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1[2025河南平顶山期中]若四条线段$a,b,c,d$成比例，其中$b=2\ \mathrm{cm},c=2\ \mathrm{cm},d=4\ \mathrm{cm}$，则线段$a$的长为（
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.12 cm
A
）A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.12 cm
答案
1. A 【解析】根据题意可得 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,$\therefore \frac{a}{2}=\frac{2}{4}$,$\therefore a=1 \, \mathrm{cm}$. 故选 A.
解析
【分析】
首先回忆成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d按顺序成比例，那么满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$的比例关系。本题已经明确给出四条线段a,b,c,d成比例，且已知b、c、d的长度，我们只需要把已知的数值代入这个比例式，利用比例的基本性质求解，就能得到a的长度，要注意成比例线段是有顺序要求的，不要随意调换各线段的位置哦。
【解析】
解：
∵ 四条线段$a,b,c,d$成比例
∴ 可得比例式 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
将$b=2\ \mathrm{cm},c=2\ \mathrm{cm},d=4\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$\frac{a}{2}=\frac{2}{4}$
交叉相乘得 $4a=2×2$，解得 $a=1\ \mathrm{cm}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
成比例线段的概念，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查成比例线段的应用，解题的核心是准确理解成比例线段的顺序性，代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
首先回忆成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d按顺序成比例，那么满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$的比例关系。本题已经明确给出四条线段a,b,c,d成比例，且已知b、c、d的长度，我们只需要把已知的数值代入这个比例式，利用比例的基本性质求解，就能得到a的长度，要注意成比例线段是有顺序要求的，不要随意调换各线段的位置哦。
【解析】
解：
∵ 四条线段$a,b,c,d$成比例
∴ 可得比例式 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
将$b=2\ \mathrm{cm},c=2\ \mathrm{cm},d=4\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$\frac{a}{2}=\frac{2}{4}$
交叉相乘得 $4a=2×2$，解得 $a=1\ \mathrm{cm}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
成比例线段的概念，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查成比例线段的应用，解题的核心是准确理解成比例线段的顺序性，代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
2[2026辽宁沈阳期中]在如图所示的三个矩形中，相似的是（
A.②③
B.①②
C.①③
D.都不相似
A
）A.②③
B.①②
C.①③
D.都不相似
答案
2. A 【解析】
∵ $\frac{2}{3}=\frac{3}{4.5}$,$\therefore$ 矩形②和③对应边成比例、对应角相等,$\therefore$ 矩形②和③相似. 故选 A.
∵ $\frac{2}{3}=\frac{3}{4.5}$,$\therefore$ 矩形②和③对应边成比例、对应角相等,$\therefore$ 矩形②和③相似. 故选 A.
解析
【分析】
要判断矩形是否相似，首先明确相似多边形的判定条件：对应角相等，对应边成比例。而矩形的四个角都是直角，因此任意两个矩形的对应角天然相等，所以只需验证两个矩形的邻边比值是否相等，也就是对应边是否成比例即可。我们先分别计算三个矩形的邻边之比，再对比找出比值相等的两个矩形即可。
【解析】
解：
∵ 矩形的四个角均为直角，
∴ 三个矩形的对应角都相等，只需判断对应边是否成比例即可。
矩形①的邻边长为4和3，邻边比为$\frac{3}{4}$；
矩形②的邻边长为3和2，邻边比为$\frac{2}{3}$；
矩形③的邻边长为4.5和3，邻边比为$\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}$；
∵ $\frac{2}{3}=\frac{3}{4.5}$，即矩形②和③的对应边成比例，且对应角相等，
∴ 矩形②和③相似。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题是相似图形判定的基础题，解题的关键是利用矩形角的性质简化判定步骤，只需要验证邻边是否成比例即可，不需要再额外判断对应角是否相等。
【难度系数】
0.7
要判断矩形是否相似，首先明确相似多边形的判定条件：对应角相等，对应边成比例。而矩形的四个角都是直角，因此任意两个矩形的对应角天然相等，所以只需验证两个矩形的邻边比值是否相等，也就是对应边是否成比例即可。我们先分别计算三个矩形的邻边之比，再对比找出比值相等的两个矩形即可。
【解析】
解：
∵ 矩形的四个角均为直角，
∴ 三个矩形的对应角都相等，只需判断对应边是否成比例即可。
