90° - 88° = 2°$
【答案】
$2°$
【知识点】
补角的定义，余角的定义，角度计算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，主要考查余角和补角的概念，牢记互余两角和为90°、互补两角和为180°的性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为两步：首先回忆补角、余角的定义：互为补角的两个角度数之和为180°，互为余角的两个角度数之和为90°。第一步先根据已知的补角度数求出这个角本身的度数，第二步再用90°减去这个角的度数，即可得到它的余角度数。
【解析】
解：设这个角的度数为x。
根据补角的定义，得：
$x + 92° = 180°$
解得 $x = 180° - 92° = 88°$
再根据余角的定义，这个角的余角为：
$90° - 88° = 2°$
【答案】
$2°$
【知识点】
补角的定义，余角的定义，角度计算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，主要考查余角和补角的概念，牢记互余两角和为90°、互补两角和为180°的性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1=∠3，∠2=55°，那么∠4=
55
°。答案
5. 55
解析
【分析】
解题首先要明确互余的概念：若两个角互余，则它们的和为90°。解题有两种思路：方法一，利用余角的性质“等角的余角相等”，已知∠1=∠3，那么它们对应的余角∠2和∠4也相等，可直接得到∠4的度数；方法二，先根据∠2的度数求出∠1的度数，再由∠1=∠3得到∠3的度数，最后根据∠3和∠4互余求出∠4的度数，两种方法均符合该学段知识要求。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互余，根据互余的定义，
∴∠1 + ∠2 = 90°，
∵∠3与∠4互余，同理可得
∴∠3 + ∠4 = 90°，
又
∵∠1 = ∠3，
∴∠2 = ∠4（等角的余角相等），
已知∠2 = 55°，
∴∠4 = 55°。
【答案】
55
【知识点】
余角的定义，余角的性质
【点评】
本题考查余角相关的角度计算，既可以通过余角性质直接推导得到结果，也可以分步计算求解，核心是对余角概念和性质的理解与运用。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确互余的概念：若两个角互余，则它们的和为90°。解题有两种思路：方法一，利用余角的性质“等角的余角相等”，已知∠1=∠3，那么它们对应的余角∠2和∠4也相等，可直接得到∠4的度数；方法二，先根据∠2的度数求出∠1的度数，再由∠1=∠3得到∠3的度数，最后根据∠3和∠4互余求出∠4的度数，两种方法均符合该学段知识要求。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互余，根据互余的定义，
∴∠1 + ∠2 = 90°，
∵∠3与∠4互余，同理可得
∴∠3 + ∠4 = 90°，
又
∵∠1 = ∠3，
∴∠2 = ∠4（等角的余角相等），
已知∠2 = 55°，
∴∠4 = 55°。
【答案】
55
【知识点】
余角的定义，余角的性质
【点评】
本题考查余角相关的角度计算，既可以通过余角性质直接推导得到结果，也可以分步计算求解，核心是对余角概念和性质的理解与运用。
【难度系数】
0.9
6. 已知一个角的补角比这个角的余角的2倍多30°,则这个角的度数是
30°
.答案
6. 30°
解析
【分析】
要解决这类和余角、补角相关的角度计算问题，我们可以通过设未知数列方程的方法求解：首先设这个角的度数为x，根据补角、余角的定义分别用含x的式子表示出它的补角和余角，再结合题目给出的“补角比余角的2倍多30°”的等量关系列出方程，最后解方程即可得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x $，则它的补角为$ 180° - x $，它的余角为$ 90° - x $。
根据题意可列方程：
$ 180° - x = 2(90° - x) + 30° $
展开方程右边：
$ 180° - x = 180° - 2x + 30° $
移项合并同类项：
$ -x + 2x = 180° + 30° - 180° $
解得：$ x = 30° $
【答案】
$ 30° $
【知识点】
补角的概念；余角的概念；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础计算类题目，解题的核心是准确掌握余角和补角的定义，能根据题干描述正确提炼等量关系列方程，计算过程简单，只要理清概念、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决这类和余角、补角相关的角度计算问题，我们可以通过设未知数列方程的方法求解：首先设这个角的度数为x，根据补角、余角的定义分别用含x的式子表示出它的补角和余角，再结合题目给出的“补角比余角的2倍多30°”的等量关系列出方程，最后解方程即可得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x $，则它的补角为$ 180° - x $，它的余角为$ 90° - x $。
根据题意可列方程：
$ 180° - x = 2(90° - x) + 30° $
展开方程右边：
$ 180° - x = 180° - 2x + 30° $
移项合并同类项：
$ -x + 2x = 180° + 30° - 180° $
解得：$ x = 30° $
【答案】
$ 30° $
【知识点】
补角的概念；余角的概念；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础计算类题目，解题的核心是准确掌握余角和补角的定义，能根据题干描述正确提炼等量关系列方程，计算过程简单，只要理清概念、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
二、解答题
7. 如图，$∠ AOB=124°$，$OF$是$∠ AOB$的平分线，$∠ 1$和$∠ 2$互余，求$∠ BOE$的度数.
