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10. 在$□ ABCD$中，$E$是$AD$上一点，且点$E$将$AD$分为$2:3$的两部分，连接$BE$，交$AC$于点$F$，则$S_{△ AEF}:S_{△ CBF}=$
$4:25$或$9:25$
.答案
10.$4:25$或$9:25$
解析
【分析】
解题时先结合平行四边形的性质得到AD与BC的位置和数量关系，再根据平行线的性质判定△AEF与△CBF相似，明确相似三角形的面积比等于相似比的平方；注意题中仅说明E将AD分为2:3的两部分，未指明AE和ED的大小关系，因此需要分两种情况讨论计算AE与BC的比值，最终求出面积比。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
分两种情况讨论：
① 当AE:ED=2:3时，
AE:AD=2:(2+3)=2:5，
∴AE:BC=2:5。
∵AD//BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，
∴△AEF∽△CBF，相似比为2:5，
∴$S_{△ AEF}:S_{△ CBF}=(\frac{2}{5})^2=4:25$。
② 当AE:ED=3:2时，
AE:AD=3:(3+2)=3:5，
∴AE:BC=3:5。
同理可得△AEF∽△CBF，相似比为3:5，
∴$S_{△ AEF}:S_{△ CBF}=(\frac{3}{5})^2=9:25$。
综上，$S_{△ AEF}:S_{△ CBF}=4:25$或$9:25$。
【答案】
$4:25$或$9:25$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形面积的性质
【点评】
本题解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，易错点是忽略E分AD为2:3存在两种情况，导致漏解，解题时要注意分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.6
解题时先结合平行四边形的性质得到AD与BC的位置和数量关系，再根据平行线的性质判定△AEF与△CBF相似，明确相似三角形的面积比等于相似比的平方；注意题中仅说明E将AD分为2:3的两部分，未指明AE和ED的大小关系，因此需要分两种情况讨论计算AE与BC的比值，最终求出面积比。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
分两种情况讨论：
① 当AE:ED=2:3时，
AE:AD=2:(2+3)=2:5，
∴AE:BC=2:5。
∵AD//BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，
∴△AEF∽△CBF，相似比为2:5，
∴$S_{△ AEF}:S_{△ CBF}=(\frac{2}{5})^2=4:25$。
② 当AE:ED=3:2时，
AE:AD=3:(3+2)=3:5，
∴AE:BC=3:5。
同理可得△AEF∽△CBF，相似比为3:5，
∴$S_{△ AEF}:S_{△ CBF}=(\frac{3}{5})^2=9:25$。
综上，$S_{△ AEF}:S_{△ CBF}=4:25$或$9:25$。
【答案】
$4:25$或$9:25$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形面积的性质
【点评】
本题解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，易错点是忽略E分AD为2:3存在两种情况，导致漏解，解题时要注意分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.6
11.(合肥期末)将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则△AOB与△COD的面积之比为（
A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:2$
B
）A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:2$
答案
11.B
解析
【分析】
首先观察图形可知两个三角板的直角边均垂直于BC，因此AB//CD，可判定△AOB与△COD相似；接下来结合三角板的角度特征，得出AB与CD的长度关系得到相似比；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可计算出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB//CD，
∴∠A=∠OCD，∠ABO=∠D，
∴△AOB∽△COD。
设BC的长度为a，
在Rt△ABC中，∠A=45°，
∴AB=BC=a；
在Rt△BCD中，∠D=30°，由$\tan D=\frac{BC}{CD}$可得：
$CD=\frac{BC}{\tan30°}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}a$。
∴△AOB与△COD的相似比$k=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，因此：
$S_{△ AOB}:S_{△ COD}=k^2=(\frac{1}{\sqrt{3}})^2=\frac{1}{3}=1:3$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题结合常用三角板的特征考查相似三角形的相关知识，解题的关键是先判断两个三角形相似，再准确求出相似比，注意不要混淆相似比与面积比的关系，避免直接将相似比当作面积比导致出错。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知两个三角板的直角边均垂直于BC，因此AB//CD，可判定△AOB与△COD相似；接下来结合三角板的角度特征，得出AB与CD的长度关系得到相似比；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可计算出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB//CD，