矩形①的邻边长为4和3，邻边比为$\frac{3}{4}$；
矩形②的邻边长为3和2，邻边比为$\frac{2}{3}$；
矩形③的邻边长为4.5和3，邻边比为$\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}$；
∵ $\frac{2}{3}=\frac{3}{4.5}$，即矩形②和③的对应边成比例，且对应角相等，
∴ 矩形②和③相似。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题是相似图形判定的基础题，解题的关键是利用矩形角的性质简化判定步骤，只需要验证邻边是否成比例即可，不需要再额外判断对应角是否相等。
【难度系数】
0.7
3[2026陕西西安期中]如图,已知$AB// CD// EF$,$AD=6$,$BC=7$,$CE=10$,则$DF$的长为 (
A.8
B.$\frac{60}{7}$
C.$\frac{35}{3}$
D.12
(第3题图)
(第4题图)
B
)A.8
B.$\frac{60}{7}$
C.$\frac{35}{3}$
D.12
(第3题图)
(第4题图)
答案
3. B 【解析】
∵ $AB// CD// EF$,$\therefore \frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$.
∵ $AD=6$,$BC=7$,$CE=10$,$\therefore \frac{7}{10}=\frac{6}{DF}$,解得 $DF=\frac{60}{7}$. 故选 B.
思路分析：根据平行线分线段成比例得 $\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$,将 AD,BC,CE 的长代入即可求得 DF 的长.
∵ $AB// CD// EF$,$\therefore \frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$.
∵ $AD=6$,$BC=7$,$CE=10$,$\therefore \frac{7}{10}=\frac{6}{DF}$,解得 $DF=\frac{60}{7}$. 故选 B.
思路分析：根据平行线分线段成比例得 $\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$,将 AD,BC,CE 的长代入即可求得 DF 的长.
解析
【分析】
已知AB、CD、EF三条直线互相平行，且给出了截得的部分线段长度，要求DF的长，可利用平行线分线段成比例定理求解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。本题中两条截线BE、AF被平行线AB、CD、EF所截，可得对应线段成比例$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$，再将已知线段长度代入比例式，解出DF即可。
【解析】
$\because AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$。
将$AD=6$，$BC=7$，$CE=10$代入比例式，得$\frac{7}{10}=\frac{6}{DF}$，
交叉相乘得$7DF=6×10$，
解得$DF=\frac{60}{7}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例，比例式计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别平行线所截的对应线段，正确列出比例式代入计算即可，主要考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
已知AB、CD、EF三条直线互相平行，且给出了截得的部分线段长度，要求DF的长，可利用平行线分线段成比例定理求解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。本题中两条截线BE、AF被平行线AB、CD、EF所截，可得对应线段成比例$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$，再将已知线段长度代入比例式，解出DF即可。
【解析】
$\because AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$。
将$AD=6$，$BC=7$，$CE=10$代入比例式，得$\frac{7}{10}=\frac{6}{DF}$，
交叉相乘得$7DF=6×10$，
解得$DF=\frac{60}{7}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例，比例式计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别平行线所截的对应线段，正确列出比例式代入计算即可，主要考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
4 如图,一座正方形城池北边、西边正中A,C处各开一道门,从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处,从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树,则正方形城池的边长为 (
A.360步
B.270步
C.180步
D.90步
A
)A.360步
B.270步
C.180步
D.90步
答案
4. A 【解析】设正方形城池的边长为 x 步,则 $AE=CE=\frac{1}{2}x$.
∵ $AE// CD$,$\therefore ∠ BEA=∠ EDC$,$\therefore \mathrm{Rt}△ BEA∽\mathrm{Rt}△ EDC$,$\therefore \frac{AB}{EC}=\frac{AE}{CD}$,即 $\frac{40}{\frac{1}{2}x}=\frac{\frac{1}{2}x}{810}$,$\therefore x=360$(负值已舍去),即正方形城池的边长为 360 步. 故选 A.