7. 如图，$∠ AOB=124°$，$OF$是$∠ AOB$的平分线，$∠ 1$和$∠ 2$互余，求$∠ BOE$的度数.
答案
7. 因为∠AOB=124°,OF是∠AOB的平分线,所以∠2=$\frac{1}{2}$∠AOB=62°.因为∠1和∠2互余,所以∠1=90°-∠2=28°.所以∠BOE=∠1+∠AOB=28°+124°=152°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到OF是∠AOB的平分线，结合给出的∠AOB的度数，可先求出∠2的度数；再根据∠1和∠2互余（互余即两个角的和为90°），用90°减去∠2的度数就能得到∠1的度数；最后观察图形可知∠BOE是∠AOB与∠1的和，将两个角的度数相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ $∠ AOB=124°$，$OF$是$∠ AOB$的平分线，
∴ $∠ 2=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×124°=62°$，
∵ $∠ 1$和$∠ 2$互余，即$∠ 1+∠ 2=90°$，
∴ $∠ 1=90°-∠ 2=90°-62°=28°$，
又
∵ $∠ BOE=∠ AOB+∠ 1$，
∴ $∠ BOE=124°+28°=152°$。
【答案】
$152°$
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度运算题，解题关键是梳理清楚各个角之间的数量关系，结合角平分线、余角的相关性质逐步推导计算即可，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先看到OF是∠AOB的平分线，结合给出的∠AOB的度数，可先求出∠2的度数；再根据∠1和∠2互余（互余即两个角的和为90°），用90°减去∠2的度数就能得到∠1的度数；最后观察图形可知∠BOE是∠AOB与∠1的和，将两个角的度数相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ $∠ AOB=124°$，$OF$是$∠ AOB$的平分线，
∴ $∠ 2=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×124°=62°$，
∵ $∠ 1$和$∠ 2$互余，即$∠ 1+∠ 2=90°$，
∴ $∠ 1=90°-∠ 2=90°-62°=28°$，
又
∵ $∠ BOE=∠ AOB+∠ 1$，
∴ $∠ BOE=124°+28°=152°$。
【答案】
$152°$
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度运算题，解题关键是梳理清楚各个角之间的数量关系，结合角平分线、余角的相关性质逐步推导计算即可，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
8. 已知一个角的余角比这个角小$18°$,求这个角的补角.
答案
8. 设这个角为∠A. 根据题意,得 90°-∠A=∠A-18°,解得∠A=54°. 所以∠A 的补角是180°-54°=126°,即这个角的补角是126°
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确余角和补角的定义：两个角的和为90°则两角互余，和为180°则两角互补。题目要求这个角的补角，首先需要先求出这个角的度数。我们可以先设这个角为未知量，根据“余角比这个角小18°”的等量关系列出方程，解出这个角的度数后，再根据补角定义计算其补角即可。
【解析】
设这个角为∠A，根据余角的定义，∠A的余角为$90°-∠ A$。
根据题意“余角比这个角小18°”，可列方程：
$90° - ∠ A = ∠ A - 18°$
移项得：$90° + 18° = 2∠ A$
即$2∠ A = 108°$，解得$∠ A = 54°$。
根据补角的定义，∠A的补角为$180° - 54° = 126°$。
【答案】
$126°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是与余角、补角相关的基础计算题，解题的核心是熟练掌握余角和补角的定义，准确找到题目中的等量关系列方程求解，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确余角和补角的定义：两个角的和为90°则两角互余，和为180°则两角互补。题目要求这个角的补角，首先需要先求出这个角的度数。我们可以先设这个角为未知量，根据“余角比这个角小18°”的等量关系列出方程，解出这个角的度数后，再根据补角定义计算其补角即可。
【解析】
设这个角为∠A，根据余角的定义，∠A的余角为$90°-∠ A$。
根据题意“余角比这个角小18°”，可列方程：
$90° - ∠ A = ∠ A - 18°$
移项得：$90° + 18° = 2∠ A$
即$2∠ A = 108°$，解得$∠ A = 54°$。
根据补角的定义，∠A的补角为$180° - 54° = 126°$。
【答案】
$126°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是与余角、补角相关的基础计算题，解题的核心是熟练掌握余角和补角的定义，准确找到题目中的等量关系列方程求解，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
9. 如图，$∠ AOC$与$∠ BOC$互为补角，$∠ COD=90°$，且$∠ BOC=4∠ BOD$.
