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1. [2024云南中考]如图,在$△ ABC$中,若$∠ B=90°$,$AB=3$,$BC=4$,则$\tan A =$ (
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
C
)A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
1 C 在Rt△ABC中,由正切的定义,得$\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3}$.
2. 教材P128T2变式 [2026合肥四十中月考] 在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$\tan A = \dfrac{4}{3}$，$BC = 8$，则 $AB = (\quad)$
A.6
B.$\dfrac{32}{3}$
C.10
D.12
A.6
B.$\dfrac{32}{3}$
C.10
D.12
答案
2 C $\because \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3},BC=8,\therefore AC=6,\therefore AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.
3. 教材 P153T5(2)变式 [2026 宣城六中月考] 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，如果把 $Rt△ ABC$ 的各边的长都缩小为原来的$\frac{1}{4}$，那么$∠ A$的正切值（
A.缩小为原来的$\frac{1}{4}$
B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
D.没有变化
D
）A.缩小为原来的$\frac{1}{4}$
B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
D.没有变化
答案
3 D 在Rt△ABC中,设$BC = a,AC = b,AB = c(a ＞ 0,b ＞ 0,c ＞ 0)$,如果各边的长都缩小为原来的$\frac{1}{4}$,那么三边的长分别为$\frac{1}{4}a,\frac{1}{4}b,\frac{1}{4}c$. 缩小前,$\tan A = \frac{a}{b}$,缩小后,$\tan A = \frac{\frac{1}{4}a}{\frac{1}{4}b} = \frac{a}{b}$,所以$∠A$的正切值没有变化.
得分要点
正切值的大小只与锐角的大小有关,与所在的直角三角形的大小无关.
得分要点
正切值的大小只与锐角的大小有关,与所在的直角三角形的大小无关.
4. [2026亳州段考] 某河堤横断面如图所示，堤高$BC=10$米，迎水坡$AB$的坡度是$1:\sqrt{3}$，则$AC$的长是（
A.$10\sqrt{3}$米
B.20米
C.$20\sqrt{3}$米
D.30米
A
）A.$10\sqrt{3}$米
B.20米
C.$20\sqrt{3}$米
D.30米
答案
4 A $\because$ 迎水坡 $AB$ 的坡度为 $1:\sqrt{3},\therefore \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}},\therefore AC = \sqrt{3}BC = \sqrt{3} × 10 = 10\sqrt{3}$(米).
变式 已知一个斜坡的坡面长30米，铅直高度为15米，则这个斜坡的坡度为（
A.$1:2$
B.$30°$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}:1$
C
）A.$1:2$
B.$30°$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}:1$
答案
变式 C 画草图,如图
,斜坡 $AB = 30$ 米,铅直高度 $BC = 15$ 米,$\therefore$ 这个斜坡的水平距离 $AC = \sqrt{30^2 - 15^2} = 15\sqrt{3}$(米),$\therefore$ 这个斜坡的坡度为 $15:15\sqrt{3} = 1:\sqrt{3}$.5. [2026淄博张店区段考]如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若$\tan α = \dfrac{3}{2}$，则满足条件的∠α是（
A
）答案
5 A 解题思路: 观察网格的特点 $\longrightarrow$ 构造以$∠α$为锐角的直角三角形
$\longrightarrow$ 按正切定义即可求出$∠α$的正切值6. 如图,点 E 在矩形 ABCD 的边 CD 上,AB = 2BC,则 $\tan∠ CBE + \tan∠ DAE$ 的值是 (
A.2
B.$2+\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$2+2\sqrt{3}$
A
)A.2
B.$2+\sqrt{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$2+2\sqrt{3}$
答案
6 A $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore ∠C = ∠D = 90°,AD = BC,CD = AB,\therefore \tan ∠CBE = \frac{CE}{BC},\tan ∠DAE = \frac{DE}{AD},\therefore \tan ∠CBE + \tan ∠DAE = \frac{CE}{BC} + \frac{DE}{AD} = \frac{CE}{BC} + \frac{DE}{BC} = \frac{CE + DE}{BC} = \frac{CD}{BC} = \frac{AB}{BC} = \frac{2BC}{BC} = 2$.
7. [2025六安期末]如图,一个小球由点A处沿着坡度$i=1:2$的坡面向上前进了10米到达点B,此时小球距离地面的高度为
$2\sqrt{5}$
米.答案
7 $2\sqrt{5}$ 如图
,过点 $B$ 作 $BC ⊥ AC$ 于点 $C$.因为坡度 $i = BC:AC = 1:2$, 所以设 $BC = x(x ＞ 0)$ 米,则 $AC = 2x$ 米. 在 $Rt △ABC$ 中,$AB = 10$ 米,由勾股定理得 $100 = x^2 + 4x^2$,解得 $x_1 = 2\sqrt{5},x_2 = -2\sqrt{5}$(舍去),所以此时小球距离地面的高度是$2\sqrt{5}$ 米.8. [2025怀化期末]直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将该直角三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,求$\tan∠ CBE$的值.
答案
8 解:由折叠的性质可知,$BE = AE$.
设 $CE = x$,则 $BE = AE = 8 - x$.
在 $Rt△BCE$ 中,根据勾股定理得 $BE^2 = BC^2 + CE^2$,
即$(8 - x)^2 = 6^2 + x^2$,解得 $x = \frac{7}{4}$,
$\therefore \tan ∠CBE = \frac{CE}{CB} = \frac{\frac{7}{4}}{6} = \frac{7}{24}$.
设 $CE = x$,则 $BE = AE = 8 - x$.
在 $Rt△BCE$ 中,根据勾股定理得 $BE^2 = BC^2 + CE^2$,
即$(8 - x)^2 = 6^2 + x^2$,解得 $x = \frac{7}{4}$,
$\therefore \tan ∠CBE = \frac{CE}{CB} = \frac{\frac{7}{4}}{6} = \frac{7}{24}$.