∵ $AE// CD$,$\therefore ∠ BEA=∠ EDC$,$\therefore \mathrm{Rt}△ BEA∽\mathrm{Rt}△ EDC$,$\therefore \frac{AB}{EC}=\frac{AE}{CD}$,即 $\frac{40}{\frac{1}{2}x}=\frac{\frac{1}{2}x}{810}$,$\therefore x=360$(负值已舍去),即正方形城池的边长为 360 步. 故选 A.
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的几何应用题，解题时首先明确所求量是正方形的边长，可先设边长为未知数，结合A、C是正方形边的中点，用未知数表示出两个直角三角形的对应边长；再根据平行线的性质得到相等的角，证明两个直角三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求解方程并舍去不符合实际的负值即可得到答案。
【解析】
设正方形城池的边长为$x$步，因为A、C分别是正方形北边、西边的中点，所以$AE=CE=\frac{1}{2}x$。
由题意可知$AB⊥ AE$，$CD⊥ CE$，且$AE// CD$，因此$∠ BEA=∠ EDC$，$∠ BAE=∠ ECD=90°$，可得$\mathrm{Rt}△ BEA ∽ \mathrm{Rt}△ EDC$。
根据相似三角形对应边成比例，有$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{CD}$，代入$AB=40$步、$CD=810$步，得：
$\frac{40}{\frac{1}{2}x}=\frac{\frac{1}{2}x}{810}$
整理方程得$\frac{1}{4}x^2=40×810=32400$，即$x^2=129600$，解得$x=360$（负值不符合实际，已舍去），即正方形城池的边长为360步。
【答案】A
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于几何实际应用题，解题的核心是从实际场景中抽象出相似三角形模型，结合相似性质建立方程求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，是相似应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是一道结合实际场景的几何应用题，解题时首先明确所求量是正方形的边长，可先设边长为未知数，结合A、C是正方形边的中点，用未知数表示出两个直角三角形的对应边长；再根据平行线的性质得到相等的角，证明两个直角三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求解方程并舍去不符合实际的负值即可得到答案。
【解析】
设正方形城池的边长为$x$步，因为A、C分别是正方形北边、西边的中点，所以$AE=CE=\frac{1}{2}x$。
由题意可知$AB⊥ AE$，$CD⊥ CE$，且$AE// CD$，因此$∠ BEA=∠ EDC$，$∠ BAE=∠ ECD=90°$，可得$\mathrm{Rt}△ BEA ∽ \mathrm{Rt}△ EDC$。
根据相似三角形对应边成比例，有$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{CD}$，代入$AB=40$步、$CD=810$步，得：
$\frac{40}{\frac{1}{2}x}=\frac{\frac{1}{2}x}{810}$
整理方程得$\frac{1}{4}x^2=40×810=32400$，即$x^2=129600$，解得$x=360$（负值不符合实际，已舍去），即正方形城池的边长为360步。
【答案】A
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于几何实际应用题，解题的核心是从实际场景中抽象出相似三角形模型，结合相似性质建立方程求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，是相似应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
5[2026北京延庆区期中]如图，点E是△ABC的边AB上的一点，下面四个命题中错误的是（
A.如果∠AEC=∠ACB，那么△ACE∽△ABC
B.如果∠ACE=∠B，那么△ACE∽△ABC
C.如果$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AC}$，那么△ACE∽△ABC
D.如果$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{BC}$，那么△ACE∽△ABC
（第5题图）
（第6题图）
D
）A.如果∠AEC=∠ACB，那么△ACE∽△ABC
B.如果∠ACE=∠B，那么△ACE∽△ABC
C.如果$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AC}$，那么△ACE∽△ABC
D.如果$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{BC}$，那么△ACE∽△ABC
（第5题图）（第6题图）
答案