（1）求$∠ BOC$的度数；
（2）若$OE$平分$∠ AOC$，求$∠ BOE$的度数.
（1）求$∠ BOC$的度数；
（2）若$OE$平分$∠ AOC$，求$∠ BOE$的度数.
答案
9. （1）因为 ∠COD = 90°, 所以 ∠BOC + ∠BOD = 90°. 因为 ∠BOC = 4 ∠BOD, 所以∠BOC=$\frac{4}{5}$×90°=72°,即∠BOC的度数为72°
（2）因为 ∠AOC 与 ∠BOC 互为补角, 所以∠AOC + ∠BOC = 180°. 所以 ∠AOC = 180° - ∠BOC=180°-72°=108°. 因为 OE 平分 ∠AOC,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×108°=54°. 所以∠BOE= ∠COE + ∠BOC = 54° + 72° = 126°, 即∠BOE 的度数为 126°
（2）因为 ∠AOC 与 ∠BOC 互为补角, 所以∠AOC + ∠BOC = 180°. 所以 ∠AOC = 180° - ∠BOC=180°-72°=108°. 因为 OE 平分 ∠AOC,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×108°=54°. 所以∠BOE= ∠COE + ∠BOC = 54° + 72° = 126°, 即∠BOE 的度数为 126°
解析
【分析】
（1）首先观察图形，由∠COD=90°可知∠BOC与∠BOD的和为90°，结合已知∠BOC=4∠BOD，可将90°按比例分配求出∠BOC的度数；
（2）先利用补角的性质求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义算出∠COE的度数，最后通过角的和差关系即可求出∠BOE的度数。
【解析】
（1）
∵ $∠ COD = 90°$，
∴ $∠ BOC + ∠ BOD = 90°$，
又
∵ $∠ BOC = 4∠ BOD$，
∴ $∠ BOC = \frac{4}{4+1} × 90° = \frac{4}{5} × 90° = 72°$；
（2）
∵ $∠ AOC$与$∠ BOC$互为补角，
∴ $∠ AOC + ∠ BOC = 180°$，
∴ $∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° -72° = 108°$，
∵ $OE$平分$∠ AOC$，
∴ $∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 108° = 54°$，
∴ $∠ BOE = ∠ COE + ∠ BOC = 54° +72° = 126°$。
【答案】
（1）$\boxed{72°}$
（2）$\boxed{126°}$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题属于角的基础运算题，解题关键是理清图中各角的和差关系，结合余角、补角、角平分线的性质逐步推导即可，解题时注意不要混淆各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
（1）首先观察图形，由∠COD=90°可知∠BOC与∠BOD的和为90°，结合已知∠BOC=4∠BOD，可将90°按比例分配求出∠BOC的度数；
（2）先利用补角的性质求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义算出∠COE的度数，最后通过角的和差关系即可求出∠BOE的度数。
【解析】
（1）
∵ $∠ COD = 90°$，
∴ $∠ BOC + ∠ BOD = 90°$，
又
∵ $∠ BOC = 4∠ BOD$，
∴ $∠ BOC = \frac{4}{4+1} × 90° = \frac{4}{5} × 90° = 72°$；
（2）
∵ $∠ AOC$与$∠ BOC$互为补角，
∴ $∠ AOC + ∠ BOC = 180°$，
∴ $∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° -72° = 108°$，
∵ $OE$平分$∠ AOC$，
∴ $∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 108° = 54°$，
∴ $∠ BOE = ∠ COE + ∠ BOC = 54° +72° = 126°$。
【答案】
（1）$\boxed{72°}$
（2）$\boxed{126°}$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题属于角的基础运算题，解题关键是理清图中各角的和差关系，结合余角、补角、角平分线的性质逐步推导即可，解题时注意不要混淆各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