∴∠A=∠OCD，∠ABO=∠D，
∴△AOB∽△COD。
设BC的长度为a，
在Rt△ABC中，∠A=45°，
∴AB=BC=a；
在Rt△BCD中，∠D=30°，由$\tan D=\frac{BC}{CD}$可得：
$CD=\frac{BC}{\tan30°}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}a$。
∴△AOB与△COD的相似比$k=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，因此：
$S_{△ AOB}:S_{△ COD}=k^2=(\frac{1}{\sqrt{3}})^2=\frac{1}{3}=1:3$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题结合常用三角板的特征考查相似三角形的相关知识，解题的关键是先判断两个三角形相似，再准确求出相似比，注意不要混淆相似比与面积比的关系，避免直接将相似比当作面积比导致出错。
【难度系数】
0.7
12.如图，$△ OAB ∽ △ OCD$，OE平分$∠ AOB$，交AB于点E，OE的反向延长线交CD于点F，$OA:OC=5:3$，下列说法错误的是（
A.$\dfrac{OF}{OE}=\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{C_{△ COD}}{C_{△ AOB}}=\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{S_{△ COF}}{S_{△ AOE}}=\dfrac{S_{△ COD}}{S_{△ AOB}}$
D.$\dfrac{S_{△ DOF}}{S_{△ AOE}}=\dfrac{9}{25}$
(第12题图)
(第13题图)
D
）A.$\dfrac{OF}{OE}=\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{C_{△ COD}}{C_{△ AOB}}=\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{S_{△ COF}}{S_{△ AOE}}=\dfrac{S_{△ COD}}{S_{△ AOB}}$
D.$\dfrac{S_{△ DOF}}{S_{△ AOE}}=\dfrac{9}{25}$
(第12题图)
(第13题图)
答案
12.D
解析
【分析】
首先根据已知△OAB∽△OCD且OA:OC=5:3，确定两个三角形的相似比为5:3，回忆相似三角形的性质：对应角相等，对应线段（角平分线、高、中线）的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。再结合OE是∠AOB的角平分线，推导角的等量关系，判断相关三角形是否相似，逐一验证每个选项即可。
【解析】
已知△OAB∽△OCD，OA:OC=5:3，因此两三角形相似比（△OAB:△OCD）=5:3，可得：∠A=∠C，∠AOB=∠COD，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
验证选项A：OE平分∠AOB，故∠AOE=½∠AOB；又∠COD=∠AOB，因此∠COF=½∠COD=∠AOE。结合∠C=∠A，可证△COF∽△AOE，相似比为OC:OA=3:5，因此$\dfrac{OF}{OE}=\dfrac{3}{5}$，A说法正确。
验证选项B：相似三角形周长比等于相似比，因此$\dfrac{C_{△ COD}}{C_{△ AOB}}=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{3}{5}$，B说法正确。
验证选项C：相似三角形面积比等于相似比的平方，因此$\dfrac{S_{△ COF}}{S_{△ AOE}}=(\dfrac{3}{5})^2=\dfrac{9}{25}$，$\dfrac{S_{△ COD}}{S_{△ AOB}}=(\dfrac{3}{5})^2=\dfrac{9}{25}$，故两个比值相等，C说法正确。
验证选项D：∠DOF=∠AOE，但由△OAB∽△OCD得$\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{3}{5}$，OD与OA无固定3:5的比例关系，因此$\dfrac{S_{△ DOF}}{S_{△ AOE}}$不为$\dfrac{9}{25}$，D说法错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题围绕相似三角形的性质设计，需要结合角平分线的性质推导角相等，进而判断小三角形的相似关系，易错点是容易误认为△DOF和△AOE也相似，要注意对应边的比例关系是否成立。
【难度系数】
0.65
首先根据已知△OAB∽△OCD且OA:OC=5:3，确定两个三角形的相似比为5:3，回忆相似三角形的性质：对应角相等，对应线段（角平分线、高、中线）的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。再结合OE是∠AOB的角平分线，推导角的等量关系，判断相关三角形是否相似，逐一验证每个选项即可。
【解析】
已知△OAB∽△OCD，OA:OC=5:3，因此两三角形相似比（△OAB:△OCD）=5:3，可得：∠A=∠C，∠AOB=∠COD，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
验证选项A：OE平分∠AOB，故∠AOE=½∠AOB；又∠COD=∠AOB，因此∠COF=½∠COD=∠AOE。结合∠C=∠A，可证△COF∽△AOE，相似比为OC:OA=3:5，因此$\dfrac{OF}{OE}=\dfrac{3}{5}$，A说法正确。
验证选项B：相似三角形周长比等于相似比，因此$\dfrac{C_{△ COD}}{C_{△ AOB}}=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{3}{5}$，B说法正确。
验证选项C：相似三角形面积比等于相似比的平方，因此$\dfrac{S_{△ COF}}{S_{△ AOE}}=(\dfrac{3}{5})^2=\dfrac{9}{25}$，$\dfrac{S_{△ COD}}{S_{△ AOB}}=(\dfrac{3}{5})^2=\dfrac{9}{25}$，故两个比值相等，C说法正确。