5. D 【解析】A 选项,$\because ∠ AEC=∠ ACB$,$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ACE∽△ ABC$,故不符合题意;B 选项,$\because ∠ ACE=∠ B$,$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ACE∽△ ABC$,故不符合题意;C 选项,$\because \frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AC}$,$∠ A=∠ A$,$\therefore △ ACE∽△ ABC$,故不符合题意;D 选项,由 $\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{BC}$ 不能证明$△ ACE∽△ ABC$,故符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
要判断四个命题的正误，首先观察到△ACE和△ABC有公共角∠A。对于存在公共角的两个三角形，要判定相似，要么补充一组对应角相等，要么补充夹公共角的两组对应边成比例，我们按照这个思路逐一验证每个选项的条件是否满足相似判定要求即可。
【解析】
A选项：
∵∠AEC=∠ACB，∠A是△ACE和△ABC的公共角，即∠A=∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ACE∽△ABC，故该选项命题正确，不符合题意；
B选项：
∵∠ACE=∠B，∠A=∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ACE∽△ABC，故该选项命题正确，不符合题意；
C选项：
∵$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AC}$，且夹角∠A=∠A，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△ACE∽△ABC，故该选项命题正确，不符合题意；
D选项：给出的比例$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{BC}$中，BC不是△ABC中夹公共角∠A的边，边的对应关系不符合“两边成比例且夹角相等”的判定要求，也没有额外的等角条件，无法证明△ACE∽△ABC，故该选项命题错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；比例线段对应关系
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用类题目，解题的核心是抓住两个三角形的公共角，结合相似三角形的判定定理逐一验证条件，尤其要注意使用“两边成比例且夹角相等”判定时，成比例的两边必须是对应夹角的两条边，避免因边对应错误导致判断失误。
【难度系数】
0.75
要判断四个命题的正误，首先观察到△ACE和△ABC有公共角∠A。对于存在公共角的两个三角形，要判定相似，要么补充一组对应角相等，要么补充夹公共角的两组对应边成比例，我们按照这个思路逐一验证每个选项的条件是否满足相似判定要求即可。
【解析】
A选项：
∵∠AEC=∠ACB，∠A是△ACE和△ABC的公共角，即∠A=∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ACE∽△ABC，故该选项命题正确，不符合题意；
B选项：
∵∠ACE=∠B，∠A=∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ACE∽△ABC，故该选项命题正确，不符合题意；
C选项：
∵$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AC}$，且夹角∠A=∠A，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△ACE∽△ABC，故该选项命题正确，不符合题意；
D选项：给出的比例$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{BC}$中，BC不是△ABC中夹公共角∠A的边，边的对应关系不符合“两边成比例且夹角相等”的判定要求，也没有额外的等角条件，无法证明△ACE∽△ABC，故该选项命题错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；比例线段对应关系
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用类题目，解题的核心是抓住两个三角形的公共角，结合相似三角形的判定定理逐一验证条件，尤其要注意使用“两边成比例且夹角相等”判定时，成比例的两边必须是对应夹角的两条边，避免因边对应错误导致判断失误。
【难度系数】
0.75
6[2026陕西西安期中]如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(1,0),B(2,3),C(-1,2).若四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似,且四边形OA'B'C'的周长是四边形OABC周长的2倍,则点B'的坐标为(
A.(4,6)
B.(4,6)或(-4,-6)
C.(4,6)或(-2,-3)
D.(4,6)或(-6,-4)
B
)A.(4,6)
B.(4,6)或(-4,-6)
C.(4,6)或(-2,-3)
D.(4,6)或(-6,-4)
答案
6. B 【解析】
∵ 四边形 OA'B'C' 与四边形 OABC 关于原点 O 位似,且四边形 OA'B'C' 的周长是四边形 OABC 周长的 2 倍,$\therefore$ 四边形 OA'B'C' 与四边形 OABC 的相似比为 $2:1$,$\therefore$ 点 B' 的坐标为 $(2×2,2×3)$ 或 $(-2×2,-2×3)$,即 $(4,6)$ 或 $(-4,-6)$. 故选 B.
∵ 四边形 OA'B'C' 与四边形 OABC 关于原点 O 位似,且四边形 OA'B'C' 的周长是四边形 OABC 周长的 2 倍,$\therefore$ 四边形 OA'B'C' 与四边形 OABC 的相似比为 $2:1$,$\therefore$ 点 B' 的坐标为 $(2×2,2×3)$ 或 $(-2×2,-2×3)$,即 $(4,6)$ 或 $(-4,-6)$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆位似图形的性质：相似图形的周长比等于相似比，关于原点成位似的图形，对应点坐标为原坐标乘位似比或位似比的相反数。第一步先根据周长的倍数关系确定两个四边形的位似比，第二步结合点B的坐标，根据原点位似的坐标变化规律计算点B'的坐标，注意要考虑位似图形在原点同侧和异侧两种情况，避免漏解。
【解析】
∵ 四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA'B'C'的周长是四边形OABC周长的2倍，
∴ 四边形OA'B'C'与四边形OABC的相似比为$2:1$。
∵ 关于原点位似的两个图形，对应点的坐标为原坐标乘位似比或位似比的相反数，已知点B的坐标为$(2,3)$，
∴ 点B'的坐标为$(2×2,3×2)$或$(2×(-2),3×(-2))$，即$(4,6)$或$(-4,-6)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
位似的性质；原点位似的坐标特征；相似图形周长比性质
【点评】
本题考查位似图形的相关应用，解题的关键是牢记关于原点位似的图形存在两种位置情况，避免仅考虑同侧的情况出现漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆位似图形的性质：相似图形的周长比等于相似比，关于原点成位似的图形，对应点坐标为原坐标乘位似比或位似比的相反数。第一步先根据周长的倍数关系确定两个四边形的位似比，第二步结合点B的坐标，根据原点位似的坐标变化规律计算点B'的坐标，注意要考虑位似图形在原点同侧和异侧两种情况，避免漏解。
【解析】
∵ 四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA'B'C'的周长是四边形OABC周长的2倍，
∴ 四边形OA'B'C'与四边形OABC的相似比为$2:1$。
∵ 关于原点位似的两个图形，对应点的坐标为原坐标乘位似比或位似比的相反数，已知点B的坐标为$(2,3)$，
∴ 点B'的坐标为$(2×2,3×2)$或$(2×(-2),3×(-2))$，即$(4,6)$或$(-4,-6)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
位似的性质；原点位似的坐标特征；相似图形周长比性质
【点评】
本题考查位似图形的相关应用，解题的关键是牢记关于原点位似的图形存在两种位置情况，避免仅考虑同侧的情况出现漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
7 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$∠ A=30°$,$BC=2$, D为AB的中点.若点E在边AC上,且$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,则AE的长为 (
A.1
B.2
C.1或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1或2
(第7题图) (第8题图)
D
)A.1
B.2
C.1或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1或2
(第7题图) (第8题图)
答案
7. D 【解析】在$△ ABC$ 中,$∠ B=90°$,$∠ A=30°$,$BC=2$,$\therefore AC=2BC=4$,$∠ C=60°$,$\therefore$ 由勾股定理得 $AB=2\sqrt{3}$.
∵ 点 D 是 AB 的中点,$\therefore AD=\sqrt{3}$.
如图(1),当$∠ ADE=90°$时,
$\because ∠ ADE=∠ ABC$,$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,$\therefore △ ADE∽△ ABC$,$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore AE=2$.如图(2),当$∠ ADE'≠90°$时,取 AC 的中点 H,连接 DH.
∵ 点 D 是 AB 中点,点 H 是 AC 的中点,$\therefore DH// BC$,$DH=\frac{1}{2}BC=1$,$\therefore ∠ AHD=∠ C=60°$,$DH=DE'=1$,$\therefore ∠ DE'H=60°$,$\therefore ∠ ADE'=∠ A=30°$,$\therefore AE'=DE'=1$. 故选 D.