验证选项D：∠DOF=∠AOE，但由△OAB∽△OCD得$\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{3}{5}$，OD与OA无固定3:5的比例关系，因此$\dfrac{S_{△ DOF}}{S_{△ AOE}}$不为$\dfrac{9}{25}$，D说法错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题围绕相似三角形的性质设计，需要结合角平分线的性质推导角相等，进而判断小三角形的相似关系，易错点是容易误认为△DOF和△AOE也相似，要注意对应边的比例关系是否成立。
【难度系数】
0.65
13. 如图，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OB=2OA$，点A在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上。若点B在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，则k的值为________。
答案
13.$-8$
解析
【分析】
解决本题可通过构造“一线三垂直”模型推导三角形相似：首先过点A、B分别向x轴作垂线，得到两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两个三角形相似，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方、反比例函数k的几何意义求解，最后根据点B所在象限确定k的符号。
【解析】
过点A作$AC⊥ x$轴于点C，过点B作$BD⊥ x$轴于点D，则$∠ ACO=∠ ODB=90°$。
$\because ∠ AOB=90°$，$\therefore ∠ AOC+∠ BOD=90°$。
又$\because ∠ OAC+∠ AOC=90°$，$\therefore ∠ OAC=∠ BOD$。
$\therefore △ AOC ∽ △ OBD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\because OB=2OA$，$\therefore △ AOC$与$△ OBD$的相似比为$OA:OB=1:2$，
$\therefore$ 两个三角形的面积比为$1^2:2^2=1:4$。
$\because$ 点A在$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，由反比例函数$k$的几何意义得：$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}×\left|2\right|=1$，
$\therefore S_{△ OBD}=4×1=4$。
$\because$ 点B在第二象限，对应反比例函数的$k＜0$，且$S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}\left|k\right|=4$，
解得$\left|k\right|=8$，即$k=-8$。
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
相似三角形的性质，反比例函数k的几何意义，一线三垂直模型
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题型，核心是通过构造“一线三垂直”得到相似三角形，结合相似比和反比例函数的几何意义求解，解题时要注意根据点所在的象限判断k的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.6
解决本题可通过构造“一线三垂直”模型推导三角形相似：首先过点A、B分别向x轴作垂线，得到两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两个三角形相似，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方、反比例函数k的几何意义求解，最后根据点B所在象限确定k的符号。
【解析】
过点A作$AC⊥ x$轴于点C，过点B作$BD⊥ x$轴于点D，则$∠ ACO=∠ ODB=90°$。
$\because ∠ AOB=90°$，$\therefore ∠ AOC+∠ BOD=90°$。
又$\because ∠ OAC+∠ AOC=90°$，$\therefore ∠ OAC=∠ BOD$。
$\therefore △ AOC ∽ △ OBD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\because OB=2OA$，$\therefore △ AOC$与$△ OBD$的相似比为$OA:OB=1:2$，
$\therefore$ 两个三角形的面积比为$1^2:2^2=1:4$。
$\because$ 点A在$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，由反比例函数$k$的几何意义得：$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}×\left|2\right|=1$，
$\therefore S_{△ OBD}=4×1=4$。
$\because$ 点B在第二象限，对应反比例函数的$k＜0$，且$S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}\left|k\right|=4$，
解得$\left|k\right|=8$，即$k=-8$。
【答案】
$\boldsymbol{-8}$
【知识点】
相似三角形的性质，反比例函数k的几何意义，一线三垂直模型
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题型，核心是通过构造“一线三垂直”得到相似三角形，结合相似比和反比例函数的几何意义求解，解题时要注意根据点所在的象限判断k的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.6
14. 如图, 在$□ ABCD$中, 点$E$在边$AB$上, $AE:EB=2:3$, $DE$交$AC$于点$F$.