解析
【分析】
首先根据直角三角形30°角的性质和勾股定理求出△ABC各边的长度，得到AD的长度。接下来注意满足比例$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$的DE位置有两种情况：第一种是DE⊥AB，此时可通过相似三角形求出AE的长度；第二种是DE不垂直AB，可借助三角形中位线构造等腰三角形求出另一种情况的AE长度，分情况讨论即可得到所有可能的AE值。
【解析】
在$△ ABC$ 中,$∠ B=90°$,$∠ A=30°$,$BC=2$,
$\therefore AC=2BC=4$,$∠ C=60°$,
由勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
∵ 点 D 是 AB 的中点,$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$.
① 如图(1),当$∠ ADE=90°$时,
$\because ∠ ADE=∠ ABC=90°$,$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,
$\therefore △ ADE∽△ ABC$,
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore AE=\frac{1}{2}AC=2$.
② 如图(2),当$∠ ADE'≠90°$时,取 AC 的中点 H,连接 DH.
∵ 点 D 是 AB 中点,点 H 是 AC 的中点,
$\therefore DH$是△ABC的中位线,
$\therefore DH// BC$,$DH=\frac{1}{2}BC=1$,
$\therefore ∠ AHD=∠ C=60°$,
由$\frac{AD}{AB}=\frac{DE'}{BC}=\frac{1}{2}$得$DE'=\frac{1}{2}BC=1$,
$\therefore DH=DE'=1$,
$\therefore ∠ DE'H=∠ DHE'=60°$,
又
∵$∠A=30°$,$\therefore ∠ ADE'=∠ DE'H - ∠A=60°-30°=30°=∠A$,
$\therefore AE'=DE'=1$.
综上，AE的长为1或2。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时容易忽略DE不平行于BC的情况导致漏解，需要结合比例条件全面分析所有符合要求的图形位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据直角三角形30°角的性质和勾股定理求出△ABC各边的长度，得到AD的长度。接下来注意满足比例$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$的DE位置有两种情况：第一种是DE⊥AB，此时可通过相似三角形求出AE的长度；第二种是DE不垂直AB，可借助三角形中位线构造等腰三角形求出另一种情况的AE长度，分情况讨论即可得到所有可能的AE值。
【解析】
在$△ ABC$ 中,$∠ B=90°$,$∠ A=30°$,$BC=2$,
$\therefore AC=2BC=4$,$∠ C=60°$,
由勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
∵ 点 D 是 AB 的中点,$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$.
① 如图(1),当$∠ ADE=90°$时,
$\because ∠ ADE=∠ ABC=90°$,$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,
$\therefore △ ADE∽△ ABC$,
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore AE=\frac{1}{2}AC=2$.
② 如图(2),当$∠ ADE'≠90°$时,取 AC 的中点 H,连接 DH.
∵ 点 D 是 AB 中点,点 H 是 AC 的中点,
$\therefore DH$是△ABC的中位线,
$\therefore DH// BC$,$DH=\frac{1}{2}BC=1$,
$\therefore ∠ AHD=∠ C=60°$,
由$\frac{AD}{AB}=\frac{DE'}{BC}=\frac{1}{2}$得$DE'=\frac{1}{2}BC=1$,
$\therefore DH=DE'=1$,
$\therefore ∠ DE'H=∠ DHE'=60°$,
又
∵$∠A=30°$,$\therefore ∠ ADE'=∠ DE'H - ∠A=60°-30°=30°=∠A$,
$\therefore AE'=DE'=1$.
综上，AE的长为1或2。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时容易忽略DE不平行于BC的情况导致漏解，需要结合比例条件全面分析所有符合要求的图形位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8[2025湖北武汉调研]顶角为$36°$的等腰三角形称为黄金三角形，如图所示，$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，其中$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。作$∠ ABC$的平分线$BC_1$，交$AC$于$C_1$，得到黄金三角形$BCC_1$；作$C_1B_1// BC$交$AB$于$B_1$，$B_1C_2// BC_1$交$AC$于$C_2$，得到黄金三角形$B_1C_1C_2$；作$C_2B_2// BC$交$AB$于$B_2$，$B_2C_3// BC_1$交$AC$于$C_3$，得到黄金三角形$B_2C_2C_3$；…，依次类推，我们可以得到无数个黄金三角形。若$BC$的长为1，那么$C_5C_6$的长为（
A.$\sqrt{5}-2$
B.$9-4\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}-4$
D.$\frac{13\sqrt{5}-29}{2}$
B
）A.$\sqrt{5}-2$
B.$9-4\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}-4$
D.$\frac{13\sqrt{5}-29}{2}$
答案
8. B 【解析】
∵ $△ ABC$ 中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=72°$.
∵ $BC_1$ 平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ C_1BC=∠ ABC_1=36°$,$\therefore AC_1=BC_1$,$△ ABC∽△ BCC_1$,$∠ CC_1B=72°=∠ ACB$,$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CC_1}$,$BC=BC_1$,$\therefore AC_1=BC_1=BC=1$.
设 $CC_1=x$,则 $AB=AC=1+x$,$\therefore \frac{1+x}{1}=\frac{1}{x}$,$\therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.
∵ $x＞0$,$\therefore CC_1=x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ $B_1C_2// BC_1$,$\therefore ∠ C_2B_1C_1=∠ B_1C_1B$. 又
∵ $C_1B_1// BC$,$\therefore ∠ B_1C_1B=∠ C_1BC$,$∠ B_1C_1C_2=∠ BCC_1$,$\therefore ∠ C_2B_1C_1=∠ C_1BC$,$\therefore △ BCC_1∽△ B_1C_1C_2$,$△ ABC∽△ AB_1C_1$,$\therefore \frac{C_1C_2}{CC_1}=\frac{B_1C_1}{BC}$,$\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{AC_1}{AC}$.
∵ $AC_1=BC_1=BC=1$,$\therefore \frac{C_1C_2}{CC_1}=\frac{AC_1}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore C_1C_2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,同理得 $C_2C_3=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3=\sqrt{5}-2$,…,$\therefore C_5C_6=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^6=(\sqrt{5}-2)^2=9-4\sqrt{5}$. 故选 B.
关键点拨：根据题意,利用相似三角形的判定与性质分别求出 $C_1C_2$,$C_2C_3$,…的长,即可得出规律,从而得到答案.
∵ $△ ABC$ 中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=72°$.
∵ $BC_1$ 平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ C_1BC=∠ ABC_1=36°$,$\therefore AC_1=BC_1$,$△ ABC∽△ BCC_1$,$∠ CC_1B=72°=∠ ACB$,$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CC_1}$,$BC=BC_1$,$\therefore AC_1=BC_1=BC=1$.
设 $CC_1=x$,则 $AB=AC=1+x$,$\therefore \frac{1+x}{1}=\frac{1}{x}$,$\therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.
∵ $x＞0$,$\therefore CC_1=x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ $B_1C_2// BC_1$,$\therefore ∠ C_2B_1C_1=∠ B_1C_1B$. 又
∵ $C_1B_1// BC$,$\therefore ∠ B_1C_1B=∠ C_1BC$,$∠ B_1C_1C_2=∠ BCC_1$,$\therefore ∠ C_2B_1C_1=∠ C_1BC$,$\therefore △ BCC_1∽△ B_1C_1C_2$,$△ ABC∽△ AB_1C_1$,$\therefore \frac{C_1C_2}{CC_1}=\frac{B_1C_1}{BC}$,$\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{AC_1}{AC}$.
∵ $AC_1=BC_1=BC=1$,$\therefore \frac{C_1C_2}{CC_1}=\frac{AC_1}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$\therefore C_1C_2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,同理得 $C_2C_3=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3=\sqrt{5}-2$,…,$\therefore C_5C_6=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^6=(\sqrt{5}-2)^2=9-4\sqrt{5}$. 故选 B.