(1)求$△ AEF$与$△ CDF$的周长之比;
(2)如果$△ CDF$的面积为20, $△ ADF$的面积为8, 求四边形$BEFC$的面积.
(1)求$△ AEF$与$△ CDF$的周长之比;
(2)如果$△ CDF$的面积为20, $△ ADF$的面积为8, 求四边形$BEFC$的面积.
答案
解:(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AB=CD,AB// CD. \therefore ∠ AEF=∠ CDF,∠ EAF=∠ DCF. \therefore △ AEF∽ △ CDF. \because AE:EB=2:3,\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}. \therefore \frac{AE}{CD}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}. \therefore △ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$2:5$.
(2)$\because S_{△ CDF}=20,S_{△ ADF}=8,\therefore S_{△ ADC}=S_{△ CDF}+S_{△ ADF}=28. \because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ADC}=28$. 由(1)知$△ AEF∽ △ CDF,\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{AE}{CD})^{2}=\frac{4}{25}. \therefore S_{△ AEF}=20× \frac{4}{25}=\frac{16}{5}. \therefore S_{四边形BEFC}=S_{△ ABC}-S_{△ AEF}=\frac{124}{5}.$
(2)$\because S_{△ CDF}=20,S_{△ ADF}=8,\therefore S_{△ ADC}=S_{△ CDF}+S_{△ ADF}=28. \because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ADC}=28$. 由(1)知$△ AEF∽ △ CDF,\therefore \frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{AE}{CD})^{2}=\frac{4}{25}. \therefore S_{△ AEF}=20× \frac{4}{25}=\frac{16}{5}. \therefore S_{四边形BEFC}=S_{△ ABC}-S_{△ AEF}=\frac{124}{5}.$
解析
【分析】
(1) 要求两个三角形的周长比，可利用相似三角形周长比等于相似比的性质求解。首先结合平行四边形对边平行且相等的性质，证明△AEF和△CDF相似，再根据AE:EB的比例求出AE与CD的比值（即相似比），即可得到周长比。
(2) 求四边形BEFC的面积，可通过△ABC的面积减去△AEF的面积计算。首先先算出△ADC的面积，利用平行四边形对角线平分面积的性质得到△ABC的面积；再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合△CDF的面积求出△AEF的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$，
∴$∠AEF=∠CDF$，$∠EAF=∠DCF$，
∴$△ AEF ∽ △ CDF$。
∵$AE:EB=2:3$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，
又
∵$AB=CD$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴$△ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$2:5$。
(2)
∵$S_{△ CDF}=20$，$S_{△ ADF}=8$，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ CDF}+S_{△ ADF}=20+8=28$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ADC}=28$。
由(1)知$△ AEF ∽ △ CDF$，相似比为$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$，
∴$S_{△ AEF}=20× \frac{4}{25}=\frac{16}{5}$，
∴$S_{四边形BEFC}=S_{△ ABC}-S_{△ AEF}=28-\frac{16}{5}=\frac{124}{5}$。
【答案】
(1) $2:5$；(2) $\frac{124}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的常考题型，解题关键是先利用平行四边形的性质证明三角形相似，再灵活运用相似三角形的周长、面积与相似比的关系求解，需要注意区分相似三角形周长比和面积比与相似比的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
(1) 要求两个三角形的周长比，可利用相似三角形周长比等于相似比的性质求解。首先结合平行四边形对边平行且相等的性质，证明△AEF和△CDF相似，再根据AE:EB的比例求出AE与CD的比值（即相似比），即可得到周长比。
(2) 求四边形BEFC的面积，可通过△ABC的面积减去△AEF的面积计算。首先先算出△ADC的面积，利用平行四边形对角线平分面积的性质得到△ABC的面积；再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合△CDF的面积求出△AEF的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$，
∴$∠AEF=∠CDF$，$∠EAF=∠DCF$，
∴$△ AEF ∽ △ CDF$。
∵$AE:EB=2:3$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，
又
∵$AB=CD$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴$△ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$2:5$。
(2)
∵$S_{△ CDF}=20$，$S_{△ ADF}=8$，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ CDF}+S_{△ ADF}=20+8=28$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ADC}=28$。
由(1)知$△ AEF ∽ △ CDF$，相似比为$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ CDF}}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$，
∴$S_{△ AEF}=20× \frac{4}{25}=\frac{16}{5}$，
∴$S_{四边形BEFC}=S_{△ ABC}-S_{△ AEF}=28-\frac{16}{5}=\frac{124}{5}$。
【答案】
(1) $2:5$；(2) $\frac{124}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的常考题型，解题关键是先利用平行四边形的性质证明三角形相似，再灵活运用相似三角形的周长、面积与相似比的关系求解，需要注意区分相似三角形周长比和面积比与相似比的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
15. 新定义新趋势（宣城期末）我们规定对角互补的四边形叫作“对补四边形”.如图，四边形ABCD是“对补四边形”，它的一组对边AD和BC的延长线交于点E.已知$CD=2$，$DE=3$，$AB=2DE$.