关键点拨：根据题意,利用相似三角形的判定与性质分别求出 $C_1C_2$,$C_2C_3$,…的长,即可得出规律,从而得到答案.
解析
【分析】
这是一道结合黄金三角形性质的规律探究题，解题思路如下：第一步先利用等腰三角形性质、角平分线定义证明△ABC和△BCC₁相似，结合已知BC=1求出第一个小黄金三角形的底边长CC₁；第二步通过平行线的性质证明后续的黄金三角形都和前一个相似，得到相邻两条线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，总结出$C_nC_{n+1}$的长度规律；第三步代入n=5计算$C_5C_6$的长度即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴ $∠ABC=∠ACB=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵ $BC_1$平分$∠ABC$，
∴ $∠C_1BC=∠ABC_1=36°$，
∴ $∠A=∠ABC_1$，$∠CC_1B=180°-36°-72°=72°=∠ACB$，
∴ $AC_1=BC_1$，$BC=BC_1=1$，且$△ABC∽△BCC_1$，
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CC_1}$，
设$CC_1=x$，则$AC=AC_1+CC_1=1+x$，代入得：
$\frac{1+x}{1}=\frac{1}{x}$，整理得$x²+x-1=0$，
解得$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵ 线段长度为正，
∴ $CC_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵ $C_1B_1// BC$，$B_1C_2// BC_1$，
∴ $△B_1C_1C_2∽△BCC_1$，相似比为$\frac{AC_1}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $C_1C_2=CC_1 × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$，
同理可得，$C_nC_{n+1}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{n+1}$，
∴ $C_5C_6=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{6}$，
计算得：$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3=\sqrt{5}-2$，
∴ $(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^6=(\sqrt{5}-2)^2=5-4\sqrt{5}+4=9-4\sqrt{5}$。
【答案】B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，图形规律探究
【点评】
本题以黄金三角形为背景，将等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质和规律探究结合，解题的关键是先求出首段线段的长度，再找到线段长度的递推规律，考查了学生的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.4
这是一道结合黄金三角形性质的规律探究题，解题思路如下：第一步先利用等腰三角形性质、角平分线定义证明△ABC和△BCC₁相似，结合已知BC=1求出第一个小黄金三角形的底边长CC₁；第二步通过平行线的性质证明后续的黄金三角形都和前一个相似，得到相邻两条线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，总结出$C_nC_{n+1}$的长度规律；第三步代入n=5计算$C_5C_6$的长度即可。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴ $∠ABC=∠ACB=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵ $BC_1$平分$∠ABC$，
∴ $∠C_1BC=∠ABC_1=36°$，
∴ $∠A=∠ABC_1$，$∠CC_1B=180°-36°-72°=72°=∠ACB$，
∴ $AC_1=BC_1$，$BC=BC_1=1$，且$△ABC∽△BCC_1$，
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CC_1}$，
设$CC_1=x$，则$AC=AC_1+CC_1=1+x$，代入得：
$\frac{1+x}{1}=\frac{1}{x}$，整理得$x²+x-1=0$，
解得$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵ 线段长度为正，
∴ $CC_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵ $C_1B_1// BC$，$B_1C_2// BC_1$，
∴ $△B_1C_1C_2∽△BCC_1$，相似比为$\frac{AC_1}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $C_1C_2=CC_1 × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2$，
同理可得，$C_nC_{n+1}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{n+1}$，
∴ $C_5C_6=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{6}$，
计算得：$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3=\sqrt{5}-2$，
∴ $(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^6=(\sqrt{5}-2)^2=5-4\sqrt{5}+4=9-4\sqrt{5}$。
【答案】B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，图形规律探究
【点评】
本题以黄金三角形为背景，将等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质和规律探究结合，解题的关键是先求出首段线段的长度，再找到线段长度的递推规律，考查了学生的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.4