(1)$BE$的长为
(2)若$△ CDE$的面积为$\frac{3}{2}$，则“对补四边形”ABCD的面积为
提示 请完成基本功专练（二）
(1)$BE$的长为
9
.(2)若$△ CDE$的面积为$\frac{3}{2}$，则“对补四边形”ABCD的面积为
12
.提示 请完成基本功专练（二）
答案
15.(1)9 (2)12
解析
【分析】
首先根据“对补四边形”对角互补的性质，结合邻补角和为180°，可推出△ECD和△EAB的一组对应角相等，再加上两个三角形的公共角∠E，即可证明两个三角形相似。(1)利用相似三角形对应边成比例，代入已知边长即可求出BE的长度；(2)利用相似三角形面积比等于相似比的平方，先求出△EAB的面积，再减去△CDE的面积即可得到四边形ABCD的面积。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是“对补四边形”，
∴∠A + ∠BCD = 180°，
又
∵∠BCD + ∠ECD = 180°（邻补角的定义），
∴∠ECD = ∠A，
又
∵∠E = ∠E（公共角），
∴△ECD∽△EAB（两角分别相等的两个三角形相似）。
已知DE=3，AB=2DE，
∴AB=6，又CD=2，
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，代入得$\frac{2}{6}=\frac{3}{BE}$，解得$BE=9$。
(2) 由(1)可知△ECD与△EAB的相似比为$\frac{CD}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
∴两个三角形的面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∵$S_{△ CDE}=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ EAB}=9×\frac{3}{2}=\frac{27}{2}$，
则四边形ABCD的面积为$S_{△ EAB}-S_{△ CDE}=\frac{27}{2}-\frac{3}{2}=12$。
【答案】
(1)9；(2)12
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查三角形相似的相关应用，解题的关键是根据“对补四边形”的性质推导角的等量关系，证明三角形相似，再结合相似三角形的边、面积对应性质求解，注重对知识迁移和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先根据“对补四边形”对角互补的性质，结合邻补角和为180°，可推出△ECD和△EAB的一组对应角相等，再加上两个三角形的公共角∠E，即可证明两个三角形相似。(1)利用相似三角形对应边成比例，代入已知边长即可求出BE的长度；(2)利用相似三角形面积比等于相似比的平方，先求出△EAB的面积，再减去△CDE的面积即可得到四边形ABCD的面积。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是“对补四边形”，
∴∠A + ∠BCD = 180°，
又
∵∠BCD + ∠ECD = 180°（邻补角的定义），
∴∠ECD = ∠A，
又
∵∠E = ∠E（公共角），
∴△ECD∽△EAB（两角分别相等的两个三角形相似）。
已知DE=3，AB=2DE，
∴AB=6，又CD=2，
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，代入得$\frac{2}{6}=\frac{3}{BE}$，解得$BE=9$。
(2) 由(1)可知△ECD与△EAB的相似比为$\frac{CD}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
∴两个三角形的面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∵$S_{△ CDE}=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ EAB}=9×\frac{3}{2}=\frac{27}{2}$，
则四边形ABCD的面积为$S_{△ EAB}-S_{△ CDE}=\frac{27}{2}-\frac{3}{2}=12$。
【答案】
(1)9；(2)12
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查三角形相似的相关应用，解题的关键是根据“对补四边形”的性质推导角的等量关系，证明三角形相似，再结合相似三角形的边、面积对应性质求解，注重对知识迁移和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
